0691132人目の素数さん
2024/02/28(水) 08:47:58.92ID:GD05aVNNa=2^{3/2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る
また、仮定から a^{2/(3/2)}=2^2=4 であって、(1/a)^{2/(3/2)}=1/4 である
a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である
よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である
故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{3/2} を代数的数と仮定したことから
生じたから、2^{3/2} は実数の超越数である