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5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net

0606１３２人目の素数さん
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2021/02/21(日) 09:59:45.83ID:bisAjwLZ
>>605
さんざん既出
0607１３２人目の素数さん
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2021/02/21(日) 18:04:32.95ID:mjvHpeEO
>>606
FAQでまとめといたほうがいいかもね

Q.５次以上の代数方程式の解の公式をつくりたい
A.既にあります　
　　Thomae's formula
　ただし実用的でないので数値解法をお勧めします
　　DKA法、等
　ちなみにｎ次代数方程式は（重複を含めて）必ずｎ個の複素数解をもつ、と
　すでにガウスの「代数学の基本定理」で証明されているので、
　複素数を拡大する必要は全くありません
0608１３２人目の素数さん
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2021/02/21(日) 20:24:53.89ID:hiPMaQFV
>>607
自演恥ずかしい
0609１３２人目の素数さん
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2021/02/22(月) 06:15:00.85ID:wsx1jonA
数学板もID表記が始まった今にあってIDが同じレスに自演呼ばわりするのは蛇足
仮にID違う>>606-607も自演と指摘しているとしてもスレの盛り上がりの流れから鑑みるに此の自演指摘は蛇足
0610１３２人目の素数さん
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2021/02/22(月) 06:46:52.65ID:+MFi2cAF
>>609
何が言いたいのかさっぱりわからん
0612１３２人目の素数さん
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2021/02/24(水) 04:09:26.65ID:MO5QRC+b
その手の指摘は100までにだいたい出て
あとは5次方程式に関係する駄弁りに転じてるのは
読んだらわかるでしょ
0614１３２人目の素数さん
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2021/02/25(木) 06:09:24.16ID:lIZttZG/
知り尽くされた話題だけど
それは専門家（見習い）のコミュニティの話
一般人との関心の折り合いをどう付けていくかが課題
0615１３２人目の素数さん
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2021/02/25(木) 10:05:36.10ID:zznxMDx9
テータ関数や超幾何関数で解の公式が書けるというのは数学科3年以上じゃないとわからない
「解はあるが根号だけでは解が表示できない」という言葉の意味がわからない
ガロア群が可解じゃないと・・・では通じない

「解を表現できる数体系」とか言い始める>>1みたいなアホには説明のしようがない
0616615
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2021/02/25(木) 10:16:44.16ID:zznxMDx9
アーベルの証明に近いものは高木貞治「代数学講義」7章にまとめられている
優秀な高校生なら理解可能であろうがwikiやネットで読んだ程度の雑多な知識面はともかく
理解力などの意味で「優秀な高校生」レベルでない人が多いw

>>329
3次方程式の解が全て実数の時でも虚数を含まない形で根号だけで
解を表示することができないことの証明も同じく7章に書いてある

などと書いても多分>>614でいう一般人には刺さらないだろう
そういう応対は私みたいなカスじゃなくブルーバックス書くような先生にお任せします
0617１３２人目の素数さん
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2021/02/25(木) 18:15:59.84ID:Usy0jZaK
>>616
カスなら死ね
0618１３２人目の素数さん
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2021/02/25(木) 19:50:00.38ID:l/M/iSHN
>>615
>「解はあるが根号だけでは解が表示できない」
>という言葉の意味がわからない

そもそも
「解があれば根号で解が表示できる筈」
という主張の根拠がわからんが
0619１３２人目の素数さん
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2021/02/25(木) 19:51:26.12ID:l/M/iSHN
どうせ一般人は解が数として求まればいいんだから
根号に固執する必要ないだろう
なんで数値解析を嫌うのかわからん

精神異常なのか？
0620１３２人目の素数さん
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2021/05/05(水) 04:16:59.46ID:QrlQ0YkL
雪江の青い本を参考に
4次方程式の解を根号で表したときの複雑さをガロア群の大きさで分類した

有理数係数の4次式 f(x) の有理数体上のガロア群を G とし
n = #G とする。

f(x) = 0 の解は...
n = 1 : 解は有理数。
n = 2 : 解は有理数か、平方根1個で表せる。
n = 3, 6 : 解の1つが有理数。他の3つは3次方程式の解の公式で解くので立方根の中に平方根が入る程度。
n = 4, 8 : 解は高々2重の平方根で表せる。
n = 12, 24 : 解は平方根の中に3次方程式の解の公式が入る式を3つ足したもの。唯一書く気が失せるレベル。
0622Mad Chemist
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2022/02/24(木) 20:03:36.80ID:TpPTsnGd
こんな本が出てた。
早川書房　マリオ・リビオ著　「なぜこの方程式は解けないか？」
5次方程式が解けないことから群論まであれこれ書いてある。
0623１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/21(土) 22:29:15.54ID:jy7WmlE0
解いてみたという書き込みが無い。
0624１３２人目の素数さん
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2022/05/22(日) 00:59:11.99ID:CAehBHuJ
ようは加、減、乗、除、冪乗、冪根の他に新たな演算を用いれば一般の代数方程式の解の公式を表せるんじゃないかってことでしょ？
0626１３２人目の素数さん
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2022/06/06(月) 18:09:37.31ID:WCtTDKcQ
拍子抜けするような簡単な方法で、五次方程式の代数的解法が出来そうなんですが
もし出来たら凄いことなのでしょうか？特許とか取れるでしょうか？
誰か教えてもらえませんか。
0627１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/06(月) 18:40:20.76ID:djra2yDV
周囲の数学が解る人に見てもらった？
0628１３２人目の素数さん
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2022/06/06(月) 19:36:13.28ID:WCtTDKcQ
>>627
周りにそういう人は居ません。
自分としては非常に手応えを感じており、もしも上手くいった場合に
折角なら金銭的なメリットを得られないものかと、尋ねてみました。
0629１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/06(月) 20:31:32.43ID:LcK9vskf
時間の無駄。あなたがいくら「できた」と言ってみたところで、学術的には門前払い。

たまたま代数的に解ける特殊な5次方程式は存在するが、
一般の5次方程式に一般的に通用する代数的解法は存在しないことが証明済み。
このことに反する主張は、学術的には門前払い。

必然的に、あなたのやり方はどこかが間違っていることになるが、
どこが間違っているのかを指摘する義務すらなく、ひたすらに門前払いを食らう。
だって、代数的解法は存在しないことが証明済みだから。

学術的にはこういう塩対応になる。
0630１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/06(月) 20:33:16.85ID:LcK9vskf
ではどうすればいいか？

知らんがな。

親切な人なら、あなたのやり方のどこが間違っているのか
具体的に指摘してくれるかもしれんが、特許がどうこうとか色気を出してる時点で、
できるだけ秘匿にしておきたいという魂胆が丸見えなので、自分で自分の首を絞めている。

あと、このような古い話題では、「代数的解法がない」という内容が正しいことに
もはや疑いようがないので、そのような結果に反する主張が
特許として受理されることはないと思われる(特許庁の信頼に関わるので)。
0631１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/06(月) 22:33:06.24ID:WCtTDKcQ
>>630
確かにどうも勘違いしていたようです。
ご指摘ありがとうございました。
0632１３２人目の素数さん
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2022/06/09(木) 03:37:50.64ID:tFfS/N1Q
どうしても三等分家と同じ空気をまとうよな。
両方ガロア理論が使えるだけあって。
0633１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/14(火) 00:44:51.60ID:aoIaY7ce
5次方程式に一般的な代数的解法が存在しない事はガロアの結果とは別に示されてたけど
ガロアいなかったら代数学のそこそこマニアックな結果になってたのかな…
0634１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/28(日) 16:51:46.06ID:jv05r6bX
体K上の5次方程式がK上既約である場合、
そのガロア群としては、最も一般の場合の位数5！＝120次の対称群S_5と
それの正規部分群である位数60の5次の交代群A_5、
があるがそれらはいずれも可解ではない場合になる。
解ける場合のガロア群は、位数が5ｘ4＝20次の場合と、
位数が5ｘ2＝10次の場合と、位数が5次の場合巡回群C_5のものだけである。
それらに対しては、ラグランジュの分解式を使って、K上で解の代数的表示
（べき根と四則だけの組あわせで）を書くことができる。
体K上での多項式のガロア群は何になるかは、代数的に決定する方法があるが、
長くなるのでここでは述べない。それにはK上での多項式の因数分解を用いる。
0635１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/30(火) 16:30:13.80ID:UQ0phbRg
体Ｋが有限体の場合には、5次方程式のすべての解を代数的に？求める
ことが出来る。それは丹念に有限体の元を1つずつ入れてみて根であるものを
拾い上げれば良いのである。でもそれを、四則演算とべき根の操作による
式として表したことにならないとすれば、拾い上げでは代数的解法とは
呼べないであろう。一般の係数についての解を与えたことにならないから。
はたして、有限体の場合には拾い上げではない代数的解法はないのだろうか？
なお、べき根を使うとなると、それにより有限体が拡大される場合もおこる。
0637１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/30(火) 19:45:55.33ID:UQ0phbRg
大きな有限体、たとえばｐがとても大きな素数たとえば千桁で、体がK=Z_pのとき、


二次方程式 x^2 = b がK=Z_pの中に解を持つかどうかを判定し、解があればそれを
具体的に導くにはどうすれば良いか。

さらに、三次方程式 x^3=c がKの中に解を持つかどうかを判定し，
解があればそれを具体的に導くにはどうすれば良いか。

5次方程式ｘ＾5＝ｄが。。。
0638１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/31(水) 00:37:55.49ID:JeikDXCN
平方剰余って知ってる？
0639１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/31(水) 01:17:45.10ID:UteMuGfC
平方剰余だけだと体の中に平方根があるかどうかしかわからん。
平方根自体を千桁の数としてZ_pの中から求めなければならないのだが。
どうやるのが最も合理的かな。
0640１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/31(水) 01:20:41.24ID:JeikDXCN
>>639
「判定し、」と書いてるから平方剰余を知らないと思った
0641１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/31(水) 21:23:26.16ID:UteMuGfC
じゃあ、立方剰余、四乗剰余は知っている？
0642１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/01(木) 08:39:25.65ID:uB81n779
ヴェイユのゼータ関数について調べることを勧める
0643１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/01(木) 09:21:16.17ID:ZC07wOqW
まず平方剰余の相互法則から
0644１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/01(木) 19:56:14.03ID:TXS31IJE
K が F_2 を含む体であるとき
K 上の2次方程式の解が四則と冪根で表せない場合があるよ(>>49)
面倒だね

根を文字でおいて無理矢理拡大できるから
もう今の学者は冪根で解くことに執着していないのだろう
0645１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/03(土) 09:44:21.14ID:1mdmiBYJ
平方根だから（有限）体の中に根があるならば
ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
0646１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/03(土) 10:25:15.67ID:Ja0wNjCx
>>645
>>ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
どんな距離に関して？
0647１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/23(金) 17:05:42.74ID:Fm65WMwd
部分体を持たない素体のなかの「距離」としては、自明なものしかないだろ。
つまり一致するかしないかだけ。
たとえば平方根を求めるためのニュートン法は有理式の反復の形にかけるから、
体上では実行可能だろう。それがどのような挙動を示すだろうか。
たとえば、比較的体の要素数が大きくても、初期値のある程度の割りあいに
対して少数回の反復でもって、平方根に到達するということがあったりすれば
（願望だが）、良いのになという話。たぶんそうならないかもしれないが、
それはそれで面白い。
0648１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/28(水) 21:05:55.95ID:z1nf2YJs
いくつかの例で多少実験してみたところ、
どうもニュートン反復式は、素体の中で平方根を
求める役には全然たちそうもないことがわかった。
0649１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/23(日) 16:56:19.73ID:RxDfxLkf
Z/pZ 上のm次多項式f(x)を既約分解すれば、

1次因子があれば、それがf(x)=0のZ/pZに於ける解になる。
2次の既約因子があればZ/pZ上の2次拡大体の中に2次既約因子の個数の2倍の解がある。
3次の既約因子があればZ/ｐZ上の3次各大体の中に3次既約因子の個数の3倍の解が、
。。。
既約分解を行う算法は既に存在していて、数式処理などでは使われている。
0650１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/30(日) 16:21:07.12ID:YxSemZpb
要素の数が有限の体は、標数が素数ｐであって、
要素数が素数ｐからなる要素数がｐの体であるか
またはそれの任意次数の代数拡大で得られる体に同型である。
拡大次数をｍとすればその要素数はｐのｍ巾になる。

つまり、要素数が有限である体は極めて限られた存在で
豊富さに欠ける。
0651１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/30(日) 19:18:04.57ID:/BpMF6dC
素数は豊富さに欠けるということになるから、間違った主張である
0652１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/08(火) 06:25:23.93ID:Mb93uGhw
>>644
Abel方程式にはまだ執着しているようだ
0712１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/15(金) 01:28:39.64ID:5X8DnZeA
やっぱり、５次方程式は普通に係数比較をして、代数的に解けるんじゃないかと思えるんですよね。
4次以下の場合と、条件を同じにできると思うんですよね。
0713１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/15(金) 13:28:32.91ID:PNtPhSaL
ネットをちょっと読んだくらいで分かった気になるんじゃなく
一度くらいはこれをメインに扱ったちゃんとした教科書読んだ方がいいぞ
ラグランジュの考えたなぜ3次方程式や4次方程式は解けるのか?
ラグランジュの分解式みたいな話から読んだ方が多分いい

ガロア理論使うと5次以上の一般解がない証明はかなり短いんだけど
具体的な計算とはかけ離れた証明で一般人置いてけぼりだからな
5次対称群には正規部分群の系列がないみたいな証明
0714１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/15(金) 22:49:14.92ID:jVzPsItt
「普通に係数比較をして、代数的に解けるん」
だったら誰かやってるはずだろ、という
考えに至らないとか
アーベルによる不可能性の証明があるにも関わらず
「それでも俺にはできそうな気がする」
という信念が何処から来るのかが気になる。
が、これはそれほど珍しいことではなく
「角の三等分家」という類型として知られており
世の中には一定数いるタイプ。
0715１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/15(金) 23:04:55.53ID:jVzPsItt
ガロア理論は以下のことを含んでいる。
・5次以上の一般代数方程式が代数的には解けないことの証明。

・一般的には解けなくても、個々の方程式は解ける場合もある
その違いはどこから来るか？という問題に対して
「方程式のガロア群」が定義されて、それが
可解群であるか非可解群であるかによって定まる
という解答を与える。

・ガロア群が可解群であり、その根への作用が
分かっている場合には、べき根解法に対して
透明な計算法を提供する。

というわけで、この天才の仕事によって
話はほぼ終わっている。
0716１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/16(土) 04:57:44.68ID:2TiB7IGN
係数比較で解いていくのは4次以下と同じで普通なのですが、最初に5つの解を表す方法が普通ではないのです（多分）。
それは5つよりも多くの置換パターンを表現しており、例えば、5種類の置換しか表現しないもの（5つの数の巡回置換とか）から
始めると重複ができて120通りの置換が網羅できないのですが、一手目のパターンが多ければ力業で網羅できる訳です。
５＊４＊３＊２だと1つでも重複すればダメですが、２０＊４＊３＊２とかなら多少の重複があっても120通りをすべて表現
できるという感じです。
0717１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/17(日) 16:58:38.48ID:RJ313TSr
「正規部分群の系列がない」と駄目なのでしょうか？
正規部分群でなくとも、部分群を束ねて、「そのどれかが条件を満たせばいい」とはならないのでしょうか？
私は、ガロア理論も群の概念も分かっていないので全部直感なのですが、抜け道があるとすれば、その辺りなのではないかと
思うんですよね。
0719１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/25(月) 12:36:50.29ID:uIkK4+1W
５つの解を表しながら、６つ以上の置換パターンを表現する方法は、数学界的には周知の事なのでしょうか？
0720Mad Chemist
垢版 |
2023/10/13(金) 16:22:56.18ID:mpCVv2hH
エクセルを使ってだが、5次方程式を解く方法を思いついた。
係数がややこしいと難しいが、簡単なものは解けるようになった。
実数解だけだが。
0721Mad Chemist
垢版 |
2023/10/13(金) 16:23:04.00ID:mpCVv2hH
エクセルを使ってだが、5次方程式を解く方法を思いついた。
係数がややこしいと難しいが、簡単なものは解けるようになった。
実数解だけだが。
0722１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/13(金) 17:29:23.56ID:PbJWAbhV
>エクセルを使ってだが、5次方程式を解く方法を思いついた。

「代数的解法」とは言ってませんね。
0723Mad Chemist
垢版 |
2023/10/21(土) 13:53:38.22ID:jwxNIkGs
私がやったのはエクセルで数表作って実数解を見つけるという手法だ。

実数解が1個、又は2個見つかったら以下のように因数分解できる。

与式 ＝ (x-α)(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) = 0

与式 = (x - α)(x - β)(ax^3 + bx^2 + cx + d) = 0

3次方程式と4次方程式はすでに解けるようになっているので、5次方程式は
解けるようになったという次第だ。
ベースが数表だから、今のところ　-15 < x < 15 の範囲で
最初の実数解を探すようにした。

3次方程式や4次方程式を解けた際は少なからず誇ろばしく
思ったものだが、5次方程式の解法は能が無いというかイマイチ
恥ずかしい。
0724１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/21(土) 20:56:09.81ID:cJ4T8lE4
級数表現すればええやろ
0725１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/25(水) 19:26:51.43ID:QflJFoJT
>>724
やってみたんか？
0726Mad　Chemist
垢版 |
2023/10/29(日) 20:53:23.68ID:PLrLns6O
私が多次方程式に興味を持ったのは三相交流を勉強する機会が
あり、3次方程式に興味を持ったからである。
数年かかりであったが解けるようになった。

さらにさかのぼると学生のころベンゼン分子の分子軌道の計算
につまづいていた。ベンゼンは炭素数が6個だから6次方程式になる。
6次方程式を解くのがぼやーっとした目標だった。
さてセミリタイヤ中の爺の暇つぶしである。
6次方程式はどうしたものやら。
思考以前の妄想中である。
0727１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/30(月) 16:51:44.36ID:IoYezsQz
>>725
ニュートン法を書き下すだけやで
0728１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/01(水) 01:28:09.28ID:oBK6S5+s
実は、もし５次方程式に代数的解法があるとすれば、（状況証拠的に）これしかないだろうという表式を既に得ているんですよね。
まあ勘違いの可能性が高いですし、いざ方程式を解こうと試行錯誤するにも計算量的に大変だろうしと、それ以上は手つかずなんで
すけども。
いつか、解けないという証明を信じている人達の鼻を明かす事が出来たら面白いだろうなあと思って、解法への直観的理解が降りて
来るのを待っている状態なんですよね。
0729１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/01(水) 07:18:23.45ID:FRQ9rdQB
解けないという言葉の意味を正確に
0730１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/01(水) 08:10:02.19ID:F5/ta2Ve
>>728さんは典型的な「角の三等分家」でしょ。
あまりにも類型に当てはまっている。
「彼らのほとんどは年取った男である」とか
「定年間際にやっと自分の方法を見つけるのである」
とか。世の中にそんなひとが一定数いるのが不思議だが事実。
もちろん、絶対に「分からせよう」などと思ってはいけない。
数学者や編集者に送り付けてくる手紙への返事の仕方まで
マニュアル化されているくらい。
0731１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/01(水) 08:14:53.73ID:F5/ta2Ve
　『角の三等分』（矢野健太郎・一松信著、筑摩文庫）
の巻末に収録されている元数学セミナー編集長の亀井哲治郎氏
の文章が面白かった。数学雑誌の編集部では「角の三等分の
証明ができました」と読者が言ってきても「相手をするな」
というのが先輩からのきついお達しだった。ところが、
あるとき魔がさして１人の「三等分家」のお手紙に返事を
書いてしまう。それから、延々と証明とその問題点の指摘
のやりとりが何日も続き、相手のオジサンがあまりに
しつこいので、最後は、電話が来たときに怒鳴りつけて
しまったというお話。なんだか、可哀想なような、
後悔の念にさいなまれたというような懺悔っぽい文章だった。
0732１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/01(水) 08:28:40.75ID:F5/ta2Ve
文字通りの「角の三等分」問題とは限らず
「フェルマーの初等的証明」や「5次方程式の代数的解法」
という変種もある。フェルマーの方は数学者との
やり取りを公開した本まで出版されてたはず。
ただし、フェルマーの最終定理は「初等的証明はない」
という数学的証明があるわけではないのに対して
「5次の一般代数方程式」の方は「代数的解法の不可能」
の数学的証明があるのが、「初等幾何における角の三等分」
と同じ。
0733１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/01(水) 08:30:57.93ID:FRQ9rdQB
フェルマー予想や角の3等分の証明に
返事を書くのはゲッチンゲン大学の数学科の助手の職務だった。
証明が日本語で書いてあると
返事は「私は日本語が読めません」でよいので
楽だったという。
0734１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/03(金) 09:18:22.24ID:vAcDRVep
素人はだいたい「代数的解法」の意味が分かってない
ざっくりいうと「冪根を使った解法」という意味なので
冪根以外のものを使った場合なんて一切考えてない

ガウスは代数学の基本定理で
「任意の複素数係数ｎ次方程式は重複まで含めて必ずｎ個の複素数解を持つ」
と証明した
そして代数的でない方法まで認めていいなら
ｎ個の解を全て見つける解法が存在する
だから実用的には何も困らない
一般人に「５次以降の代数方程式を代数的に解く方法は存在しない」というのは
百害あって一利もない
0735１３２人目の素数さん
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2023/11/03(金) 10:11:26.67ID:wVID2LZd
しかし人によっては驚天動地であり
偉大な研究の出発点になりうる
0737１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 16:13:47.52ID:Hd+RkqEo
>>736
いい歳して厳密解と近似解の話の違いが理性的に理解できないようじゃ相当残念だがな。
0738１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 17:02:00.30ID:v3fY12De
>>737　いくらでも正確に近似できるならそれは厳密解である
複素数の定義を正しく理解しているなら、わかる
しかし定義も知らん奴には理性のかけらもない
0739１３２人目の素数さん
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2023/11/05(日) 08:45:06.82ID:5LHa7EOg
>>736
一般人しか来ないか？
0740１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 20:24:23.62ID:8OgSUMzg
応用で考えた場合、有限体のような連続性を仮定できない体の場合、とても意味のある話になる。
0742１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/07(火) 07:23:54.94ID:ivDADiXg
q 乗フロベニウス写像とよばれる自己同型写像　・・・・・・


したがって、有限体の拡大はすべて巡回拡大であるガロア拡大である。
0743１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/08(水) 19:41:30.37ID:yLYMUQYI
５は４の次なのだろうか。
0744１３２人目の素数さん
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2023/11/14(火) 14:37:30.19ID:FeFo+jvG
ガロア理論を理解していない人間の妄想です。
５つの数の置換パターンは１２０通りですが、それを生成する過程において「どことどこを置換したのか」という情報まで含めて
区別すると、もっとパターン数が多くなります。もしかしたら、４次方程式までは偶々その区別が必要でなかったのが、５次では
必要になったので、それまでの考え方が通用しなくなっているだけという可能性はないでしょうか？
0745１３２人目の素数さん
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2023/11/14(火) 20:38:19.73ID:bzNWkm1A
馬鹿のポエム
0746１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/07(日) 10:49:30.42ID:VYq5qYoK
なんか三元数ができた。ちゃんと絶対値の積が積の絶対値になっている。
四元数よりも簡単に三次元の回転を表せたりしないだろうか。すごく自然なので、何かしらの価値がある気がする。
ネット情報だと、三元数を構成するのは無理だというような言説をよく見たので、数学者と言えども言外の思い込みが
色々あるのだろうなあと思った。
0747１３２人目の素数さん
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2024/01/07(日) 11:23:00.72ID:mSOjCzjK
割り算はできる？
積の可換性は？
0748１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/08(月) 00:42:32.63ID:TUGioFES
割り算はどうなんでしょう？　絶対値が成り立つ様なのでゼロ因子は存在しないと思うのですが、証明の仕方が分かりません。
積は、非可換で非結合的なので、必ず先頭から掛けていかねばなりません。
ちなみに、私の考えたものは三元数とは言えないかも知れないと思えてきました。
私は、ｘ元数の呼称をどういう基準で決めているのかが分からなかったので、とりあえず、他の元の和で作れないものを独立した元と
見做すのだろうと考えていたのですが、なぜか”実数＋虚数”が二元数と呼ばれている事を受け入れていたんですよね。
しかし、マイナスと虚数単位はどちらも独立していますが、一方は単なる符号で、もう一方は元扱いなんですよね。
本来なら、一元数は＋、二元数は＋とー、三元数は＋とωとω²、四元数は＋とーとｉと−ｉ、となるべきではないでしょうか。
マイナスが符号なら、複素数平面上の角度はどれも符号という解釈もありだと思うんですよね。
という訳で、私の考えた演算規則に意味が無かったとは全く思っていませんが、三元数であるかどうかは恣意的で重要ではないのかも
しれないと思いました。
0749１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/08(月) 08:48:28.63ID:ZrVhSI9L
珠洲市の今井塾はどうなった？
0750１３２人目の素数さん
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2024/01/08(月) 09:13:34.17ID:ZrVhSI9L
>本来なら、一元数は＋、二元数は＋とー、三元数は＋とωとω²、四元数は＋とーとｉと−ｉ、となるべきではないでしょうか。

線形独立って知ってますかね？
1+(-1)=0
1+ω+ω^2=0
i+(-i)=0
だから、線形独立ではない。
だからたとえば、a,b,cを正の実数として「a+bω+cω^2の全体が3元数だ！」
と言ったとしても、実際には2元数にしかならない。
0751１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/08(月) 10:20:43.67ID:qy/VQOGp
既存の体論の拡大次数すら知らないクチか

自分の思い付きを「本来なら」なんて言ってのけるのも迷惑
0752１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/08(月) 17:58:14.75ID:0Lxe35f+
今すぐに精神科を受診し、治療を受けてください。他に方法はありません。
0753１３２人目の素数さん
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2024/01/11(木) 19:39:32.31ID:n9y/DIYW
ついでに
a, b, c を有理数としたときの a+bω+cω^2 であれば
その全体は円分体 Q(ζ_3) というこれまた既存のものになる。
a+bω+cω^2=(a-c)+(b-c)ω なのでQの2次拡大にすぎない。

Q(ζ_5) はQの4次拡大だがこれを4元数だと思ってもいけない。

R(ζ_5)=R(ζ_3)=R(i)=C とも別の話。
0754１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/12(金) 22:07:53.97ID:6VWTpLuo
「だからたとえば、a,b,cを正の実数として「a+bω+cω^2の全体が3元数だ！」と言ったとしても実際には2元数にしかならない。」
とか、
「R(ζ_5)=R(ζ_3)=R(i)=C」
とか、
この考え方は果たして当たり前なのでしょうか。
もしかすると、どれも実軸と虚軸との直交座標で考えられるという事なのかもしれませんが、それだと、行列計算との整合性は
取れるのでしょうか。
0755１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/13(土) 12:31:50.30ID:hW5Se/sj
今井塾のひとがニュースの安否不明者の中に入っていた...
0757１３２人目の素数さん
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2024/01/14(日) 01:12:23.12ID:suIpC6xv
a, b∈R が動くとき
a+bi がとる値全体は C だし a+bω がとる値全体も C
添加元の選び方が違うだけで新しい数は作れてないでしょ
R(ω)=R(i) が意味するのはこれに近い
a+b(5+7i) みたいなのでもいいの

基底はガウス平面で直交しないが斜交座標での計算は行列の守備範囲内だろう


それとも
ωを複素数にない独自のものの記号として使っているの？
だとしたら複素数解を得られる保証はない
0780１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/14(日) 13:29:45.78ID:EB1NoV8S
今井って現在83歳だったんだな。
最新の安否不明者のリストには載ってないから
安否確認されたんだろうな。
0781１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/14(日) 13:33:09.49ID:EB1NoV8S
なぜこのスレで今井の話か？というと
角の三等分家とマチガッテル系というか
このスレの三等分家さんとも心理的な共通項
があると感じるから。今井というひとは
現代数学が初歩の部分でマチガッテルまたは
不十分であるという主張だったから。
0782１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/14(日) 13:36:50.52ID:EB1NoV8S
複素数を複ベクトルと言い変えて、車輪の再発見
みたいなことやってたのも、このスレのひとと
共通点がある。このスレの三等分家さんは理解が
まだまだ不十分だが、理解が深まって「完成」に
近づけば、結局「車輪の再発見」のようになるはず。
0810１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/14(日) 18:40:54.14ID:WT7Agqld
加法が定義され、結合律が成り立ち、単位元を持ち、逆元が存在し、可換律を満たす。加法群をなす。0、-x
0823１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/25(日) 07:17:24.57ID:jEnDms7m
>>757

複素数解と言っても、得られる保証が有るのは数値解でしかないと思います。
だとすれば、幾何と代数の同一視が過ぎると思うんですよね。
0824１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/25(日) 07:53:49.58ID:ynLPkG4t
>>823　数値解でええやん　冪根とかいうても最後は数値にするなら同じやん
0825１３２人目の素数さん
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2024/02/25(日) 12:56:10.38ID:jEnDms7m
数値解しか求められないのであれば、それは「いくらでも真の値に近づける」ではなく、「その表記法では表すことができない」
という意味でしかないと認識すべきだと思います。
どうしても代数的に表せない場合は、仮に幾何的な直観で正しいように見えても、実は的外れであるという危険性が存在していると
思うんですよね。
0827１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/25(日) 18:09:02.80ID:rE3wi7s9
>>3
噂ってか当たり前のことじゃね？
五次方程式が代数的に解けないってのは
そのR(a,b)を代数的に表せないってことと等価なんだから
0828１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/25(日) 18:09:39.42ID:rE3wi7s9
>>12
係数が全部実数ならね
0829１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/25(日) 19:44:09.82ID:jEnDms7m
例えば、「1の原始9乗根はa+biなる形で表すことができない（原始3乗根のさらに3乗根と表示する以外に方法がない）」という
事実が有るそうです。（Yahoo知恵袋より）

構造的に無理なのに、幾何的直観だと、何か都合のいい適当な実数を使えばa+biと表せるはずと感じるわけです。しかし、その
適当な実数が正確に何なのかは、そもそも原理的に表すことが出来ないということです。それは、本当に数直線上に存在している
のでしょうか？

また、１の原始５乗根のような基本的な対象は、（お互いに、他の元との実数倍の和では移れないという意味で）それぞれが独立
していそうなものですが、複素数平面上では独立していないことになります。私は、４乗根まではちゃんと独立しているのに５乗根
では成り立たなくなる事と、５次方程式が代数的に解けないと思われている事とが、同根だと思うんですよね。
果たして２重根号は、数直線という直観で捉えられるものなのでしょうか？

あと、プラスの数とマイナスの数をそれぞれ独立にではなく、まず足してから複素数平面上にプロットするということは、絶対値で
考えるという事になってしまうと思います。
0830１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/25(日) 22:32:32.92ID:IAHwyzFf
ナポレオンの言葉
Impossible, n'est pas français.「不可能という言葉はフランス的ではない」
を見ると、「角の三等分家」が世に絶えない理由も分かる。
意外に世の中にはこういう思考法のひとが多いのかもしれない。
「代数方程式のべき根解法が一般的には不可能であるが、同時に
べき根解法可能な各次数の既約代数方程式のクラスが存在する」
という高度な認識は、ガウスからアーベル、ガロアにまで
連なるもので、現代数学では常識だが、一般人にとっては
空谷の跫音なのかも。（さらに一部のひとにとっては
断崖絶壁の理解の彼方なのかも。）
0831１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/26(月) 00:18:10.11ID:Q7Ulu20R
>>830
一時期
ここ5chみたいなSNSで「悪魔の証明」を連呼するニワカみたいなのをよく見かけたが
ネット認証もちゃんと数学的な証明を実用品として使ってる営みの一例なんだよなあ。
0832１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/02(土) 12:42:32.48ID:jtQNyzNi
>>757
行列の計算というのは、「和で結ばれた異なる項に対して、それぞれ異なる符号を掛ける事」を許しているのが特徴だと思うんですよね。
理由は、例えば２＊２行列の掛け算では、|A C|を|A + C|と見做すと、１列目は「１列目にAを、２列目にBを掛ける数」で、２列目は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|B D|　|B D|
「１列目にCを、２列目にDを掛ける数」と考えられるので、後は普通の掛け算（"α＋β"×"γ+Δ"）と同じと見做せます。ただし、
それぞれの項を掛け合わせる際は、左側が掛けられる対象で右側が掛ける倍数となり、例えばα×γなら「αの数値、αの列の位置、γの
数値、γの列の位置」と並べれば、真ん中の「αの列の位置、γの数値」で何倍するかが決まり、残りの情報と合わせて答えが出ます。
そして、A は +X　+Yと分解できるので、結局「異なる項に異なる符号を掛ける演算」（+Y）が存在すると言えると思うんですよね。
　　　　B 　 +X　-Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-Y
例えば普通の計算上は”AーB＝C”だとしても、この演算の下では、”AーB”と”C”は必ずしも同じとは言えないと思うんですよね。ですから
プラスとマイナスを足してから複素数平面にプロットすることは、ある意味で絶対値をとっている様なものだと思います。

ちなみに、+と+（２列目は+と-）をプラスの符号と考えて、その逆はマイナスとすると、行列を２乗した時に普通の掛け算と比べて
　　　　　+　-　　　　　+　+
マイナスが１回多く掛かる組み合わせを足し合わせると、行列式と等しくなります。行列式は絶対値の拡張だと思うので、正方行列で且つ
斜めの位置関係の要素を一纏まりの数と考えた方が自然だと見れば、そもそも普通の掛け算と行列の積をごっちゃに考えることが間違い
という可能性もあります。
0833１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/03(日) 09:21:41.24ID:c+CtB3yx
すいません、表示がおかしくなっていました。

>>757
行列の計算というのは、「和で結ばれた異なる項に対して、それぞれ異なる符号を掛ける事」を許しているのが特徴だと
思うんですよね。
例えば２＊２行列の掛け算では、｜A　C｜を｜A＋C｜と見做すと、１列目は「１列目にAを、２列目にBを掛ける数」で
　　　　　　　　　　　　　　　｜B　D｜　｜B　D｜
２列目は「１列目にCを、２列目にDを掛ける数」と考えられますから、後は普通の掛け算”（α＋β）×（γ＋Δ）”と
同じ様に計算出来ます。（ただし、それぞれの項を掛け合わせる際は、左側が掛けられる対象で右側が掛ける倍数となり、
例えば上記の”α×Δ”なら「α、１列目、Δ、２列目」と情報を並べて真ん中の「１列目、Δ、」の部分で何倍するかが
決まり、残りの情報と合わせて答えが出ます。）それら各項は＋Xと＋Yに分解できるので、結局、「異なる項に異なる
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋X　−Y
符号を掛ける演算の存在」が言えると思うんですよね。そして、この演算の下では”A−Aの個数”を気にする必要があるので
一概にプラスとマイナスを足して一つにすることは出来ないと思うんですよね。

ちなみに＋と＋（２列目は＋と−）がプラスの符号で、その反転はマイナスと考えて、2乗した時にマイナスが１回分余計に
　　　　＋　−　　　　　＋　＋
掛かる組み合わせのみを足し合わせると、行列式と等しくなります。行列式は絶対値の拡張だと思うので、正方行列で且つ
斜めの位置関係の要素を一纏まりの数と考えた方が自然だと見れば、そもそも普通の掛け算と行列の積をごっちゃに考える
事が間違いという可能性も有ります。
0834１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/15(金) 20:59:16.79ID:CnsbPmQ5
1の原始11乗根の厳密解を求めてみたけど、反応がイマイチだった。
cos(2π/11)は参考サイトの1番目に具体的な式が提示されているけど、
sin(2π/11)はググってもどこにも無い感じなので頑張って計算してみたのだが...
というかカンニングして何とか求まったって幹事だが...
どのスレに書こうか迷ったけどとりあえずここに貼ってみる

exp(i*2π/11)=cos(2π/11)+i*sin(2π/11)=

-1/10
+1/40(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)

+i/10√(55
-5(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
-5(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
)

=0.841253532831181168861811648919367717513292498420537898642650117...+0.540640817455597582107635954318691695431770607898113840035749889...i

cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった(2/11,3/10追加) | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12570494916.html
Fermat's Last Theorem: Vandermonde: Eleventh Root of Unity expressed as radicals
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/01/vandermonde-eleventh-root-of-unity.html
math discoveries
https://mathandnumberystuff.tumblr.com/tagged/roots%20of%20unity
くろべえ: 1の累乗根（x^n-1=0 の解）の図
https://kurobe3463.blogspot.com/2007/05/figure-of-radical-root-of-1.html
0835１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 17:02:26.80ID:cDo/zWkL
>>834
5乗根を使っていますが、それは次の意味でいいですか？
「複素数zに対して、zの偏角の主値をArg(z)=θとするとき
z^{1/5}=|z|^{1/5}*exp(iθ/5) と定義する。」
偏角の主値
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%81%8F%E8%A7%92

あと、虚部の最初の項
>+i/10√(55
が明らかにおかしい。これはi√11/10 であるはず。
0836１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 20:49:31.49ID:cDo/zWkL
>cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった

はっきり言ってど素人の計算。
とんでもなくなるのは、根本的なことが分かってないから。
200年以上前のガウスの計算の方が遥かに遥かにレベルが高い。
ど素人と数学者の差は大きいということ。
0837１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 21:11:17.79ID:cDo/zWkL
ガウスD.A.執筆時ハタチ前後。どこに曖昧さが生じて
どこが曖昧さなく定まるのかということまで含めて
非常に注意深く書かれている。ところで、ガウスは
「べき根解法」とか「代数的解法」という言葉は使わない。
「混合方程式の純粋方程式への還元」という。
この言葉の遣い方も、よく考えられていると思う。
0838１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 21:23:51.73ID:cDo/zWkL
実は、cos(2π/11)のべき根表示が求められていれば
そこからsin(2π/11)の表示を得ることは
難しくはない。2次のガウス和及びヤコビ和という
ものが使われる。ただし、それはcos(2π/11)の
値が「きちんと、注意深く」求められていれば
という前提での話で、>>834のリンク先ではそれが
なされていないので、全く明解ではない。
ど素人の計算たる由縁。
0839１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 21:37:57.49ID:cDo/zWkL
>>834のリンク先の計算はゴミと考えてよい。
まず、cos(2π/11)のべき根表示を求めるのに
「短くなった」と言って、それでも十何ページも
かかっているのがおかしい。見通しが悪すぎる。
きちんと求まってもいない。単にべき根表示式と
数値計算が合うように腐心しているだけ。
きちんと求まっているとはどういうことか？
cos(2π/11)の表示が求まれば、そこから
sin(2π/11)の表示は難なく求まる。
また、exp(4πi/11),exp(6πi/11),...
の表示式も同時に明解に得られる。そういうこと。
0840１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 22:22:23.39ID:s6rwooOe
>>835
> あと、虚部の最初の項
> >+i/10√(55
> が明らかにおかしい。これはi√11/10 であるはず。

>>834で正しいよ
>>835=ど素人未満
0841１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 22:45:35.59ID:cDo/zWkL
>>840
虚部の最初の項は2次のガウス和であらわされることは理解してますか？
ψを2次指標とすると、ψ(-1)=-1,τ(ψ)=i√11 であり
τ(ψ)/10 となるはず。
ちなみに実部の最初の項は、1を自明指標として、τ(1)/10 =-1/10
で合っている。

exp(i*4π/11),exp(i*6π/11),...
はどうなるの？　まったく示されていないよね。
べき根の意味も明示されていない。
>>835の意味でいいの？

そこまで考えられてないなら素人仕事と言われても
仕方ないね。
0842１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 22:48:44.87ID:cDo/zWkL
複素数のべき根は、一般に多価であり
偏角の主値などを使って、意味を決めておく必要がある
そのことにまったく注意を払わないのはど素人。
0843１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/16(土) 23:13:08.55ID:cDo/zWkL
>どこに曖昧さが生じてどこが曖昧さなく定まるのかということ

本当はこういうことが数学的には大事なんだよ。
そのことにハタチそこらで自力で気づいていた
ガウスは天性の数学者であり
ともかく「公式のようなもの」さえ
得られればいいと思ってるのは、公式バカ。
それさえも>>834は間違ってるっぽいが
そうなったのも当然の帰結と言える。
0845１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 01:28:54.42ID:COjZ3RFF
>>844
「べき根表示式を元に数値計算した」なんて証拠はまったくない。
cos(2π/11),sin(2π/11)の函数値を書いただけなら
一致しているのは何ら不思議はない。

そんなロジックも分からないのは天才どころか「頭が弱い」。
0846１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 02:11:06.69ID:oDzkj8Vn
proc()begin
DIGITS:=10240;
a:=
-1/10
+1/40*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89+25*sqrt(5)+(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)+(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89+25*sqrt(5)-(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)-(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)

+I/10*sqrt(55
-5*(-11/4*(89+25*sqrt(5)+(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5/4*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)+(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5*(-11/4*(89+25*sqrt(5)-(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5/4*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)-(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
);
b:=float(a);
c:=abs(b^11-1)*10^10000;
print(float(floor(c*10^300)/10^300));
end_proc();

0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000044470036415117348991742799543132170618158629999\
260373
0847１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 02:43:37.74ID:COjZ3RFF
>>846
なるほどね。
>+I/10*sqrt(55
以下式が続いてたわけね。それなら合ってるのかもね。
根をべき根たちの線形結合の形であらわせば
平方根の項（ガロア群の作用で±1倍の違いが生じる）
として、i√11/10 が単独で必ず括り出されることは確かだけどね。
0848１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 03:12:53.95ID:COjZ3RFF
>根をべき根たちの線形結合の形であらわせば

なぜこの形にすることに意味があるかと言えば
ガロア群の作用による係数の変化が一目瞭然だから。
結果として、exp(2π/11)の一つのべき根表示式から
すべてのexp(2kπ/11),(k=2,3,...,10)のべき根表示
が同時に得られることになる。
つまり、一つの表示式は簡単な係数変化で、同時に
10個の根の表示を兼ねるわけ。2次方程式の解の
公式が2つの根を同時に示しているようにね。
0850１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 15:25:15.14ID:fZzXiqgZ
>>840
うむ。
結局、「sin(2π/11)」の冪根を求めるのか、「i*sin(2π/11)」の冪根を求めるのかって話だね。
結論から言うとどちらも可能だが、「i*sin(2π/11)」よりは「sin(2π/11)」で表した方が便利だよねって話。
0853１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 19:02:40.79ID:fZzXiqgZ
>>851
こうですね。

nが4以上のとき　(0≦θ≦π/2)
√(1-cos(2π/n)^2)=sin(2π/n)
√(1-sin(2π/n)^2)=cos(2π/n)

√(cos(2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)=i*sin(2π/n)
√(sin(2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)=i*cos(2π/n)
√(cos(-2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)
√(sin(-2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)
0854１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 19:06:13.66ID:fZzXiqgZ
>>851　>>853
やってしまった

nが4以上のとき　(-π/2≦θ≦π/2)

√(1-cos(2π/n)^2)=sin(2π/n)
√(1-sin(2π/n)^2)=cos(2π/n)

√(cos(2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)=i*sin(2π/n)
√(sin(2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)=i*cos(2π/n)

√(cos(-2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)
√(sin(-2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)

√(1-cos(-2π/n)^2)=sin(-2π/n)
√(1-sin(-2π/n)^2)=cos(-2π/n)
0855１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 20:58:51.49ID:COjZ3RFF
>>854
それらの公式だけからsinとcosの値の体論的な関係が
把握できると思ってるなら間違ってますよ。
たとえば nが4で割れない整数のとき、√(1-sin(2π/n)^2)の
√記号は見かけに過ぎない。すなわちこのとき、cos(2π/n)は
sin(2π/n)のQ係数有理式であらわされる。

証明できますか？
0856１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 21:44:12.89ID:COjZ3RFF
ガロア理論と複素解析くらいは理解していないと
現代的にスマートな記述はできないと思う。
ガウスは220年前に、これら無しで完全な記述を
行っているが、天才であり例外。
834のリンク先の著者がn=11のケースで既に
「とんでもないことになった」とバカなことを
言っているのは、正にこの理解が欠けているから。
複素解析は多少大げさだが、べき根の多価性を理解
していないのは致命的。主値などを使ってべき根の意味
を明示していないというのは分かってないということ。
ソフトの出力に任せて、自分では考えていないのだろう。
0857１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 21:52:08.15ID:COjZ3RFF
>n=11のケースで既に「とんでもないことになった」

このリンクは確か某コピペバカも引用して真に受け
「n=11くらいが既に計算の限界なんだ」と言っていたから
罪が重い。一体、何のつもりでゴミをネットに上げて
いるのだろう？
0858１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 22:56:48.09ID:fZzXiqgZ
Vandermondeの解法で、Δ1,Δ2,Δ3,Δ4が求められる。
V1=1/5(-1+Δ1+Δ2+Δ3+Δ4)のような式に代入するが、
そのままでは目的の値にならないので、
1の5乗根のω0(=1),ω1,ω2,ω3,ω4として、
それぞれのΔに適当なωを掛ける必要がある。
結果的に、(1の11乗根をz_0=1,z_1,z_2,z_3,...,z_8,z_9,z_10として)
V1＝z_1+z_10=cos(2π/11)
V2=z_2+z_9=cos(4π/11)
V3=z_3+z_8=cos(6π/11)
V4=z_4+z_7=cos(8π/11)
V4=z_5+z_6=cos(10π/11)
が得られます。
上記の値は5次方程式の解です。、
しかしsin(2π/11)の値は10次方程式の解なので何らかの処理が必要です。
ここはまだ勉強が必要ですが、
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11-2 = -(z_1-z_11-2)+2になるようです。
なので、√(2-"V2")/2によりsin(2π/11)が求まるようです。
√(1-("V1"/2)^2)
でもsin(2π/11)が求まりますが、V2を使ったほうが、
2乗が消えるためスマートです。
0859１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 22:59:02.18ID:fZzXiqgZ
>>858
訂正

誤
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11-2 = -(z_1-z_11-2)+2になるようです。

正
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11-2 = -(z_1-z_11)+2になるようです。
0860１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/17(日) 23:45:36.58ID:fZzXiqgZ
>>858-859
(z_1+ｚ_10)^2 - z_2+ｚ_9=2
z_2+ｚ_9 - (z_1+ｚ_10)^2=-2
より
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11 -2 = 2- (z_1-z_11-2)

また三角関数にして計算すれば分かりやすい
0862１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/18(月) 10:47:20.99ID:lGYbWgqf
>>858
>なので、√(2-"V2")/2によりsin(2π/11)が求まるようです。

半角の公式を使ってるわけね。確かにそれでも求まりますよ。
ただし、平方根の中にさらに5乗根を含むべき根表示式
が入る2重の形になりますが。しかし、ガロア理論が
分かっていれば、この2重の形も見かけに過ぎないこと
ことは明らか。なぜなら Q(sin(2π/11)/Qは巡回拡大
だから。実は、cos(2π/11)のべき根表示に用いたべき根たち
と√11の積、それらのQ(ζ_5)の数を係数とする一次結合
であらわされることが分かる。それが「正しい形」。
0863１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/18(月) 11:20:38.97ID:lGYbWgqf
たとえば、sin(4π/11)はsin(2π/11)から有理的
にあらわされる。どうやって証明するか？
倍角の公式を使って
sin(4π/11)=2sin(2π/11)cos(2π/11)で
cos(2π/11)=√(1-sin(2π/11)^2) だから...
とやると「どうやってルートが外れるのか？」
と悩むことになる。nが奇数のときsin(nx)
はsin(x)の整数係数多項式であらわされる。
したがって、sin(18π/11)=-sin(4π/11)は
sin(2π/11)の整数係数多項式であらわされる...
と気づけば解決。
この場合、証明に4π/11という値の特殊性
を使っていることが分かる。

三角函数論→変数が任意の実数や複素数で成立する事柄

数論→個々の数の"個性"に強く依存して成立する事柄
0864１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/18(月) 19:05:25.48ID:wVlCf4Wp
複素数から始めて、いわゆる四元数・八元数へと拡張していく規則を見つけたのだけれども、その次が一六元数どころか二五六元数に
なってしまった。　もしかしたら同じ性質のダブった元が存在して、それを除外すればもう少し減るかもしれないけれども、いづれに
せよ１６よりはだいぶ多い。　この元同士の間には面白い性質が成り立つのだけれども、果たして自然が採用しているのは１６か２５６
か、それとも両方ハズレだろうか。
0865１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 16:15:50.76ID:pX+joQf5
>>858
V5が抜けてた。あと求められる値は2cosね
V1＝z_1+z_10=2cos(2π/11)
V2=z_2+z_9=2cos(4π/11)
V3=z_3+z_8=2cos(6π/11)
V4=z_4+z_7=2cos(8π/11)
V4=z_5+z_6=2cos(10π/11)
V5=z_5+z_6=2cos(12π/11)=-2cos(π/11)
0866１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 16:17:20.01ID:pX+joQf5
>>858　>>865
訂正
V1＝z_1+z_10=2cos(2π/11)
V2=z_2+z_9=2cos(4π/11)
V3=z_3+z_8=2cos(6π/11)
V4=z_4+z_7=2cos(8π/11)
V5=z_5+z_6=2cos(12π/11)=-2cos(π/11)
0867１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 18:13:38.44ID:CJpJvQsa
大学数学が理解できなかったひとへの練習問題

Qは有理数体、Q(a)はQに数aを添加して得られる数体
をあらわすものとする。

問1
√11∈Q(sin(2π/11)) を示せ。

問2
sin(2π/11)/√11∈Q(cos(2π/11)) を示せ。

おまけ
√11∉Q(cos(2π/11)) を示せ。

注:問1,問2とも計算だけで示すことができるが
大学数学はどう計算すればいいかの「見通し」を与える。
おまけは参考まで。問2の面白さが際立つと思う。
0868１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 21:58:00.24ID:pX+joQf5
2sin(π/3)=√3
2sin(π/5)*2sin(2π/5)=√5
2sin(π/7)*2sin(2π/7)*2sin(3π/7)=√7
2sin(π/9)*2sin(2π/9)*2sin(3π/9)*2sin(4π/9)=√9=3
2sin(π/11)*2sin(2π/11)*2sin(3π/11)*2sin(4π/11)*2sin(5π/11)=√11
2sin(π/13)*2sin(2π/13)*2sin(3π/13)*2sin(4π/13)*2sin(5π/13)*2sin(6π/13)=√13
0869１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 22:07:14.37ID:pX+joQf5
2cos(π/3)=1
2cos(π/5)*2cos(2π/5)=1
2cos(π/7)*2cos(2π/7)*2cos(3π/7)=1
2cos(π/9)*2cos(2π/9)*2cos(3π/9)*2cos(4π/9)=1
2cos(π/11)*2cos(2π/11)*2cos(3π/11)*2cos(4π/11)*2cos(5π/11)=1
2cos(π/13)*2cos(2π/13)*2cos(3π/13)*2cos(4π/13)*2cos(5π/13)*2cos(6π/13)=1
0871１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/20(水) 09:02:08.91ID:1IUuzgqK
>>870
その計算法で2重根号が消えますか？
2重根号が避けられることはガロア理論から分かっている。
今、cos(P)のべき根表示が得られているとしよう。
（簡単のため 2π/11=Pとおいた。）
共役であるcos(2P),...,cos(5P)の表示は
簡単な係数変化で同時に得られる。
あくまでもこれらを利用して
sin(P)の値を表したいというのが動機。
且つ2重根号は避けたい。そのための工夫が>>867問2。
sin(P)/√11=c_1cos(P)+…+c_5cos(5P)
となる有理数c_1,...,c_5が得られればよい。
理屈としてはそういうこと。
0873１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/20(水) 18:36:21.16ID:/GQJ8lRk
こんな感じで表されるってことか

exp(2π/5)=cos(2π/5)+i*sin(2π/5)
=1/4(-1+√(5))+i/2√(1/2(5+√(5)))
=1/4(-1+√(5))+5^(1/4)i/4(√(1-2i)+√(1+2i))
0874１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/20(水) 20:01:42.70ID:1IUuzgqK
sin(P)/√11
=1/2^5(sin(3P)sin(5P)sin(7P)sin(9P))
=-2^5 sin(P)sin(2P)sin(4P)sin(6P)sin(8P)sin(10P)/11
=-2^7 sin^2(P)sin^2(2P)cos(2P)sin^2(8P)cos(8P)/11
=-2^7(1-cos^2(P))(1-cos^2(2P))(1-cos^2(8P))cos(2P)cos(8P)/11

これで一応問2は解けている。ここからさらに目的の「簡単な形」
にするのはソフトを使った。たちどころに次が分かった。
sin(P)/√11=(1-cos(P)+2cos(3P)-2cos(5P))/11.
0875１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/20(水) 20:06:55.07ID:1IUuzgqK
このsin(2π/p)/√pの値を使う方法でうまくいくのは
p≡3 (mod 4)のときに限ることを注意しておこう。

>>67問1は確かに任意の奇素数pに対して成立するが
「おまけ」がp≡1 (mod 4) のときには成立せず
√p∈Q(cos(2π/p)) となる。一方で
Q(sin(2π/n))⊃Q(cos(2π/n)) は任意の3以上の
奇数nに対して成立するから、問2は
p≡1 (mod 4)のときは成立しない。かわりに√pよりも
「もっと難しい数」を使う必要があるということ。
0877１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 06:49:13.77ID:Vx2Za2W+
>>874の計算結果
P=2π/11とおいたとき
sin(P)/√11=(1-cos(P)+2cos(3P)-2cos(5P))/11
の両辺において、Pをa倍 (a=2,...,10)すると何が起きるか？
→　±1倍の違いが生じる。
これは、ガロア群が√11にも作用するから。
そして、この値は実はルジャンドル記号(a/11)に等しい。
すなわち
sin(aP)/√11="(a/11)"(1-cos(aP)+2cos(3aP)-2cos(5aP))/11.
（ただの分数と区別するために" "で示した。）

ルジャンドル記号
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E8%A8%98%E5%8F%B7

このことからも分かるように、この計算の背後にあるのは
本質的には数論なのである。
0878１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 06:51:38.88ID:Vx2Za2W+
だからこそガウスは本質を突けたのだし、数論に対する理解
がなければ、ガウスの域には至らない。
0880１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 09:41:52.26ID:RgaxrBmC
i*sin(2π/11)=
i√(11/20
-1/20(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-1/80(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
-1/20(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-1/80(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
)

ルートの中の最初の項が11/20になる。11/20*2=11/10
0881１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/31(日) 19:31:49.54ID:Kpwy9608
漏れら極悪非道のageブラザーズ！
今日もネタもないのにageてやるからな！
￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ∧＿∧ 　 ∧＿∧ 　　　age
　（・∀・∩）（∩・∀・）　　　　age
　（つ　　丿 （ 　　⊂）　age
　 （　ヽノ　　 ヽ/　　）　　　age
　 し（＿）　　 （＿）Ｊ
タグ：
0882１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/06/08(土) 21:21:32.17ID:EMPWFq/H
5次方程式の代数的解法について目途がついた。
ものすごくシンプルな方法で可能で、どうして不可能だと言われているのか不思議に思う。
とは言え計算量がえげつなくなりそうで、先へ進む気力が湧かない。
ゴールは既に見えていると思うのだけれども。
基本的な計算力の低さを実感して、我ながら残念だ。
0883１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/06/08(土) 23:14:52.43ID:dUQY76ug
>>882
どこか勘違いしてるよ、確実に
0884釈迦如来
垢版 |
2024/06/09(日) 09:32:09.54ID:COvh5Wjo
>>883
代数的解法の意味を勝手に拡大している可能性あり
例えば、無限回の計算を認めるとか、根号以外の使用を認めるとか

なおガウスによる代数学の基本定理によって
解の存在も（解析的な）解法も分かっている
0885１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/06/09(日) 09:59:39.14ID:/MzOSOZc
S_5は5次の巡回群をいくつか含んでるから
「5乗根の候補」になる数はラグランジュ分解式から
いくつも作れる。「それらを組み合わせれば解けそうな
気がするが、実は解けない」という、18〜19世紀に
繰り返されてきた誤りを繰り返してるだけだろう。
0887釈迦如来
垢版 |
2024/06/09(日) 12:42:26.06ID:COvh5Wjo
>>885
>S_5は5次の巡回群をいくつか含んでる
だから方程式の分解体はある中間体の巡回拡大
一方巡回拡大はどれも正規部分群ではない
>…から
>「5乗根の候補」になる数は
>ラグランジュ分解式からいくつも作れる。
もちろん作れる

>「それらを組み合わせれば解けそうな気がするが、実は解けない」
要するに正規部分群ではないので商群が存在しない
つまり上記の「ラグランジュ分解式から作られた数」を
基礎体に添加しても「ある中間体」が出来上がらない

>…という、18〜19世紀に繰り返されてきた誤りを繰り返してるだけだろう。
【教訓】ダメなものはダメ
0888釈迦如来
垢版 |
2024/06/09(日) 12:43:52.35ID:COvh5Wjo
>>887
誤　一方巡回拡大はどれも正規部分群ではない
正　一方巡回群はどれも正規部分群ではない
0889１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/06/10(月) 01:24:09.32ID:wG0fPyTj
f(x)を一般5次方程式とする。
f(x)=0の5つの根には自然に対称群S_5の作用が考えられる。
根から加減乗除で作られる数でS_5の作用で不変な数は
対称式の基本定理から、f(x)の係数の有理式としてあらわされる。
C_5をS_5の部分群である5次巡回群の一つとする。
根へのC_5の作用からラグランジュ分解式αを作る。
a=α^5は確かにC_5で不変な数である。
このような操作の繰り返しでS_5で不変な数に到達する
ことと、f(x)のべき根解法は同値であることに注意しよう。
（証明は勿論必要）
まずC_5で不変な数が作れたのだから、一見状況は
進捗したように見える。そこで問題になるのは
a=α^5が係数体からどのように構成されるかということ。
aがみたす既約方程式をF(x)=0とおく。
直観的にはF(x)の分解体はf(x)の分解体よりも真に小さい
ように思えるかもしれないが、この直観は実は誤り。
それが、C_5がS_5の正規部分群でないことからの帰結。
つまりこの場合、5乗根の添加によって状況は進捗しない
ということ。
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