実解析 [転載禁止]©2ch.net
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伊藤はルベーグの収束定理、吉田は優収束定理(ルベーグの収束定理)と呼んでいる ルベーグ積分がリーマン積分よりすぐれている点は
・強力な収束定理
・L^1が完備であること 調和解析でおなじみのハーディ・リトルウッドの最大関数 Rudinの三部作
証明は素晴らしく分かりやすいけど、幾何学的な意味付けを疎かにし過ぎ >>47
力学的な方向とか、幾何学的な方向がないよね
日本人に多い、代数的なのが好きな人には支持されるんだろうね ルディンにはカラテオドリの拡張定理は書いてないのですか 数列{a_n}がαに収束するというのは、
任意の ε>0 に対してある自然数Nがあって
n>N ⇒ | a_n - α| < ε
とできること、らしい。
これを使うには、前もってαを準備しないといけない。
収束するかどうかも分かってないのに
どうやってαを持ってくるか?
もし{a_n}が収束するなら
lim[m→∞] (a_m - (lim[n→∞] a_n)) = 0,
が成り立つ。
極限をとる条件を少し緩めて
lim[(m,n)→(∞,∞)] |a_m - a_n| = 0
とすれば前もってαを用意しなくて済む。
これが0に収束するのかどうか、当時は不明だったが、
反例も無さそうだ。
そこで、これは収束する、とコーシーは仮定した。
(コーシーの収束判定法)
のちにカントールらはこれを満たす数列を「コーシー列」
「基本列」と呼んで研究した。
デデキントは、連続の公理(切断)を使って上記を証明した。
実解析にはこの公理が必須だろう。
コーシー:「解析教程」(1821)
デデキント:「連続性と無理数」(1872) カントールは数を
3.14159265358979・・・・ とか
2.718281828459045・・・・ とか
小数の形で表わした。
1桁進むごとに許容範囲の幅が 1/10 に狭くなっていき、
やがて0に収束する。(縮小区間列)
その中には相異なる2数は入り得ない。
それなら 1つは必ず有るのか?
証明はできないが、有るとしても矛盾はなさそうだ。
それなら 有ると仮定しよう。
これで 対角線論法が可能になった。
G.カントール:「集合論の一つの基本的問題について」(1890-91) >>79
コーシーの収束判定法は・・・・
Beaucoup de verites se disent en plaisantant.
(ウソから出た誠)
http://ja.glosbe.com/ja/fr/誠 自然数は神が作り給うた。他のすべての数は人
為的なものである。
クロネッカー
数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社 (1989)
p.137, p.147 囲い記事 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています