5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net
5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。 極端な話、ある5次方程式
ax＾5+bx＾4+cx＾3+dx＾2+ex＾+f=0
の解を5次方程式根という実数表現R(a,b,c,d,e,f)と定義すればそれが解の公式になる。
もちろんこのままじゃ意味がないので、既存の実数表現で表現できない数のより小さな実数表現を定義してそれと既存の冪根や指数による実数表現の組み合わせで5次方程式の解を表したいという趣旨である。
要は二次方程式の解を表現するのに有理数だけで無理なので、平方根を導入したのと同じ発想である。 ウィキペディアの噂では
x＾5+ax+b=0の解をR(a,b)としたら４次方程式の解の公式を併用して表現できるようだ。 どこからツッコむべきか迷うが、スレ主が代数学を勉強してないことだけは分かった このスレッドは天才チンパンジー「アイちゃん」が
言語訓練のために立てたものです。
アイと研究員とのやり取りに利用するスレッドなので、
関係者以外は書きこまないで下さい。
京都大学霊長類研究所 ガロアはどうか知らんが、
アーベルはやってたじゃないか。 >>9
それ、>>1に対して言ってるの？それとも方程式論そのものに対して言ってるの？ 実数解を持つことの判別式とある場合の1つの実数解を表す解の公式が欲しい。 5次関数は絶対X軸と交わるから少なくとも一つは実数解があるのか。 >>14
そこは「実係数の」くらい補って読んであげようよ。 数学書でもその程度は自分で補う場面はあるでしょ（もしくはこの先あるよ）
厳密厳密言うのは馬鹿の一つ覚えだってこと まあ話を元に戻そうじゃ無いか。
かつて有理数しか知らないで昔の人は二次方程式の解の公式を作ろうとした。当然それは出来ない。どうやっても出来ない。
だから二次方程式には解はないと言いきる事も出来たであろう。まさにガロワが5次方程式の解の公式は無いと結論したように。
しかしそこで昔の人は二乗して整数になる平方根というものを定義して二次方程式の解を体系的に表す事に成功して新たな数学が進歩した訳だ。
いま5次方程式に４次方程式までのやり方で解の公式を導く事ができない事が解っている。
ではここで平方根のように新たな実数表現を定義しよう。その実数表現があれば5次方程式の解の公式が作れるとしたら。
その実数表現は平方根と同じ様にいくらでも近似値を計算できるもので、そうであればあらゆる5次方程式の解の値を厳密に知る事ができるようになるのだ。 代数学の基本定理を知っていれば、
複素５次方程式に複素解が存在することが判るし、
中間値定理を知っていれば、
実５次方程式に実数解が存在することが判る。
どこに数体系を拡張する必要が？
解公式の話をしているんであれば、拡張すべきは
数ではなくて、公式を構成するのに使える関数のほう。
そっちは、アーベルの解公式で済んでいる。
「５次方程式 楕円モジュラー関数」でggrks. まぁ、1が自力でガロアやアーベルに追いついたらそれはそれで大したものだが、
この様子ではそこまで辿り着くのも無理だな。
問題の認識から間違ってるし。 うーん確かに頭悪そう
まあ解決したっぽいからなにも言わないけど >>1
＞5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
結論から言いますと、5次方程式の「解の公式」はあります。
勿論、「四則演算」と「ベキ根をとるという演算」のみで5次方程式の解の公式を表すことはできません。
これはアーベルにより示されたことです。
しかし、我々は「四則演算」という演算の他に「ベキ根をとるという演算」を付け加えて考えることにより、2次方程式の解の公式を表すことができたことを知っています。
それとちょうど同じような感じで、「四則演算」や「ベキ根をとるという演算」という演算の他に、もう一つ「ある演算」を付け加えて考えることにより、5次方程式の解の公式が得られるのです。
このことは、約一世紀前にクラインにより研究されたことです。
「楕円モジュラー関数」や「超幾何級数」でググれば出てきます。 ＞ 「楕円モジュラー関数」や「超幾何級数」でググれば出てきます。
素朴な疑問。
じゃあ６次方程式、７次方程式、８次方程式、さらには一般のn次方程式は、
「楕円モジュラー関数」や「超幾何級数」を使えば出来るのか？ >>26
このサイトの人はよく勉強して、詳しく書いてるんだけど、↓を見ると、
やっぱり素人だなと
なお，現在では６次以上の高次元でも，モジュラー関数のような
他の道具を使って解けることがわかっています．さらに，条件を厳しくした下で
７次方程式を解くことはできるだろうかという問題も設定することができる
のですが，それに対してはまだ解決の糸口すら見つかっていません．
おぼろげながらも見えないので，現在，それを研究している数学者は
ほとんどいません． 楕円テータ関数でできた
一般の場合の Tata Lectures II Umemura の方は読めん 増やすと新たに何ができるようになるのか
を書かないからじゃない？ 複素数体Cは代数閉体であるから元(数)を増やさなくても解はある
Cの中に有理数と四則と冪根だけでは表せない数があるってだけの話 ところで、
標数2の体においては、2次方程式の解ですら係数の四則と平方根では表せず、他の記号を用意して表すらしい。
Wikipediaの「二次方程式」に書かれている（正しいかは知らん）が、D.A.コックスの「ガロワ理論」でも同じようなことが書かれていたと思う。もうこの本持ってないから正確にはわからん。 らしい、って自分で確かめればいいじゃん
そんな複雑じゃないし ★★★馬鹿板徒は真に倫理的な洞察により情緒豊かに暮らし、日頃から理性的なカキコを志すべき。★★★
￥ 5次方程式の解の公式は存在するし、簡単じゃん
一般の場合はむずかしい
Mumford Tata Lectures II Umemura はまだ読めん >>54
それは「解の公式」の範囲次第だろってのが
オイラー時代とルフィ二以降の違いで、
アーベルもガロアもその時代の中で出てきた。
今更、何言ってんだ。 エクセルで三次方程式、四次方程式を解くのをつくった。
五次方程式では、どのような手法があるかを考えている。 ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ >>1
>ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
皆に言われてると思うけど
四則演算とベキ乗根を使っては表せないということを示したのであって
それ以上のことを示すには早死にしすぎたってことでしょ ところで実係数3次方程式の実数解は係数の四則演算と正数の実ベキ乗根でどう表せるの？ x^3+ax^2+bx+c=0 の冪根による解法
(a,b,cは実数とするが、複素数でもよい。つまり、複素数でも全く同じ解法である)
A=9ab-2a^3-27, B=a^2-3b とおく。
t^2-At+B^3=0 の2解は t=(A±√(A^2-4B^3))/2 である。
L,Rをこの2解とおく(どちらがどちらでもよい)。LR=B^3
Lの3乗根UとRの3乗根Vの組(U,V)は9組あるが、そのうち UV=B をみたすような3組だけをとる。
すると x=(U+V-a)/3 である。
U,Vをa,b,cで表したら>>93になるでしょ多分 ここで注意すべきなのは、
>>95は>>82の望むような、係数の四則演算と“正数の”実ベキ乗根で解いている式ではないこと。
a,b,cが実数であっても A^2-4B^3＜0 となる時は
√(A^2-4B^3) は負数の平方根を考えている。これは純虚数なのでL,Rは互いに共軛な虚数となる。
次にU,Vを求める際は、虚数の3乗根を考えている。U,Vもまた虚数となるのだが、UV=Bなる(U,V)においては3組ともU,Vは互いに共軛になって、
結局U+Vは実数で、xも3つとも実数である。
このように（冪根による方法では）実数解が虚数を使わなければ表せない場合がある。
これは虚数の存在が認められはじめる一因になった。 訂正
誤 A=9ab-2a^3-27
正 A=9ab-2a^3-27c 
