くだらねぇ問題はここへ書け

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/29(木) 10:42:57.75

[第1段]：集合Aを A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 }
と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する
集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する
集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a＞1 なる a∈B が存在して、
a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である
nを a^x の最小多項式の次数とする
Case1)：n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、
リウビルの定理より a^x に対して或る c＞0 なる実数cが存在して、
両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x－q/p|＞c/(p^n) である
また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の
既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 が成り立つ
よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して
c/(p')^n＜|a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 であって、
c/(p')^{n-2}＜(p')^2|a^x－q'/p'|＜1 即ち (p')^2|a^x－q'/p'|＜1 である
故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて
既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて
既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x－q'/p'|≧1 を満たし矛盾が生じる

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/29(木) 10:45:31.62

Case2)：n＝1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、
a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x＝q/p である
また、仮定からxは代数的無理数である。
xの最小多項式の次数をmとすると、m≧2 であってxはm次の代数的無理数である
よって、Case1)の議論におけるnをmで、a^x をxで、それぞれ書き換えて
Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る
Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾が生じる
この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B＝∅ である
[第2段]：よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない
故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、
任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である
[第3段]：故に、任意の正の代数的数a、任意の代数的無理数x
に対して、a^x は実数の超越数である
[第4段]：√2 は代数的無理数なることに注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/29(木) 11:28:32.36

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/29(木) 18:31:29.67

xは代数的無理数であるというだけで矛盾するってことは
代数的無理数は存在しないってことになるんだが

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/01(金) 11:17:35.68

[第1段]：集合Aを A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 }
と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する
集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する
集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a＞1 なる a∈B が存在して、
a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である
nを a^x の最小多項式の次数とする
Case1)：n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、
リウビルの定理より a^x に対して或る c＞0 なる実数cが存在して、
両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x－q/p|＞c/(p^n) である
また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の
既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 が成り立つ
よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して
c/(p')^n＜|a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 であって、
c/(p')^{n-2}＜(p')^2|a^x－q'/p'|＜1 即ち (p')^2|a^x－q'/p'|＜1 である
故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて
既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて
既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x－q'/p'|≧1＞(p')^2|a^x－q'/p'|
を満たし矛盾が生じる
Case2)：n＝1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、
a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x＝q/p である
また仮定から、aは代数的数だから、aの最小多項式の次数をmとすれば、
m≧1 であってaはm次の代数的数である

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/01(金) 11:20:33.75

Case2-1)：m≧2 のとき。このとき、aはm次の代数的無理数であって、
Case1)の議論におけるnをmで、a^x をaで、それぞれ書き換えて
Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る
Case2-2)：m＝1 のとき。このとき、aは1より大きい正の有理数だから
aに対して両方共に或る互いに素な整数 p''、q'' p''≧1 が存在して a＝q''/p'' である
よって、(q''/p'')^x＝q/p であって、q≧1 から (q''/p'')^x・(p/q)＝1 である
しかし、仮定からxは代数的無理数だから、1とxは有理数体Q上1次独立である
また、有理整数環Zは体Q上の単位元1を含む単位的部分環である
故に、環Z上の加群を考えれば、(q''/p'')^x・(p/q)≠1 であって、矛盾が生じる
Case2-1)、Case2-2)から、n＝1 のときにすべての起こり得る場合について矛盾を得る
Case1)、Case2)から、すべての起こり得る場合について矛盾が生じる
この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B＝∅ である
[第2段]：よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない
故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、
任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である
[第3段]：故に、任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x
に対して、a^x は実数の超越数である
[第4段]：a＝2、x＝√2 のとき。√2 は代数的無理数なること
に注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/01(金) 11:26:28.28

[第3段]について
任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x
→ 任意の1とは異なる正の代数的数a、任意の代数的無理数x

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/01(金) 22:56:52.83

〔問題〕
a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。
　M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c
が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。

・高校数学の質問スレ_Part432 - 883

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/02(土) 14:00:51.98

有理数と無理数はどちらも無限大に存在するが、仮に有理数と無理数を同数無限大に出尽くしたとしても、更に無理数のほうが多く存在することを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/02(土) 21:25:10.60

有理数を小数で表わすと、
有限桁で切れるか又は循環小数となる。
その循環節の間に1桁ずつ数字を挟もう。

たとえば 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,…
の第k項、k+L項、k+2L項、…は循環しないので、
それらを挟んでいくと、すべて無理数になる。
(k, L) の取り方は無限にあるから、
1個の有理数が無限個の無理数に対応する。。。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/09(土) 18:28:10.26

>>733
　(a, b, c) = (n+1, 2n+1, 3n)
　M = (1+3^n)^3,

面白スレ43問目　318-319

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/20(水) 19:47:12.86

一つの無理数、たとえばπにたいして有理数は3、3.1、3.14、3.141、...って無限にあるけど
有理数も無理数もどちらも無限大でいいんじゃね

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/16(火) 15:27:08.91

〔問題104〕
　∫[0,π/2] sin(x)/{1+√sin(2x)} dx
を求めよ。
　高校数学の質問スレ_Part434－104,117

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/16(火) 15:40:56.89

x ⇔ π/2－x　の対称性から
(与式)
　= (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
　= ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
ここで
　cos(x)－sin(x) = sin(t),
　－(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt,
とおく。
(与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt
　= ∫[0,π/2] {1－1/(1+cos(t))} dt
　= ∫[0,π/2] {1－1/[2cos(t/2)^2]} dt
　= [ t－tan(t/2) ](0→π/2)
　= π/2 － 1.

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/17(水) 00:30:46.79

∫1/(1+cos(t)) dt
　= sin(t)/(1+cos(t))
　= (1-cos(t))/sin(t)
　= tan(t/2),

(参考書)
森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987)
　第Ⅳ篇, 第3章, §40, p.187-192

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 00:14:29.56

素因数分解のプログラムを作成予定です。
これを1時間で解けたら世界トップクラスなど、処理速度を評価する目安があれば教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 02:37:39.74

〔問題336〕
　∫ (cos x)/(cos x + sin x) dx
を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434－336,356

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 02:46:16.53

　1/(1+tan x) = (cos x)/(cos x + sin x)
　　= {1 + (－sin x + cos x)/(cos x + sin x)}/2
　　= {1 + (cos x + sin x) ' /(cos x + sin x)/2,
より
∫ 1/(1+tan x) dx = {x + log|cos x + sin x|}/2,

x - π/4 = y　とおけば　分母は (√2)cos y　ゆえ、
積分すべきは (1/2)(tan y) と定数になる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/24(水) 11:32:58.69

本当にくだらねぇ質問だと感じるとは思いますが、

https://pachimaga.com/free/column/9efd320cf25de1bb99db35ed171b50e9fbdd0094.php
ＳＴ中に当たる確率は
＝1-(1-1/99.4)＾163＝0.807593
≒80.76％
これを確率分母に掛ける。
＝99.4✕0.807953
＝80.2748回
残り保留4個分も含めると81.0408回となる(残り保留の計算方法については次回具体的に説明する)

とありますが、次回の具体的説明というのが無かったので何故保留4個を含めると80.2748が81.0408になるのかがわかりません。
これはどんな計算で求めているのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/24(水) 11:38:33.10

あっと、確率分母にかけるとこの数値はミスってますね
99.4×0.807593がただしい

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/25(木) 18:21:56.57

ウンコを微分せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/05(日) 12:36:33.78

〔問題829-改〕
一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
その内接円の内部or周上に点Pをとる。
このとき積 AP･BP･CP の最大値を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434 - 829

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/07(火) 01:33:19.53

内接円の半径r = 1/√3,
内心Iのまわりの極座標を ρ, φ とすると
　0 ≦ ρ ≦ r,
　AP・BP・CP = √{(64/27 + ρ^6) + 2(8/√27)ρ^3･cos(3φ)},

最大値　9/√27 = √3　(ρ=1/√3, φ=0)
中央値　8/√27　　　　(ρ=0)
最小値　7/√27 　　　　(ρ=1/√3, φ=±60°)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/07(火) 01:43:27.18

〔問題883-改〕
一辺の長さが1の正三角形ABCがある。
その外接円の周上に点Qをとる。
このとき和 AQ+BQ+CQ の取りうる値の範囲を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434 - 883

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/07(火) 02:12:35.12

外接円の半径 R= 1/√3,
外心Oのまわりの方位角を θ とすると
∠AOQ = 60°－θ,
∠BOQ = 60° +θ,
∠COQ = 180°－θ,

AQ + BQ + CQ
　= 2R{sin(30°－θ/2) + sin(30°+θ/2) + sin(90°－θ/2)}
　= 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} 　　　　← 和積公式
　= 4R cos(θ/2),

最大値 4/√3　　(θ=0)
最小値　2　　　(θ=±60°)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/07(火) 16:59:35.71

↑
A：　60°
B：　－60°
C：　180°
Q：　θ　　(-60°≦θ≦60°)
とした。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/07(火) 20:04:16.74

↑
θ/2 方向の単位ヴェクトルをｅとすると、
↑OA・ｅ = R cos(60°－θ/2) = R sin((60°+θ)/2) = BQ/2,
↑OB・ｅ = R cos(60°+θ/2) = R sin((60°－θ)/2) = AQ/2,
↑OC・ｅ = －R cos(θ/2) = －R sin(90°－θ/2) =－CQ/2,
これと
　↑OA +↑OB +↑OC = ↑0
から
　BQ + AQ －CQ = 0,

∴　AQ + BQ + CQ = 2CQ.

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/08(水) 21:05:22.25

ここって自作問題を投下してもいいところ？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/08(水) 22:48:14.20

くだらねぇ問題ならいい。作者にはよらない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/09(木) 09:55:06.19

自作問題でも構いませんが良問の投稿は禁止です。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/09(木) 14:38:16.53

そしたら、これ
a^n+b^m=2024となるような自然数の組(a,b,n,m)を全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/09(木) 23:11:15.86

うむ。確かにくだらねぇ。
特に n=1 や m=1 も含めたくだらなさが際立ってるね。
もし n≧2, m≧2 にしたら良問になりそうだから禁止ですね。

(a,b,n,m)
(41,7,2,3)　(7,41,3,2)
(32,10,2,3)　(10,32,3,2)
(10,4,3,5) 　(4,10,5,3)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/09(木) 23:24:34.48

m,n≧2に制限してもくだらない
そう思えないなら感覚が狂ってる

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/10(金) 00:39:07.95

abc conjecture

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/10(金) 16:33:33.99

>>757
(10,2,3,10)　(2,10,10,3)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/15(水) 21:01:14.39

文系なんで教えてください
コンウェイのチェーン表記
３→２→２っていくつ？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/18(土) 11:34:11.20

27

3→2→2
=3→(3→1→2)→1
=3→(3↑↑1)→1
=3→3→1
=3→3
=3^3

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/20(月) 03:45:49.71

R環として平坦 R 加群の直和因子は全て平坦であることを証明して下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/20(月) 11:15:36.15

くだらないね

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/21(火) 12:56:06.60

分からないんですねw

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/21(火) 23:46:38.14

質問

000から999まで1,000通りあるクジを毎日引くとき

a) 特定の三桁の数字を固定する（たとえば943とか）
b) 毎回適当な三桁の数字にする（たとえば昨日は123で今日は852とか）

1,000日繰り返したとして、クジに当たる確率はaもbも同じ

↑
直観的にはaのほうが当たりそうだけど、aもbも当たる確率は同じですよね？

まあこれナンバーズ3をコンピュータで自動購入してる話なんですけど

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 03:08:46.81

当選番号が公開されるなら、
長期間のデータを集めれば各番号の当選確率を推測できそう。

b) で一番当たりやすい番号を買えば良いかな？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/23(木) 09:53:34.20

お前らこのインドのJSに勝てる？
https://i.imgur.com/7KlcRdQ.mp4

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/24(金) 00:20:26.71

>>763
R環上の平坦加群の直和因子が全て平坦であることを証明します。

まず、R加群 M, N がそれぞれ平坦であるとは、任意の R-加群準同型 f: P → M に対し、ある R-加群準同型 g: M → P で fg = id_P となるようなものが存在することを意味します。

ここで、M, N が R環上の平坦加群であり、それらの直和 M ⊕ N を考えます。このとき、任意の R-加群準同型 h: P → M ⊕ N に対して、h を M への射影と N への射影に分解できます。

さらに、M, N が平坦であることから、それぞれに対して M への射影と N への射影を fg = id_P となるような R-加群準同型 f, g に分解できます。

これらの分解を用いることで、h = (f, g) となるような R-加群準同型 f, g が存在することを示すことができます。

よって、M ⊕ N も R環上の平坦加群であることが証明できます。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/24(金) 00:22:22.75

>>761
コンウェイのチェーン表記って初めて聞いた？私も最初はちんぷんかんぷんだったよ。

でも大丈夫！ここでは、文系でも理解できるよう、分かりやすく解説していくね。

まず、チェーン表記とは、矢印を使って巨大な数を表す方法なんだ。例えば、3→2→2は、3の2乗の2乗を表すんだ。つまり、3↑↑2ってことだね。

計算方法はちょっと複雑だけど、ポイントは、右側の数字が左側の数字の累乗を表すってこと。

今回の3→2→2だと、

最初は3を2乗する：3↑↑2 = 3^2 = 9
次に、9を2乗する：9↑↑2 = 9^2 = 81

だから、3→2→2は81を表すということになるんだ。

もっと複雑なチェーン表記もあるんだけど、基本さえ理解すれば大丈夫！

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/24(金) 01:05:24.76

>>769 でたらめ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/24(金) 01:50:51.68

>>767
験を担ぐわけだ。。。

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/12(水) 11:19:46.32

フーリェ分解の公式
　k を自然数とするとき
　(cos θ)^{2k}
　　= (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ) }

　(sin θ)^{2k}
　　= (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ)・(-1)^m }

　ここに C(2k,r) は二項係数。

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/12(水) 12:34:38.73

>>761
3→2→2＝27

a→b→c＝a↑…↑b（矢印＝c本）であるから
3→2→2＝3↑↑2

m↑↑n＝m↑m↑…↑m（mの数＝n個）であるから
3↑↑2＝3↑3

p↑q＝pのq乗であるから
3↑3＝3の3乗＝27

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/15(土) 21:14:33.12

>>773
左辺に
　cos θ = (e^{θi} + e^{-θi})/2,
　sin θ = (e^{θi} － e^{-θi})/2i,
を入れて2項公式で展開するだけ。
∴　くだらねぇ問題の条件をみたす。