オイラーの贈物 (吉田武著) [転載禁止]©2ch.net
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高校数学から始まり、オイラーの公式を導く素晴らしい本
オイラーの贈物(新装版)
http://www.amazon.co.jp/dp/448601863X 〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk・2^k)
を示せ。
http://club.informatix.co.jp/?p=3326
数列総合スレ-203,204 Σ[k=1,∞] (x^k)/kk = ∫[0,x] Σ[k=1,∞] x^(k-1) /k dx = -∫[0,x] (1/x)log(1-x) dx,
より
ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk・2^k) + 0 = -∫[1/2,1] (1/y)log(1-y) dy + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
= -∫[0,1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
= (log 1/2)^2
= (log 2)^2
= 0.4804530139182
バーゼル問題
オイラーはこの式を使ってζ(2)を11桁まで正しく求め、ある数にきわめて近いことに気づきました。 sin(x) の無限乗積表示もこの辺から出てきたんでしょうか。 計算結果
 ̄ ̄ ̄ ̄
n : ππ/6 - Σ[k=1,n] 2/(kk・2^k),
-------------------------------------
1 : 0.164481052930025011805312640319
2 : 0.039481052930025011805312640319
3 : 0.011703275152247234027534862542
4 : 0.003890775152247234027534862542
5 : 0.001390775152247234027534862542
6 : 0.000522719596691678471979306986
8 : 0.000081771733171270308714000864
10: 0.000014015174529295000072025555
12: 0.000002553568052596193827764765
14: 0.000000486141252919222447496682
16: 0.000000095664602257330086385570
18: 0.000000019318510201056324157368
20: 0.000000003983110182390725126897
22: 0.000000000835382647729628422375
24: 0.000000000177725328708994360301
26: 0.000000000038271621346926590331
28: 0.000000000008327779434721526777
30: 0.000000000001828577639082793101
35: 0.000000000000042688106883780200
40: 0.000000000000001034399096510427
45: 0.000000000000000025797445089155
50: 0.000000000000000000658296989653
55: 0.000000000000000000017115217852
60: 0.000000000000000000000451944884
65: 0.000000000000000000000012091489
70: 0.000000000000000000000000327147
75: 0.000000000000000000000000008938
80: 0.000000000000000000000000000246
85: 0.000000000000000000000000000007 >>247
計算結果
 ̄ ̄ ̄ ̄
n : ππ/6 - log(2)^2 - Σ[k=1,n] 2/(kk・2^k), 〔オイラー公式集〕
π - e + γ = 1.00052649
π/(eγ) = 2.00224529594
π/γ - γ - e/π = 4.00019535973
-π + 4e -3γ = 5.99988766554
3e - π/e = 6.9991181356
e^e - 3e = 6.9994167561
3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997
3e -2γ = 7.000414155574
e + 2π = 9.0014671356
3π + γ = 10.00199362567
e^e - π/e = 13.9985348917
e^e - 2γ = 13.99983091168
e^π - π = 19.999099979
(略証)
π = 223/71, e = 193/71, γ = 41/71 だから。 (続き)
-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522
e^π + π + e = 29.0005671148
-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177
(略証)
π = 223/71, e = 193/71, γ = 41/71 だから。 空間内の剛体Aを変形せずにBに移した。
次は正しいか。
(1) Aから、「平行移動」と、それに平行な軸の周りの「回転」によってBに達する。
(2) 上記の「平行移動」も「回転」も平面による「鏡映」2回により可能。
(3) Aから、「鏡映」4回によりBに達する。 (1)
〔剛体回転におけるオイラーの定理〕
剛体の固定点まわりの方向転換は、或る軸のまわりの回転により達せられる。
回転軸の向きと回転角φはこれで決まる。平行移動の向きは回転軸と同じとした。(z軸)
平行移動の距離と回転軸の位置は、以下に示すように、剛体の1点P(たとえば重心)がうまく移るようにする。
移動距離は、P→Q のz座標の増分とする。
平行移動P→P' の後、P' Qはz軸に垂直な平面内に有る。 この平面内に ∠P'OQ = φ となる点Oを取る。
回転軸は、点Oを通りz軸の向きの直線とする。 「おいらの贈り物」 〜人類の至宝 e^(π√163) = 640320^3 + 744 を学ぶ〜 >>244 >>245
バーゼル問題について
藤田岳彦: 数学セミナー, 51(3), p.30-36 (2012/Mar)
「リーマン・ゼータ関数の特殊値を確率論で求める」 >>251
(1) 螺旋軸 (screw axis) という。
(2)
z方向の平行移動 → zに垂直な平面による鏡映 (2回)
z軸のまわりの回転 → z軸に平行な平面による鏡映 (2回)
(3) ハウスホルダー法という。 >>252
単位ベクトル <n| = (n1, n2, n3) のまわりにφだけ回転する直交行列を T(φ) とする。
また、 Ω |r> = n × |r> とする。このとき
(dT/dφ) = n×T = Ω T,
T(0) = I,
これを解くと
T(φ) = I + (sinφ)Ω + (1-cosφ)ΩΩ = (cosφ)I + (sinφ)Ω + (1-cosφ)|n> <n|,
ここに
[ 0, -n3, n2 ]
Ω = [ n3, 0, -n1 ]
[ -n2, n1, 0 ]
直交行列T (det|T|=1) から 回転軸|n> と 回転角φ が決まる。 |n> <n| = I + ΩΩ,
tr(ΩΩ) = -2,
tr(|n> <n|) = 1,
から
cosφ = {tr(T) -1}/2,
Ω = (1/2sinφ)(T-T~), >>259
「ミラーマンの唄」
作詞:東京 一
作曲・編曲:冬木 透
歌: 植木浩史、ハニーナイツ x^3 + y^3 + z^3 = w^3 の整数解の例
・オイラーの解
x = -|α|^4 - |β|^2・Re(2αβω),
y = |α|^4 + |β|^2・Re(2αβω~),
z = |β|^4 + |α|^2・Re(2αβω),
w = |β|^4 + |α|^2・Re(2αβω~),
ここに α,β∈Z[√(-3)], ω≠1 は1の3乗根。
(解説)
x = -AA -BC,
y = AA +BD,
z = BB +AC,
w = BB +AD,
とおくと
x^3+y^3+z^3-w^3 = -(A^3-B^3)(C-D)(3AB-CC-CD-DD),
そこで 3AB-CC-CD-DD を 0 にしよう。まづ
C = Re(2γω), D = Re(2γω~)
とおくと
(2γ) + (2γω) + (2γω~) = 2γ(1+ω+ω~) = 0,
∴ Re(2γ) + C + D = 0, etc.
CC + CD + DD = 3|γ|^2,
ここで
A=|α|^2, B=|β|^2, C=Re(2αβω), D=Re(2αβω~)
とおけば
3AB -CC -CD -DD = 0.
・参考書
北村泰一「数論入門」(改訂版)、槇書店 (1989)
北村泰一「南極越冬隊 タロジロの真実」小学館文庫 (2007/Mar) 649円 オイラの公式 (e')^(iπ’) = -1,
和の公式 e' + π' + π' = 3・3,
が成り立つ。 ここに
e' = 2.71940175612508383454746・・・
π' = 3.14029912193745808272627・・・ (e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923 e < e' < 3 < π' < π
(π')^e < π^e < (π')^(e')< π^(e') < e^(π')<(e')^(π')= e^π < (e')^π, γ^2 + γ^16 = 1/3,
(16次の代数的数?) γ^2 + (1/3)^8 = 1/3,
より
γ = √{1/3 - (1/3)^8} オイラの定数
γ = Σ[k=1,n] 1/k - log(n) - 1/2n + 1/(12n^2) - 1/(120n^4) + 1/(252n^6) - 1/(240n^8) + ・・・・
≒ Σ[k=1,n] 1/k - log(n +1/2 +1/24n),
γ = 0.57721566490153286 オイラの公式の平方根
i = e^{(π/2)i},
より
i^i の主値 = e^(-π/2) = 0.2078795764 … 実数
α。= i^(πi) = e^(-ππ/2) = 0.0071918833558 = 1/139.04563666
(参考)
α = 0.007297352568653853422694733690852932089174790336171742833037519
= 1/137.03599909582970048964740098248246498324725408221072828045342 バーゼル問題
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,
(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k (k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角 ∠AOP_k = (2k-1)/R, (k=1,2,…,n)
弦 AP_k = 2R sin((k-1/2)/R) → 2k-1, (R→∞)
その(-2)乗の和は
Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4 … (*)
n→∞ とすれば
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
(終)
(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で APk が次々と求まることを
活用するのがミソ。 (参考動画)
Stardy-河野玄斗
http://www.youtube.com/watch?v=91CDe6bwby8 20:35
タマキ/環耀
http://www.youtube.com/watch?v=4hhyR0-xCtw 33:03
元動画 3Blue1Brown
http://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls&t=123s 19:03
(文献)
"Summing inverse squares by Euclidean geometry"
Johan Waestlund 2010/Dec/08
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf θ = (k-1/2)π/(2n),
1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,
逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています