5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net
5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。 べき根というのは「べき剰余相互法則」など数論的構造と
関係する（あるいは調和解析、保形表現と関係する）
から重要なのであって、超冪根にはそのような性質はなく
はっきり言って下らないと思う。
志村五郎がそのようなことを書いていたし、それには100%同意する。
つまりそれは数学パズル家の数学であって
数学者のやる数学では全くないと思う。 でも、ガウスやアーベルの時代にはそんなことほとんど知らなかったのに
代数的な解の公式にこだわっていたわけで
それがガロア理論として結実して様々な性質が分かるようになった事を考えれば
ゴローの言ってるのは後付けでしかないと思う
どんなものも注目される前から、いろんな性質が分かってるわけではないのに >>547
君はどんな研究でもくだらなくは無いと思っているのか？ >>547
あと、超べき根の話はガロア、アーベルの後だ。 >>547
べき根が代数的に重要な「構造」と関係しているという認識は当時もあったと思う。
ガウスが円分方程式のべき根解法で用いた"ガウスの和"="1のべき根のラグランジュリゾルベント"
は数論にも応用があり、直後かほぼ同時期くらいにガウス自身によって
べき剰余相互法則の証明に応用されている。
ガロア群から見ると、べき根を取るという操作は巡回群という単純群に対応している。
5次の場合は5次交代群という巡回群よりも格段に複雑な単純群が
あらわれることが障害となるわけで、それを扱ったのがクラインの本。
超べき根はセンスのないつまらない一般化にすぎない。 正確には志村五郎が言及したのは整数論の文脈で
超べき根を使った方程式の解法の話ではないが
数学者の考え方が分かるので文献を明示しておこう。
半世紀以上前、若き気鋭の数学者 志村五郎の論説
保型函数と整数論I
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/11/4/11_4_193/_article/-char/ja/
の4ページ目くらい
(7) F(x)=X^n-a
たとえば,(7)がわかったならば,次にわれわれは
F(X)=X^n+bX+a
を考えるべきだろうか．少し考えてみれば,このような発想法が
非常に幼稚なものであることに気がつくであろう．
これは極端な例であるが，われわれはすでに存在する理論の
拡張を考えるとき，時としてこのような発想法におちいり易いのである．
もっと‘自然なもの’を求めなければ理論は進展しない． >>546
それに基本的に同意なんだけど、志村氏が例に挙げたのは純n次体Q(a^(1/n))で、こういう体の算術はよくわからないので、冪根で方程式の解を表すのは無意味だ、と言ってたと思いますよ。 コンウェイのアロー表記
3↑↑3=3^3^3
3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3 放送大学の「数学の歴史」でちょうど3次、4次方程式の
ところやってる。 >>49
F2={0,1}からF4={0,1,i,1+i}でiはi^2+i+1=0の根 考えてみれば√2や1/3だって、2の平行根とか1÷3の答えというような間接的に数を表してるだけだな。
3除算は10数法はもちろん情報数学でよく使う16進法ですら割り切れんから「3で割り切れる数体系」と
として昔の人が角度や時間の単位に60進法を考えたのから角3等分作図ができなくても実用上補完できてる。 >>645
>http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9055107.html
>可能無限は加算無限集合ですから
それ間違い
可算でも非可算でも無限集合なら実無限
可能無限とは無限集合を認めない立場だから
ω＝｛0,1,2,・・・}
は無限公理によって存在が認められる無限集合
これ可算無限集合だから
ωのべき集合2＾ω（ωの部分集合全体の集合）
これが非可算無限集合
哀れな素人氏は集合ωの存在は認めないでしょ
だったら可算無限集合は、可能無限ではないね
>>648
>お前の言葉で説明してくれ
工学馬鹿のスレ主に何を尋ねても無駄だよ
彼は誠意がないサイコパスだから
無知のくせに無知を隠蔽しようとする卑怯者
それがスレ主だよ >>656
>自然数は、どこまでも増やすことが可能だから、
>これを可能無限と呼んでいる
おそらく
「今、作られている自然数の全体は有限個
しかし、それは今後いくらも増やせる
上限がないという意味で無限であって
個数としては有限個」
といいたいのだろう
一方可算無限集合とは
「もはや付け加えるものがない
自然数全体の完全な集合」
というもの
（当然要素は無限個）
したがって、可算無限集合は
実無限の立場で考えられたもの
であって可能無限ではない >>560-561
お前、どこに向かって喋ってんの 古代ギリシアで平方根が分数表現できないことで苦心したとか。もっとも分数でさえ間接的に数を表現しているにすぎないが。 1430
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 「天才数学者こう解いた、こう生きた」 に記載された年表より
1500頃 デル・フェロ 3次方程式を解決
1535 タルターニャ 数学勝負で勝つ
1543 フェーラーリ 4次方程式を解決
1545 カルダノ 「大いなる技法」出版
1823 アーベル 5次方程式に代数的な解の公式が無いことを発見
1829 ガロ ガロア理論発見
1844 アイゼンシュタイン 5次方程式の解の公式発見
1858 エルミート 5次方程式の解の公式発見
アイゼンシュタインは無限級数を使い、エルミートは楕円関数を使って
解の公式を発見したんだそうである。 >>568
5次方程式に代数的な解の公式が無いことを発見したのは
どっちかというとルフィニさんです
ラグランジュさんが考えた置換論を用いて計算しまくった結果、発見しました
ルフィニさんの論文に感動してコーシー噴いたコーシーさんが一般化された置換論を築いて
それを読んだのがアーベルさん
ど田舎に住んでたアーベルさんは、コーシーさんの置換論が出てきた経緯を知らず
5次方程式に使えるんじゃね？と里帰りのような事を始めたら
ルフィニさんがやった時よりも、厳密な証明ができましたって話なんで 2年前にクレクレ君が言ってた「実代数的」なんだが
実根が「実冪根で表現可能」(expressive by real radical)という用語で存在している
実根しか持たないQ係数多項式では、根が実平方根のみで表せることが必要十分条件の一つ
複素根の実部が実冪根で表せるかどうかは
彼に自力でやってもらいましょう どなたか5次方程式を解けた方、おられませんでしょうか。 お客様の中に5次方程式が解ける方はいらっしゃいませんか〜？ 3次と4次は解けたのだが。
解けたというよりは、ネットで調べた公式をエクセルで実行しただけだが。 5次代数方程式の一般解は超越形式で既出なのに超越形式の何が気に食わん？
代数形式一般解は存在せん事も、数体系を幾ら弄くってみて実数系に応用できる一般解にならない事も
もう分かってる事なんだから、先ず既出の超越形式での5次代数方程式一般解を調べてみれば？ ガロア群が位数10とかならまだ冪根で解くすべはあるぞ
（一般には120） >>576
>5次代数方程式一般解を調べてみれば？
やってますけど、まだたどれてません。
どなたかお分かりの方、やってみた方おられますか？ >>579
書名、著作者名、出版社名、URL等教えていただければ
非常に助かります。 ふたばちゃんねるの荒らし 統合失調症 荒らし キチガイ ホモ ストーカー https://twitter.com/sijenon k1@sijenon
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 罵倒の書き込みする方は多いが、参考になる書き込みする方は少ない。
これ以上書き込んでも、クレクレ君と書き込まれるだけだが。 上の方に
東京大学出版会 梅村浩著 「楕円関数論」
フェリックス・クライン著 正20面体と5次方程式 改訂新版 (シュプリンガー数学クラシックス)
Mumford Tata Lectures II Umemura
と代表的な文献3つ出てるのにわからんわからんと言うクレクレ未満のアホ 「罵倒すれば答えをくれる、それが数学板だ」とクレクレに学習させちゃうアホ 問うのは簡単で答えるのは難しい問題の好例だものね
大丈夫、相手が答えられないと見るや罵倒してきた実代数的くんほど酷くはないよ（苦笑）
そういえばpixivに答えらしきものがあったんじゃ 4次方程式
x^4 +2ax^3 +bx^2 +a(b-aa)x + c = 0
を次の手順で解け。
(1) (x +a/2)^2 = y とおいて左辺をyで表わせ。
(2) yについて解け。
(3) xをyによって表わせ。 ＞5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
あれ？そうだっけ？そんな話知らない。 >>587 を参照して
x^4 + x^3 - 2x + 1 > 0
を示せ。
[高校数学の質問スレPart404．051〜070] はいよ。こちらは ↓ の利用。
(1/4)x^4 + x^3 - 2x + 1 = (xx/2 + x - 1)^2 x^5 -x^4 +4x^3 -3x^2 +4x -3 = 0 の正根は
x = 0.7626918603256712159
[面白スレ32問目．278] x^5 -x^4 +4*x^3 -3*x^2 +4*x -3
= (x - 0.7626918603256712159)
* (x*x -0.6100038387443596*x +2.4229341986697917)
* (x*x +0.37269569907003080*x +1.6234186219278017)
実根 0.7626918603256712159
複素根 0.3050019193721798 ± 1.5264036254703662*i
-0.1863478495350154 ± 1.2604336955593805*i >>544
Bring-Jerrared の標準形
z^5 + z + a = 0,
チルンハウス変換によってこの形に変形できるらしい。
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983)
p.70 囲い記事 >>595
>>596
どうやって解かれたのでしょうか。 ＞5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
四則演算とベキ根による解の公式がない、というだけで
ベキ根以外の手段を認めれば解の公式はあるよ ＞しかしそれは我々が知ってる
＞実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)
＞で表現できないというだけで、
有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数＝実数とは違うよ
まず「有理数の冪根だが実数でない数」がある
例：√ー１
そして「実数だが有理数の冪根で表せない数」がある
例：e、π ＞実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の
＞実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
実数じゃなく複素数なら、任意の自然数ｎについて
ｎ次方程式の解が（重複を込めて）ｎ個必ず存在するよ
それがガウスの「代数学の基本定理」ね
だから「新しい表現」は必要ない
単にベキ根だけでは解けないというだけ 偏角の原理をつかえば、ある範囲内に、
多項式f(z)の零点の数がどれだけあるかわかる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E8%A7%92%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
だから範囲を狭めていけばいくらでも正確に零点の位置がわかる
別に解の公式なんていらない もっとも数値解析では
偏角の原理を使った方法は用いてないみたいだ
めんどくさいんだろうか？ テータ関数とかいう難しい関数を使うと
５次といわず任意の次数の代数方程式の
解の公式ができる
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_formula
でも実用的ではないのでお勧めしない >>606
FAQでまとめといたほうがいいかもね
Q.５次以上の代数方程式の解の公式をつくりたい
A.既にあります
Thomae's formula
ただし実用的でないので数値解法をお勧めします
DKA法、等
ちなみにｎ次代数方程式は（重複を含めて）必ずｎ個の複素数解をもつ、と
すでにガウスの「代数学の基本定理」で証明されているので、
複素数を拡大する必要は全くありません 数学板もID表記が始まった今にあってIDが同じレスに自演呼ばわりするのは蛇足
仮にID違う>>606-607も自演と指摘しているとしてもスレの盛り上がりの流れから鑑みるに此の自演指摘は蛇足 >>609
>>608は悔しかったんでしょう 何が、かは知りませんが その手の指摘は100までにだいたい出て
あとは5次方程式に関係する駄弁りに転じてるのは
読んだらわかるでしょ 知り尽くされた話題だけど
それは専門家（見習い）のコミュニティの話
一般人との関心の折り合いをどう付けていくかが課題 テータ関数や超幾何関数で解の公式が書けるというのは数学科3年以上じゃないとわからない
「解はあるが根号だけでは解が表示できない」という言葉の意味がわからない
ガロア群が可解じゃないと・・・では通じない
「解を表現できる数体系」とか言い始める>>1みたいなアホには説明のしようがない アーベルの証明に近いものは高木貞治「代数学講義」7章にまとめられている
優秀な高校生なら理解可能であろうがwikiやネットで読んだ程度の雑多な知識面はともかく
理解力などの意味で「優秀な高校生」レベルでない人が多いw
>>329
3次方程式の解が全て実数の時でも虚数を含まない形で根号だけで
解を表示することができないことの証明も同じく7章に書いてある
などと書いても多分>>614でいう一般人には刺さらないだろう
そういう応対は私みたいなカスじゃなくブルーバックス書くような先生にお任せします >>615
>「解はあるが根号だけでは解が表示できない」
>という言葉の意味がわからない
そもそも
「解があれば根号で解が表示できる筈」
という主張の根拠がわからんが どうせ一般人は解が数として求まればいいんだから
根号に固執する必要ないだろう
なんで数値解析を嫌うのかわからん
精神異常なのか？ 雪江の青い本を参考に
4次方程式の解を根号で表したときの複雑さをガロア群の大きさで分類した
有理数係数の4次式 f(x) の有理数体上のガロア群を G とし
n = #G とする。
f(x) = 0 の解は...
n = 1 : 解は有理数。
n = 2 : 解は有理数か、平方根1個で表せる。
n = 3, 6 : 解の1つが有理数。他の3つは3次方程式の解の公式で解くので立方根の中に平方根が入る程度。
n = 4, 8 : 解は高々2重の平方根で表せる。
n = 12, 24 : 解は平方根の中に3次方程式の解の公式が入る式を3つ足したもの。唯一書く気が失せるレベル。 >>544
英語のウルトラよりも
こっちの異って名付け方が好みだ こんな本が出てた。
早川書房 マリオ・リビオ著 「なぜこの方程式は解けないか？」
5次方程式が解けないことから群論まであれこれ書いてある。 ようは加、減、乗、除、冪乗、冪根の他に新たな演算を用いれば一般の代数方程式の解の公式を表せるんじゃないかってことでしょ？ >>624
その時点で「代数的」じゃなくなってるんだわ 拍子抜けするような簡単な方法で、五次方程式の代数的解法が出来そうなんですが
もし出来たら凄いことなのでしょうか？特許とか取れるでしょうか？
誰か教えてもらえませんか。 >>627
周りにそういう人は居ません。
自分としては非常に手応えを感じており、もしも上手くいった場合に
折角なら金銭的なメリットを得られないものかと、尋ねてみました。 時間の無駄。あなたがいくら「できた」と言ってみたところで、学術的には門前払い。
たまたま代数的に解ける特殊な5次方程式は存在するが、
一般の5次方程式に一般的に通用する代数的解法は存在しないことが証明済み。
このことに反する主張は、学術的には門前払い。
必然的に、あなたのやり方はどこかが間違っていることになるが、
どこが間違っているのかを指摘する義務すらなく、ひたすらに門前払いを食らう。
だって、代数的解法は存在しないことが証明済みだから。
学術的にはこういう塩対応になる。 ではどうすればいいか？
知らんがな。
親切な人なら、あなたのやり方のどこが間違っているのか
具体的に指摘してくれるかもしれんが、特許がどうこうとか色気を出してる時点で、
できるだけ秘匿にしておきたいという魂胆が丸見えなので、自分で自分の首を絞めている。
あと、このような古い話題では、「代数的解法がない」という内容が正しいことに
もはや疑いようがないので、そのような結果に反する主張が
特許として受理されることはないと思われる(特許庁の信頼に関わるので)。 >>630
確かにどうも勘違いしていたようです。
ご指摘ありがとうございました。 どうしても三等分家と同じ空気をまとうよな。
両方ガロア理論が使えるだけあって。 5次方程式に一般的な代数的解法が存在しない事はガロアの結果とは別に示されてたけど
ガロアいなかったら代数学のそこそこマニアックな結果になってたのかな… 体K上の5次方程式がK上既約である場合、
そのガロア群としては、最も一般の場合の位数5！＝120次の対称群S_5と
それの正規部分群である位数60の5次の交代群A_5、
があるがそれらはいずれも可解ではない場合になる。
解ける場合のガロア群は、位数が5ｘ4＝20次の場合と、
位数が5ｘ2＝10次の場合と、位数が5次の場合巡回群C_5のものだけである。
それらに対しては、ラグランジュの分解式を使って、K上で解の代数的表示
（べき根と四則だけの組あわせで）を書くことができる。
体K上での多項式のガロア群は何になるかは、代数的に決定する方法があるが、
長くなるのでここでは述べない。それにはK上での多項式の因数分解を用いる。 体Ｋが有限体の場合には、5次方程式のすべての解を代数的に？求める
ことが出来る。それは丹念に有限体の元を1つずつ入れてみて根であるものを
拾い上げれば良いのである。でもそれを、四則演算とべき根の操作による
式として表したことにならないとすれば、拾い上げでは代数的解法とは
呼べないであろう。一般の係数についての解を与えたことにならないから。
はたして、有限体の場合には拾い上げではない代数的解法はないのだろうか？
なお、べき根を使うとなると、それにより有限体が拡大される場合もおこる。 大きな有限体、たとえばｐがとても大きな素数たとえば千桁で、体がK=Z_pのとき、
二次方程式 x^2 = b がK=Z_pの中に解を持つかどうかを判定し、解があればそれを
具体的に導くにはどうすれば良いか。
さらに、三次方程式 x^3=c がKの中に解を持つかどうかを判定し，
解があればそれを具体的に導くにはどうすれば良いか。
5次方程式ｘ＾5＝ｄが。。。 平方剰余だけだと体の中に平方根があるかどうかしかわからん。
平方根自体を千桁の数としてZ_pの中から求めなければならないのだが。
どうやるのが最も合理的かな。 >>639
「判定し、」と書いてるから平方剰余を知らないと思った K が F_2 を含む体であるとき
K 上の2次方程式の解が四則と冪根で表せない場合があるよ(>>49)
面倒だね
根を文字でおいて無理矢理拡大できるから
もう今の学者は冪根で解くことに執着していないのだろう 
