くだらねぇ問題はここへ書け
なるほど👏その方法で重複を許すパターンに置き換えて解くんですね とはいえそれでも計算大変で想像してたよりでかい数になりそうですね... 調べていくと分割数は現在も数論の分野で研究されているということで そのことを知るきっかけになれたのは良かったです ありがとうございます! m_1,m_2,...,m_nが平方数でない正の整数であるとき, √m_1 + √m_2 + ... + √m_n が有理数となるような組(m_1,m_2,...,m_n)は存在しますか? tr (√m_1 + √m_2 + ... + √m_n) = 0 >>623 問2. q_1(100) = 1, q_2(99) = 49, q_3(97) = 784, q_4(94) = 5952, q_5(90) = 25337, q_6(85) = 65827, q_7(79) = 108869, q_8(72) = 116263, q_9(64) = 79403, q_10(55) = 33401, q_11(45) = 7972, q_12(34) = 905, q_13(22) = 30, これを合計すると 444793. これらは漸化式 q_k(n) = q_{k-1}(n-1) + q_k(n-k), を満足して,生成関数 (x^k)/(Π[j=1,k] (1-x^j)) = Σ[n=k,∞] q_k(n)・x^n, をもつ。 数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.58 (続き) 要素の数をkとする。 k=1, q_1 = 1. {100} k=2, q_2 = 49. {i, 100-i} (1≦i≦49) k=13, q_13 = 30. {1〜11, j, 34-j} (12≦j≦16) {1〜10, 12, j, 33-j} (13≦j≦16) {1〜10, 13, 14, 18} {1〜10, 13, 15, 17} {1〜10, 14〜16} {1〜9, 11〜13, 19} {1〜9, 11, 12, 14, 18} {1〜9, 11, 12, 15, 17} {1〜9, 11, 13, 14, 17} {1〜9, 11, 13, 15, 16} {1〜9, 12〜14, 16} {1〜8, 10, 11〜13, 18} {1〜8, 10〜12, 14, 17} {1〜8, 10〜12, 15, 16} {1〜8, 10, 11, 13, 14, 16} {1〜8, 10, 12〜15} {1〜7, 9〜13, 17} {1〜7, 9〜12, 14, 16} {1〜7, 9〜11, 13〜15} {1〜6, 8〜13, 16} {1〜6, 8〜12, 14, 15} {1〜5, 7〜13, 15} {1〜4, 6〜14} >>615-616 97^2 - 3*56^2 = 1, (ペル方程式) √3 < 97/56, {(√2 + √6)/2}^2 = 2 + √3 < 2 + 97/56 < 1.93188^2, (√2 + √6) /2 < 1.93188 LL = 2 - (√2 + √6) /2 > 0.068121 = 0.261^2, L > 0.261 π > 12L > 3.132 import Data.List sums [] bs = bs sums (a:as) bs = sums as ( zipWith (+) bs $ ( replicate a 0 ) ++ bs ) main = do print $ zip [0..] $ sums [1..100] $ 1 : replicate 100 0 {- [(0,1),(1,1),(2,1),(3,2),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),(9,8),(10,10),(11,12),(12,15),(13,18),(14,22),(15,27),(16,32),(17,38),(18,46),(19,54),(20,64),(21,76),(22,89),(23,104),(24,122),(25,142),(26,165),(27,192),(28,222),(29,256),(30,296),(31,340),(32,390),(33,448),(34,512),(35,585),(36,668),(37,760),(38,864),(39,982),(40,1113),(41,1260),(42,1426),(43,1610),(44,1816),(45,2048),(46,2304),(47,2590),(48,2910),(49,3264),(50,3658),(51,4097),(52,4582),(53,5120),(54,5718),(55,6378),(56,7108),(57,7917),(58,8808),(59,9792),(60,10880),(61,12076),(62,13394),(63,14848),(64,16444),(65,18200),(66,20132),(67,22250),(68,24576),(69,27130),(70,29927),(71,32992),(72,36352),(73,40026),(74,44046),(75,48446),(76,53250),(77,58499),(78,64234),(79,70488),(80,77312),(81,84756),(82,92864),(83,101698),(84,111322),(85,121792),(86,133184),(87,145578),(88,159046),(89,173682),(90,189586),(91,206848),(92,225585),(93,245920),(94,267968),(95,291874),(96,317788),(97,345856),(98,376256),(99,409174),(100,444793)] https://ideone.com/FZTUON -} expand してみた。 (1+x^1)(1+x^2)(1+x^3) …… (1+x^100) …… = 1 + x + x^2 + 2 x^3 + 2 x^4 + 3 x^5 + 4 x^6 + 5 x^7 + 6 x^8 + 8 x^9 + 10 x^10 + 12 x^11 + 15 x^12 + 18 x^13 + 22 x^14 + 27 x^15 + 32 x^16 + 38 x^17 + 46 x^18 + 54 x^19 + 64 x^20 + 76 x^21 + 89 x^22 + 104 x^23 + 122 x^24 + 142 x^25 + 165 x^26 + 192 x^27 + 222 x^28 + 256 x^29 + 296 x^30 + 340 x^31 + 390 x^32 + 448 x^33 + 512 x^34 + 585 x^35 + 668 x^36 + 760 x^37 + 864 x^38 + 982 x^39 + 1113 x^40 + 1260 x^41 + 1426 x^42 + 1610 x^43 + 1816 x^44 + 2048 x^45 + 2304 x^46 + 2590 x^47 + 2910 x^48 + 3264 x^49 + 3658 x^50 + 4097 x^51 + 4582 x^52 + 5120 x^53 + 5718 x^54 + 6378 x^55 + 7108 x^56 + 7917 x^57 + 8808 x^58 + 9792 x^59 + 10880 x^60 + 12076 x^61 + 13394 x^62 + 14848 x^63 + 16444 x^64 + 18200 x^65 + 20132 x^66 + 22250 x^67 + 24576 x^68 + 27130 x^69 + 29927 x^70 + 32992 x^71 + 36352 x^72 + 40026 x^73 + 44046 x^74 + 48446 x^75 + 53250 x^76 + 58499 x^77 + 64234 x^78 + 70488 x^79 + 77312 x^80 + 84756 x^81 + 92864 x^82 + 101698 x^83 + 111322 x^84 + 121792 x^85 + 133184 x^86 + 145578 x^87 + 159046 x^88 + 173682 x^89 + 189586 x^90 + 206848 x^91 + 225585 x^92 + 245920 x^93 + 267968 x^94 + 291874 x^95 + 317788 x^96 + 345856 x^97 + 376256 x^98 + 409174 x^99 + 444793 x^100 + 483330 x^101 + …… 虚数の i = SQRT(-1) なのは当たり前のように理解してるのですが 四元数の i, j, k も = SQRT(-1) なのか?という疑問が湧いてます i = j = k になってしまうので xx = -1 を満たす解は何個かあり ±i, ±j, ±k とか書いています。 ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j, などを追加しても一義的には定まらず、 巡回的に入替えられるらしい。。。 4元数体の実軸以外の原点を通る平面を任意に選べばその平面上の4元数体の全体は加法、乗法で閉じるので C と同型になる。 その中に x^2 = -1 の解が二つずつ出てくるので4元数体全体で x^2 = -1 の解は無限にある F(1)=2 F(0)=0 F(-1)=-1/2 で滑らかで単調増加の関数F(x)って どんなのがあるかな❓ 635よりマシな解だけど y=3^x-1 but x=0か1近傍なら正しい >>634 は、出題ミスにしてさ F(1)=2 ∧ F(0)=0 ∧ F(-1)=-2/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓ っていう問題にすり替えるとよろしい💃 お絵かきは、キニシナイでください >>637 よ、問題をすり替えるなら、以下のお絵かきの如く F(1)=3 ∧ F(0)=0 ∧ F(-1)=-1/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓ だ。チミにはわかるかな❓ ポクは今はマダ解らん。今は F(x) = 2(4^x - 1)/3, ぢゃダメか? ↑ の補足。 c-1/2, c, c+2 が等比数列だと仮定すれば 0 = (c-1/2)(c+2) - cc = (3/2)c - 1, ∴ c= 2/3. >>639 ありがとう。モチロン数学板はポクより天才😺 すいません、健康についての問題なんですが たぶん三角関数の積分で求められると思うんですが解説見ても自信なく 計算の解説と回答をお願い致します 血の中にとけた糖質量(血糖値)が食事後2時間かけてサインカーブの様にゆっくりと上がって下がると仮定します(1時間後が頂点になる) て、2時間あたりの血糖値の積分値が2000mg/dlの場合、血糖値のMax値(1時間後と仮定)は いくらになるのでしょうか?? ∫(サインx+1)dx??? 2000=-cosx+xぐらい検索したのですがそこから頂点までわからなくなりました? 大事な事、書き忘れました 食事前の血糖値は90mg/dlとします。 食事後90mg/dlから上がって1時間後にmax値になり 2時間後に90mg/dlに戻ります >>635 直角双曲線とすると F(x) = 4x/(5-3x), かなぁ。 x<5/3 に限れば単調増加。 漸近線は x=5/3 と y=-4/3. 焦点 ( (5-2√10)/3, (2√10 -4)/3 ) と ( (5+2√10)/3, (-2√10 -4)/3 ) 球の最密充填計算してあーだこーだしてるんだけど プログラミングでは球同士が埋もれて重なることがあるんだわ プログラミングの問題と言えばそうなんだけど なんだかなぁ、、、 プログラミング板で愚痴るべきか、、、 大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難とききました では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であることを示すこと」は可能なのでしょうか? >>634 3次式 F(x) = x(xx+3x+4)/4, F '(x) = {3(x+1)^2 + 1}/4 ≧ 1/4. … 単調増加。 ↑ の補足 3点を通る2次式は x(5+3x)/4 だけど、 これは x<-1 では単調増加にならない。そこで F(x) = x(5+3x)/4 + k・x(x-1)(x+1)/4 = x(k・xx + 3x + 5-k)/4, とおいてみる。 F(x) が単調増加となる条件は F '(x) = 0 が2つの実解をもたないこと。 F '(x) = (3k・xx + 6x + 5-k)/4, D = (3/2)^2 - 12k(5-k) ≦ 0, 0.69722436 < k < 4.30277564 k = 1, 2, 3, 4 はこれを満たす。 F(x) = x(xx+3x+4)/4, F(x) = x(2xx+3x+3)/4, F(x) = x(3xx+3x+2)/4, F(x) = x(4xx+3x+2)/4, ナール。 と主人は引張ったが「ほど」を略して考えている。 夏目漱石「吾輩は猫である」(1905-1906) ↑ 前の千円札の人 >>634 F(x) = (3+5x)/4 - (3/4)k'{(k'+1)/(k'+xx) - 1} (-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。 そこでローレンツ分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。 F(x) は単調増加だから、F '(x)=0 は2実解をもたない。 ∴ (557-40√157)/243 ≦ k' ≦ (557+40√157)/243, 0.229635541375 < k' < 4.35472659854 >>634 F(x) = (3+5x)/4 - (3/4){e^(1-xx) - 1}/(e-1), (-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。 そこで正規分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。 F '(x)=0 は実解をもたないから F(x) は単調増加。 球充填問題について書かれた本ってありますか? どの分野の書籍を探せばいいんだろ 線形代数かな? 何か知ってたら教えて下さい かなり古いけど… 一松 信:「パッキングの問題」, 数セミ増刊『数学100の問題』, 日本評論社(1984/Sept) p.27-29 一松 信:京都大学 数理解析研究所 講究録, No.676, p.1-4 (1988/Dec) スローン (町田 元・訳)「球の充填問題」, 『サイエンス』1984年3月号, 日経サイエンス社 J.H.Conway - N.J.A.Sloane "Sphere packings, lattices and groups" Springer-Verlag (1998) N.J.A.Sloane, “The sphere-packing problem”. Documenta Mathematika 3, p.387–396. (1998) F(x) = {(x+1)^c - 1}/2, x≧-1 で単調増加。 c = log(5)/log(2) = 2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958... 三角関数 F(x) = (5x+3)/4 - (3/8){1+cos(πx)}, F '(x) = 5/4 + (3π/8)sin(πx) = 1.25 + 1.1781sin(πx) ≧ 0.0719 ↑をチョト改良? F(x) = (5x+3)/4 - (3/4){(1/√2) + cos(3πx/4)}/(1/√2 + 1), F '(x) = 5/4 + (3/4)(3π/4)sin(3πx/4)/(1/√2 + 1) = 1.25 + 1.03517 sin(3πx/4) ≧ 0.21483 4次元立方体をテセラクトというのはわかったのですが 5次元、6次元と増やしていったときそれぞれの立方体の名前は何というのでしょうか? なんか名前がかっこいいから調べたく思いまして >>644 双曲線なら斜交の方がいい? F(x) = (5/4){x + √(xx +(8/15)^2)} - 2/3, 大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難と聞きました では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であること」を示すのは可能なのでしょうか? [第1段]:2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である a=2^{√2} とおいているから log_|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e<3 から 3^{(2√2)/3}<2 であって、3^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、3^{2√2}>3^2=9 だから、3^{2√2}<8 が得られたことは 3^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である eの近似値や 2<e<3 などの大小関係は高校数学の範囲の筈だから、 超越数の定義が分かっていれば 2^{√2} の超越性も 高校数学の範囲で示せる気がしないでもないんだが… [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である >>663 >>664 根本的に間違ってるから無意味 どこにも代数的数であることを使ってないから代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になるから間違い >>665 >代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になる ゲルフォント・シュナイダーの定理から、そうはならない 体Q上 a=2^√2 のn次の最小多項式を考えても、 その次数が1であることは明らかだから、 結局はaの無理性の証明に帰着する >>668 ゲルフォント・シュナイダーの定理に従えば、そうはならないという事実がある 2^√2 の無理性の証明を高校数学の範囲で証明してもつまらない 2^√2 を互いに素な整数を使って有理数で表して議論していって矛盾を導く可能性が高い 書き換えた「証明」 ------------------------------------------------------------------------------- [第1段]:2^{√2} が超越数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の超越数である a=2^{√2} とおいているから log_|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が代数的数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は代数的数である >>670 「背理法により 2^{√2} は代数的数である」とあるが 2^{√2} はゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数であることが判明しているので その証明は誤っている >>669 高校の数学教師が高校生に対して「2の√2乗が無理数であることを示せ」という証明問題を出すのは 無理なのでしょうか? >>670 >>673 コピペした証明が間違っている [第1段]:2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である a=2^{√2} とおいているから log|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} を代数的数と仮定したことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である 集合Aを A={2^x| xは代数的無理数 } と定義すれば、 Aは区間 [0、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である 同様に、実数の代数的数全体の集合Bは 区間 (-∞、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である 2^{√2} を代数的数と仮定すると、同時に2つの零集合A、B上で 議論していって矛盾が得られるようになっているから、正しい >>675 2^{√2} を代数的数と仮定すると A⊂B が成り立つから、零集合A上で議論して矛盾を得る A⊂B → 2^{√2}∈A∪B 零集合A上 → 零集合 A∪B 上 >>672 こういう問題を高校生に出すのは止めた方がいい 多分、出題しても完答できる人は殆どいないと思う 無理性を証明するにしても、乗法的独立の知識は要する 連立方程式で質問です 1個100円のりんごと1個100円の梨を10個1000円分買いました りんごと梨はいくつ購入されたでしょう ってなったとき答えって10通りあると思うんですけど式を解くと0ででてきちゃいます 解き方が間違ってるんでしょうか りんごも梨も少なくとも1つは買ってるなら、9通り? 梨はナシでもいいが、りんごがないのは無しだ? それなら 10通り… >>679 それは連立してないからです 100円が意味をなしてないからです >>659 双曲線 (斜交) 漸近線は y = -2/3 と y = m・x - 2/3, (m=5/2). 焦点 ( ±(8/15)√(2√29)・sin(θ/2), -(2/3) 干 (8/15)√(2√29)・cos(θ/2) ) = ( ±(4/15)√(√29 - 2), -(2/3) 干 (4/15)√(√29 + 2) ) ここに θ = arctan(m), >>678 ありがとうございます やはり高校数学の範囲を逸脱しているのかあ… >>684 2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{√2}=2^2=4 であって、(1/a)^{√2}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから、2^{√2} は実数の超越数である 実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である 今更だが、有理数(または実数の代数的数)の稠密性を使えば、こういう証明はある >>686 実数体R上、実数の代数的数の全体は加減乗除の演算に関して体をなし、 実数の代数的数は有理数と同様に実数体R上稠密である >>686 実数論の有理数の稠密性も分からない人間に間違いって判定されたくない >この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから >「生じたから」、2^{√2} は実数の超越数である >>684 2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{√2}=2^2=4 であって、(1/a)^{√2}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{√2} は実数の超越数である 実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である 2^{3/2} が代数的数であるとする a=2^{3/2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{2/(3/2)}=2^2=4 であって、(1/a)^{2/(3/2)}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{3/2} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{3/2} は実数の超越数である >>691 2^{3/2} が代数的数であることは確定しているから 2^{3/2} にその論法は通用しない 原理的には、実数論では有理数の加減乗除をもとに無理数を定義して有理数体Qを完備化するのと同様に、 実数の代数的数の加減乗除をもとに実数の超越数を定義して実数の代数的数の全体を完備化出来る その後、実関数について微分積分を展開していくという理論展開も原理的には出来る その考え方を応用しただけ >>691 注意しておくけど、2^{3/2}=2√2 は 有理数体Qに √2 を添加した代数拡大体 Q(√2) に属し、 Q(√2) は超越拡大体ではない こいつ前もおんなじ突っ込み受けてたやつやろ 一ミリも成長してない >>692 2^{√2} が代数的数であるなら>>690 は使えないから >>690 の前に2^{√2} が代数的数でないことを証明しないと >>694 そういう微分積分の理論展開も原理的には出来るから、本でも読んでよく考えてみな 1<r<2のとき2^{r} が代数的数であるとする a=2^{r} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{2/r}=2^2=4 であって、(1/a)^{2/r}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{r} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{r} は実数の超越数である 有理数体Qに実数の超越数eを添加した超越拡大体 Q(e) の加減乗除をもとに 超越数を定義して Q(e) を完備化することは原理的には出来るが、 このときは超越拡大体 Q(e) を完備化する前に実数の超越数eが既に含まれているので、 体 Q(e) を完備化した後微分積分を理論展開して それを超越性を示すのに応用することは一般には出来ない >>698 と同様なことは、一般に実数体Rの部分体なる超越拡大体についていえる >>697 という訳で、実数の代数的数の全体をAで表わすことにすれば、 体Aの超越拡大体 A(2^{√2}) についても>>698 と同様なことがいえる だから、>>697 の考え方は実数について代数的数か超越数かの判定には適用できない そもそも>>691 の言ってる事が理解できてない時点で数学Aすら理解できてない。 数学Aの時点で自分が落ちこぼれてることすら理解できる知能がない。 >>702 そもそも、>>690 は高校ではなく大学の微分積分に基づいた証明である 数学Aで落ちこぼれてる人間が大学の微積の議論できるはずないやろ そんなレベルの話すら理解できる知能がないんだよ。 >>704 高校の微分積分と大学の微分積分が同じだと思ったら大間違い 高校の微分積分では実数論が幾何的直観に基づいていて曖昧だが、 大学の微分積分では幾何的直観に基づかず実数論をする >>704 第一、高校の微分積分ではε-δ論法をしていないだろ まぁ高木といっしょ 自分の事世紀の天才とでも思ってるんやろ 高校数学の時点で落ちこぼれてるゴミ 指摘が難しすぎるようなので簡単に 4>a>2から2>aは出ない >>707 高校数学は計算が大半を占めていて論理的に曖昧な部分があるから 大学数学を理解するのに高校数学をしっかり理解する必要はない 高校の実数論は、連結な数直線の幾何的直観に基づいているから曖昧である >>709 間違いの指摘をするなら、回りくどい指摘ではなく そのように簡単にしてくれた方が分かり易くてありがたい 高木ということ一緒 おそらく糖質なんやろ 少なくとも高校の段階から知能の向上が止まってっる もっと前かもしれないが >>711 くどくど他人のこというなら、>>690 のような証明に成功してからいってくれ >>710 背理法で証明するなら仮定を使って矛盾を導かなければできないっていう根本的な指摘だよ >>714-715 理解出来ない人間には理解出来ないだろうが、実は>>674 の証明は正しい >>716 >>714 での指摘通り全部間違った証明だよ >>717 元々、微分積分の理論を有理数から無理数を定義したときと同様に 実数論から再構成してから微分積分の理論を再展開し、 それを実数の超越性の証明に応用して示す長い証明である >>716 では結果だけを切り取って書いたから間違いに見えるだけ >>717 実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して 実数論を再展開するときは最小多項式の次数や ディオファンタス近似などを使う必要があって、 有理数から無理数を定義した実数論とは様相が全く違う >>674 では集合 A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい代数的数 } と 実数の代数的数の全体がなす体Bの共通部分 A∩B が空集合であることを示した方が速い 実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して 実数論を再展開して微分積分の理論を再展開しても、 その再展開した微分積分は従来の微分積分と殆ど同じで、 再展開した微分積分には殆ど使い道がなく意味は殆どないだろうから、 >>674 では結果だけを切り取って書いた 4/3=1.3333333333<0.9802581434=sqrt(2)log(2). [第1段]:集合Aを A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 } と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する 集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する 集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a>1 なる a∈B が存在して、 a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である nを a^x の最小多項式の次数とする Case1):n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、 リウビルの定理より a^x に対して或る c>0 なる実数cが存在して、 両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|>c/(p^n) である また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の 既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|<1/(p')^2 が成り立つ よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して c/(p')^n<|a^x−q'/p'|<1/(p')^2 であって、 c/(p')^{n-2}<(p')^2|a^x−q'/p'|<1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|<1 である 故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて 既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて 既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1 を満たし矛盾が生じる Case2):n=1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、 a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x=q/p である また、仮定からxは代数的無理数である。 xの最小多項式の次数をmとすると、m≧2 であってxはm次の代数的無理数である よって、Case1)の議論におけるnをmで、a^x をxで、それぞれ書き換えて Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾が生じる この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B=∅ である [第2段]:よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない 故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、 任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である [第3段]:故に、任意の正の代数的数a、任意の代数的無理数x に対して、a^x は実数の超越数である [第4段]:√2 は代数的無理数なることに注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である 訂正: [第3段]:任意の正の代数的数a → 任意の1とは異なる正の代数的数a [第1段]のCase1)の最後の行の補足: (p')^2|a^x−q'/p'|≧1 → (p')^2|a^x−q'/p'|≧1>(p')^2|a^x−q'/p'| xは代数的無理数であるというだけで矛盾するってことは 代数的無理数は存在しないってことになるんだが [第1段]:集合Aを A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 } と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する 集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する 集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a>1 なる a∈B が存在して、 a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である nを a^x の最小多項式の次数とする Case1):n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、 リウビルの定理より a^x に対して或る c>0 なる実数cが存在して、 両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|>c/(p^n) である また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の 既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|<1/(p')^2 が成り立つ よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して c/(p')^n<|a^x−q'/p'|<1/(p')^2 であって、 c/(p')^{n-2}<(p')^2|a^x−q'/p'|<1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|<1 である 故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて 既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて 既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1>(p')^2|a^x−q'/p'| を満たし矛盾が生じる Case2):n=1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、 a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x=q/p である また仮定から、aは代数的数だから、aの最小多項式の次数をmとすれば、 m≧1 であってaはm次の代数的数である Case2-1):m≧2 のとき。このとき、aはm次の代数的無理数であって、 Case1)の議論におけるnをmで、a^x をaで、それぞれ書き換えて Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る Case2-2):m=1 のとき。このとき、aは1より大きい正の有理数だから aに対して両方共に或る互いに素な整数 p''、q'' p''≧1 が存在して a=q''/p'' である よって、(q''/p'')^x=q/p であって、q≧1 から (q''/p'')^x・(p/q)=1 である しかし、仮定からxは代数的無理数だから、1とxは有理数体Q上1次独立である また、有理整数環Zは体Q上の単位元1を含む単位的部分環である 故に、環Z上の加群を考えれば、(q''/p'')^x・(p/q)≠1 であって、矛盾が生じる Case2-1)、Case2-2)から、n=1 のときにすべての起こり得る場合について矛盾を得る Case1)、Case2)から、すべての起こり得る場合について矛盾が生じる この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B=∅ である [第2段]:よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない 故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、 任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である [第3段]:故に、任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x に対して、a^x は実数の超越数である [第4段]:a=2、x=√2 のとき。√2 は代数的無理数なること に注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である [第3段]について 任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x → 任意の1とは異なる正の代数的数a、任意の代数的無理数x 〔問題〕 a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。 M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。 ・高校数学の質問スレ_Part432 - 883 有理数と無理数はどちらも無限大に存在するが、仮に有理数と無理数を同数無限大に出尽くしたとしても、更に無理数のほうが多く存在することを証明せよ 有理数を小数で表わすと、 有限桁で切れるか又は循環小数となる。 その循環節の間に1桁ずつ数字を挟もう。 たとえば 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,… の 第k項、k+L項、k+2L項、…は循環しないので、 それらを挟んでいくと、すべて無理数になる。 (k, L) の取り方は無限にあるから、 1個の有理数が無限個の無理数に対応する。。。 >>733 (a, b, c) = (n+1, 2n+1, 3n) M = (1+3^n)^3, 面白スレ43問目 318-319 一つの無理数、たとえばπにたいして有理数は3、3.1、3.14、3.141、...って無限にあるけど 有理数も無理数もどちらも無限大でいいんじゃね 〔問題104〕 ∫[0,π/2] sin(x)/{1+√sin(2x)} dx を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434−104,117 x ⇔ π/2−x の対称性から (与式) = (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx = ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx ここで cos(x)−sin(x) = sin(t), −(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt, とおく。 (与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt = ∫[0,π/2] {1−1/(1+cos(t))} dt = ∫[0,π/2] {1−1/[2cos(t/2)^2]} dt = [ t−tan(t/2) ](0→π/2) = π/2 − 1. ∫1/(1+cos(t)) dt = sin(t)/(1+cos(t)) = (1-cos(t))/sin(t) = tan(t/2), (参考書) 森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987) 第W篇, 第3章, §40, p.187-192 素因数分解のプログラムを作成予定です。 これを1時間で解けたら世界トップクラスなど、処理速度を評価する目安があれば教えてください。 〔問題336〕 ∫ (cos x)/(cos x + sin x) dx を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434−336,356 1/(1+tan x) = (cos x)/(cos x + sin x) = {1 + (−sin x + cos x)/(cos x + sin x)}/2 = {1 + (cos x + sin x) ' /(cos x + sin x)/2, より ∫ 1/(1+tan x) dx = {x + log|cos x + sin x|}/2, x - π/4 = y とおけば 分母は (√2)cos y ゆえ、 積分すべきは (1/2)(tan y) と定数になる。 本当にくだらねぇ質問だと感じるとは思いますが、 https://pachimaga.com/free/column/9efd320cf25de1bb99db35ed171b50e9fbdd0094.php ST中に当たる確率は =1-(1-1/99.4)^163=0.807593 ≒80.76% これを確率分母に掛ける。 =99.4✕0.807953 =80.2748回 残り保留4個分も含めると81.0408回となる(残り保留の計算方法については次回具体的に説明する) とありますが、次回の具体的説明というのが無かったので何故保留4個を含めると80.2748が81.0408になるのかがわかりません。 これはどんな計算で求めているのでしょうか? あっと、確率分母にかけるとこの数値はミスってますね 99.4×0.807593がただしい 〔問題829-改〕 一辺の長さが2の正三角形ABCがある。 その内接円の内部or周上に点Pをとる。 このとき積 AP・BP・CP の最大値を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434 - 829 内接円の半径r = 1/√3, 内心Iのまわりの極座標を ρ, φ とすると 0 ≦ ρ ≦ r, AP・BP・CP = √{(64/27 + ρ^6) + 2(8/√27)ρ^3・cos(3φ)}, 最大値 9/√27 = √3 (ρ=1/√3, φ=0) 中央値 8/√27 (ρ=0) 最小値 7/√27 (ρ=1/√3, φ=±60°) 〔問題883-改〕 一辺の長さが1の正三角形ABCがある。 その外接円の周上に点Qをとる。 このとき和 AQ+BQ+CQ の取りうる値の範囲を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434 - 883 外接円の半径 R= 1/√3, 外心Oのまわりの方位角を θ とすると ∠AOQ = 60°−θ, ∠BOQ = 60° +θ, ∠COQ = 180°−θ, AQ + BQ + CQ = 2R{sin(30°−θ/2) + sin(30°+θ/2) + sin(90°−θ/2)} = 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} ← 和積公式 = 4R cos(θ/2), 最大値 4/√3 (θ=0) 最小値 2 (θ=±60°) ↑ A: 60° B: −60° C: 180° Q: θ (-60°≦θ≦60°) とした。 ↑ θ/2 方向の単位ヴェクトルをeとすると、 ↑OA・e = R cos(60°−θ/2) = R sin((60°+θ)/2) = BQ/2, ↑OB・e = R cos(60°+θ/2) = R sin((60°−θ)/2) = AQ/2, ↑OC・e = −R cos(θ/2) = −R sin(90°−θ/2) =−CQ/2, これと ↑OA +↑OB +↑OC = ↑0 から BQ + AQ −CQ = 0, ∴ AQ + BQ + CQ = 2CQ. そしたら、これ a^n+b^m=2024となるような自然数の組(a,b,n,m)を全て求めよ。 うむ。確かに くだらねぇ。 特に n=1 や m=1 も含めた くだらなさが 際立ってるね。 もし n≧2, m≧2 にしたら 良問になりそうだから禁止ですね。 (a,b,n,m) (41,7,2,3) (7,41,3,2) (32,10,2,3) (10,32,3,2) (10,4,3,5) (4,10,5,3) m,n≧2に制限してもくだらない そう思えないなら感覚が狂ってる >>757 (10,2,3,10) (2,10,10,3) 文系なんで教えてください コンウェイのチェーン表記 3→2→2っていくつ? 27 3→2→2 =3→(3→1→2)→1 =3→(3↑↑1)→1 =3→3→1 =3→3 =3^3 R環として平坦 R 加群の直和因子は全て平坦であることを証明して下さい。 質問 000から999まで1,000通りあるクジを毎日引くとき a) 特定の三桁の数字を固定する(たとえば943とか) b) 毎回適当な三桁の数字にする(たとえば昨日は123で今日は852とか) 1,000日繰り返したとして、クジに当たる確率はaもbも同じ ↑ 直観的にはaのほうが当たりそうだけど、aもbも当たる確率は同じですよね? まあこれナンバーズ3をコンピュータで自動購入してる話なんですけど 当選番号が公開されるなら、 長期間のデータを集めれば各番号の当選確率を推測できそう。 b) で一番当たりやすい番号を買えば良いかな? >>763 R環上の平坦加群の直和因子が全て平坦であることを証明します。 まず、R加群 M, N がそれぞれ平坦であるとは、任意の R-加群準同型 f: P → M に対し、ある R-加群準同型 g: M → P で fg = id_P となるようなものが存在することを意味します。 ここで、M, N が R環上の平坦加群であり、それらの直和 M ⊕ N を考えます。このとき、任意の R-加群準同型 h: P → M ⊕ N に対して、h を M への射影と N への射影に分解できます。 さらに、M, N が平坦であることから、それぞれに対して M への射影と N への射影を fg = id_P となるような R-加群準同型 f, g に分解できます。 これらの分解を用いることで、h = (f, g) となるような R-加群準同型 f, g が存在することを示すことができます。 よって、M ⊕ N も R環上の平坦加群であることが証明できます。 >>761 コンウェイのチェーン表記って初めて聞いた?私も最初はちんぷんかんぷんだったよ。 でも大丈夫!ここでは、文系でも理解できるよう、分かりやすく解説していくね。 まず、チェーン表記とは、矢印を使って巨大な数を表す方法なんだ。例えば、3→2→2は、3の2乗の2乗を表すんだ。つまり、3↑↑2ってことだね。 計算方法はちょっと複雑だけど、ポイントは、右側の数字が左側の数字の累乗を表すってこと。 今回の3→2→2だと、 最初は3を2乗する:3↑↑2 = 3^2 = 9 次に、9を2乗する:9↑↑2 = 9^2 = 81 だから、3→2→2は81を表すということになるんだ。 もっと複雑なチェーン表記もあるんだけど、基本さえ理解すれば大丈夫! フーリェ分解の公式 k を自然数とするとき (cos θ)^{2k} = (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ) } (sin θ)^{2k} = (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ)・(-1)^m } ここに C(2k,r) は二項係数。 >>761 3→2→2=27 a→b→c=a↑…↑b(矢印=c本)であるから 3→2→2=3↑↑2 m↑↑n=m↑m↑…↑m(mの数=n個)であるから 3↑↑2=3↑3 p↑q=pのq乗であるから 3↑3=3の3乗=27 >>773 左辺に cos θ = (e^{θi} + e^{-θi})/2, sin θ = (e^{θi} − e^{-θi})/2i, を入れて2項公式で展開するだけ。 ∴ くだらねぇ問題の条件をみたす。 read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる