くだらねぇ問題はここへ書け

[0001 １３２人目の素数さん 2014/10/04(土) 21:22:05.10]

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[0747 １３２人目の素数さん 2024/05/05(日) 12:36:33.78 ID:IFtE60+o]

〔問題829-改〕
一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
その内接円の内部or周上に点Pをとる。
このとき積 AP･BP･CP の最大値を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434 - 829

[0748 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 01:33:19.53 ID:OgbPgxVI]

内接円の半径r = 1/√3,
内心Iのまわりの極座標を ρ, φ とすると
　0 ≦ ρ ≦ r,
　AP・BP・CP = √{(64/27 + ρ^6) + 2(8/√27)ρ^3･cos(3φ)},

最大値　9/√27 = √3　(ρ=1/√3, φ=0)
中央値　8/√27　　　　(ρ=0)
最小値　7/√27 　　　　(ρ=1/√3, φ=±60°)

[0749 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 01:43:27.18 ID:OgbPgxVI]

〔問題883-改〕
一辺の長さが1の正三角形ABCがある。
その外接円の周上に点Qをとる。
このとき和 AQ+BQ+CQ の取りうる値の範囲を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434 - 883

[0750 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 02:12:35.12 ID:OgbPgxVI]

外接円の半径 R= 1/√3,
外心Oのまわりの方位角を θ とすると
∠AOQ = 60°−θ,
∠BOQ = 60° +θ,
∠COQ = 180°−θ,

AQ + BQ + CQ
　= 2R{sin(30°−θ/2) + sin(30°+θ/2) + sin(90°−θ/2)}
　= 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} 　　　　← 和積公式
　= 4R cos(θ/2),

最大値 4/√3　　(θ=0)
最小値　2　　　(θ=±60°)