体K上既約な多項式P(x)があたえられたときに、代数方程式P(x)=0の根は、

元　y　を K上の代数的な関係　P(y)=0 を満たすものとして体Kに添加
して出来る代数拡大体　K(ｙ)　の中では、P(x)が完全に１次因子にまで
分解されるので、根を持つことがわかる。（その一つの根はｘ＝ｙである。
他の本もｙのK係数有理式として表せる）

一般に、体K上の既約な多項式全てをもってきて、それらの定義多項式
を用いて定義される代数的な元をすべてKに添加して得られるK上の
代数拡大体A(K)は、代数閉体となり、A(K)の中ではA(K)係数の代数
方程式は必ず根を持つ。