くだらねぇ問題はここへ書け
>>475の続き ほとんどのケースでニュートン法と同じくらいの演算回数で算出されます。 ただし、初期値の絶対値が>>475の第二式の下限又は上限に近いときは、 本方法の方が多くなりやすいようです。 しかし、下限よりある程度大きく真の値より小さいときなどには、 逆に、少なくなりやすいようです。(特に指数が大きいとき) 精度も極めて良いです。(以下、普通の電卓を用います) 指数がよほど大きくない限り、電卓のケタ数と同数のケタ数において、例えば12ケタの電卓であれば、 上位12ケタ(限度内の全ケタ)の数字が全て一致するか、 上位12ケタ目(限度内で末位)の数字のみが(限度内では)1異なります。(2と1.999…9のような境目のケースも含む) まず精度を確かめたければ、電卓のケタ数の半数以上、 つまり上位6ケタ以上の数字が真の値と一致する近似値をa_nとして >>475の演算を一回もしくは二回行えばよいでしょう(指数がよほど大きくない限り)。 長文失礼しました。 x>0 とするとき (x^2020 -x^2 +4)/(x^6 +2) の最小値を求めよ。 2014x^2024 +4040x^2018 +4x^6 -24x^4 -4 = 0, の実根は x。 = ±0.9972618331127334631938246515195619175923 (x^2020 -x^2 +4)/(x^6 +2) ≧ 1.008619375112916534599176779154067780593 (x^2020 -x^2 +3)/(x^6 +2) の最小値を求めよ。 2014x^2024 +4040x^2018 +4x^6 -18x^4 -4 = 0, の実根は x。 = ±0.997120078481544 (x^2020 -x^2 +3)/(x^6 +2) ≧ 0.67341826074836 >>469 3で割ったときの余り (0,1,2) に着目する。 同じものが3個以上あるときは、その3個を選ぶ。 どれも2個以下のときは、0,1,2をすべて含むから、1個づつ選ぶ。 以下、単なる表現練習 命題 半径が1である球に対して、球の中心を通るような平面で切ると断面は半径が1の円にな る。この円周上に、正n角形となるように、円周に点を取ることにする。この方法をn回く りかえして球を切り、それぞれの円周上に、正n角形ができるようにn個の点ととったとき、 円に存在する正多角形の対角線と辺の長さの平方和をすべて合計すると、nの3乗になる。 証明 半径1の円に内接する正n角形の辺および対角線の長さの平方和がnの二乗で表されるこ とがしられている(参考資料参照)。これは、半径が1である球に存在するn個の円のそれ ぞれに対して成り立つので、これにnをかけたものが、球の切断面に存在する正n角形の対 角線と辺の長さの平方和になる。 参考資料 堀部和経、林一雄、早苗史『数学の課題研究 テーマ選びのヒント・・第一集』pp.20-23 命題 半径1の球に対し、任意の平面で切る。その平面と球の中心との距離は √{1^2−(x/2)^2} である 証明 二等辺三角形を考えればわかる。底面をx(0以上2未満)とすると、その高さは √{1^2−(x/2)^2} となるが、これが平面と球の中心との距離である。 これは球を中心を通る平面できったときにも成立する 所要時間の距離化 距離の定義 d(A、B)は任意の実数を示すものとする 次の三条件を満たすものがAとBの距離である 1 d(A,B)は0以上であり、d(A,B)が0になるのはAとBが等しいときである 2 d(A、B)=d(B,A) 3 d(A,C)≦d(A,B)+d(B、C) A=神戸駅、B=大阪駅、C=京都駅とし、d(A、B)を神戸駅と大阪駅を移動する間に かかる時間とする。すると、所要時間を距離として計算できる。 参考資料 堀部和経、林一雄、早苗史『数学の課題研究 テーマ選びのヒント・・第一集』p.52 表現練習 長文失礼 数学の証明について、正しい知識を伝えましょう 問題提起 新井(2009)は数学の証明について以下のように述べている。 数学の対象領域は、(証明なしに正しいと了解できるような)最小限の命題群からなる公理 系によって定義づけられていなければならない。公理系に含まれる公理と論理のみによっ て正しいことが示された命題を定理とよぶ。また、定理であることを示す過程を証明とよぶ。 数理論理学の専門家がこのようなことを書いているのは、数学を専門としない一般の人を 読者に想定したからかもしれないが、このような認識は多くの人が数学の証明について抱 いている考えであるように思われる。 数学の証明について、高等学校の数学までしか勉強しなかったとしたら、この認識に何の疑 問も抱かないのは当然のことと思われるが、事実はこれとは異なるので、せめて、理数系に すすむ高校生などには、もう少し正確な理解をえるように正確に知識を伝えたほうがいい のではないだろうか。 数学の特定の体系 数学の特定の体系とは、基本的に、論理公理+等号の公理+特定の公理系+推論規則と、 そこから推論によってみちびかれる定理のことである。 ユークリッド幾何学もこれに沿ったものと考えられるが、その公理系は現実世界をモデル としたものであり、現在の公理系とは異なっている。現在の公理系は、このような特定の モデルを想定することはないのだ。 ユークリッド幾何学の議論は、新井が述べているような、「証明なしに正しいと了解でき るような」公理から出発するが、現在の公理系ではこれは問題にはされない。真偽が問題 にされるのは、それに対するモデルを考えるときである。 結論 数学の証明について研究が進んだ結果、現代人は証明について古代ギリシャ人たちとはこ となる認識をもつにいたった。これを知らなければ生死にかかわるとか、そういったこと はないが、すくなくとも理系にすすむ人たちには、教養、あるいは理系の常識として、正 確な情報をもっと広く伝えるようにしたほうがいいんじゃないだろうか。 引用文献 新井紀子(2009)『数学は言葉』東京図書 p.184 参考文献 小島寛之(2017)『証明と論理に強くなる』技術評論社 野崎昭弘(2008)『不完全性定理』筑摩書房 pp. 147-204 >>478 下限1 x^2020 - xx - x^2018 +1 = (xx -1)(x^2018 -1) ≧ 0, x^2018 - x^6 - x^2012 +1 = (x^6 -1)(x^2012 -1) ≧ 0, より x^2020 - xx +4 ≧ x^2018 +3 ≧ x^2012 + x^6 +2 > x^6 +2, 最高に美しいおっぱいにそっくりな曲面の方程式を作れ >>475 >>476 f(x) = 1 - η/(x^p) (ηは定数) に対してニュートン法を使ったのですね。その場合は x' - η^(1/p) ≒ -((p+1)/2)・η^(-1/p)・{x-η^(1/p)}^2, なので2乗収束です。 f(x) = (x^p -η)/x^{(p-1)/2}, に対してニュートン法を使えば x ' - η^(1/p) ≒ ((pp-1)/12)・η^(-2/p)・{x - η^(1/p)}^3, で3乗収束になり、速度が改善します。 後者では f "(η^(1/p)) = 0 つまり x=η^(1/p) が変曲点となるので、 直線近似が効果的になるらしい。。。 〔問題〕 a,b,n,p が非負実数のとき |na - pb| ≧ (n-p)(a-b). [不等式スレ10.362] >>492 右辺は絶対値ではありません。念のため。 例: p=a ≠ n=b 前スレが分からねぇ ここ迄が限界 くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(67桁略)4062 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1319117617/ >>478 x≧1 に限れば x^2020 -x^2 +4 ≧ x^10 -x^2 +4 ≧ x^8 + 3 = (4/3){(x^8+x^8+x^8+1)/4 + 2} ≧ (4/3)(x^6 +2), >>480 x≧1 に限れば x^2020 -x^2 +3 ≧ x^8 -x^2 +3 ≧ x^6 +2, 激しくガイシュツ問題の魚拓が見付かったんで此処に挙げさせて頂く。 飽く迄も魚拓なんで別途正規に保管して頂きたし。 激しくガイシュツ問題 https://web.archive.org/web/20181107033930/http ://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html >>446 ラマヌジャン発見の式を変形すると k+1 = √[1 + k√{1 + (k+1)√(1+・・・・・・・)}], かな? 原油がマイナスの価格がついて話題になっていますが 複素数の価格はあるんですか? 赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。 i_1 + i_2 = i, j_1 + j_2 = j k_1 + k_2 = k, (i,j,k)が i+j+k = 偶数, |i-j| ≦ k ≦ i+j, の条件を満たすとき、 {i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2} ←集合として同じ とすることができるか? (色違いは許して同数) 500げとー 〔問題〕 a>b>c>0 のとき、次式をヴィジュアルに示せ。 (1) (a+b)(aa-ab+bb) = a^3 + b^3, (2) (1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} = aa+bb+cc -ab-bc-ca, (3) aa(b-c) + bb(c-a) + cc(a-b) = - (a-b)(b-c)(c-a), (4) a^3 +b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc -ab-bc-ca), (5) (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc = (a+b)(b+c)(c+a), (6) (a+b+c)^3 -a^3 -b^3 -c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a), http://suseum.jp/gq/question/3146 [面白スレ32.064,067] 百聞は一見に如かず(?) >>499 i_1 = j_2 =(i+j-k)/2, j_1 = k_2 =(-i+j+k)/2, k_1 = i_2 =(i-j+k)/2, など。(Ravi変換?) まだ早いが次スレのナンバリングどうする? 円周率桁追いに戻す?その場合は ver3.14(69桁略)6286 になる。 それとも標準にする?その場合は part76 になる。 >>494 くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(68桁略)0628 を冠するスレは不在、よって復活後初の当スレが該当、前スレは くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(67桁略)4062 そうけ、了解 過去スレ添付は復活前最終とこの現行を貼っときゃいーな 更にその後のスレはそのスレの前スレだけ貼っときゃ、まんずまんずだんべ [例9-3] 次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、 かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。 |a + b√2 + c√3|< 10^(-12), (参考) 秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著: [完全攻略]数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov) 注)鳩ノ巣原理では解けません。 >>505 [1文字変えたら難易度が激変する問題スレ3.173-175] [不等式スレ10.433,438,439] 〔問題4〕 4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。 Aの各桁に現れる数の和をBとする。 Bの各桁に現れる数の和をCとする。 Cを求めよ。 IMO-1975 (ブルガリア大会) N=4444^4444 とする。このとき log(N) = 4444 log(4444) = 16210.707879 であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。 また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、 A ≦ 16211×9 = 145899 となる。 同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54 (=6×9)以下ということになり、B≦54 である。 54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その 値は13である。よって C≦13 である。 一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。 A=72601 これより B = 7+2+6+0+1 = 16, C = 1+6 = 7, 「[完全攻略]数学オリンピック」(1991) p.70-71 飯を食っているときに思いついた問題 私は食事にご飯かパンを食べるがどちらを食べるかは次のルールで決めている。 ご飯を食べた後にサイコロを振り1〜5が出たら次もご飯を食べる。 パンを食べた後にサイコロを振り1〜2が出たら次もパンを食べる。 私は生涯のうちでご飯をどの割合で食べているか期待値を求めよ。 https://twitter.com/KEUMAYA/status/1279219657015062528 これ投票率が100%になったとしても得票の割合的は変わらない印象なのですが どういった原理で無投票の人間が結果をひっくり返すんですか? https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>505 a=96051, b=-616920, c=448258 のとき a + b√2 + c√3 = 3.352882344113・・・×10^(-13) >>510 仮に無投票の人の半分が与党じゃない特定の政党に入れたとしたら、全体の25%くらいになる。 与党は全体の24%くらいだったらしいから、これで逆転できる。 実際はもともと投票してる人たちの何%かはその政党に入れてるからもうちょっと少なくてもいい。 とはいえ2000万人以上の人間を動かすのが簡単とはとても思えない。 2題あるんだが…1題目。 もう5-6年ほども前な。近所の私立の学園で中等部なんだろうな、バス遠足に行くらしい。金持ちの子が多いからそりゃもう豪華なリムジンバスなのよ。 リムジンバスって普通は客席数40くらい。2人がけ席1つを1列として2列(セル数だと4セル)で、長辺の席数が10行くらいかな。 ただ最近は1クラスって人数少ないのね。しかも私立だし。 で、奇数行は荷物、偶数行にガキが乗ってた。実質ガキは5行×4セルしか乗ってない1クラスで20人クラスなのか。 この人数なら2台じゃなくて2クラスを1台に詰め込んでもイケるじゃんね。 ただ、そこで「ん?」と思ったのは2台で各20人と1台に40人詰め込むのと、交通事故にあう確率は同じか、違うか?どちらが安全と言えるか?これが気になる。 ここでバスは2台とも新品、運転手の技量も同等と仮定した場合、何をパラメータにしてどう考えればええんや? 分数の割り算のリクツを甥っ子に説明できない俺のレベルを前提にΣとかの記号より文字数多めで説明してくれ。 2題目。 少子化だな。で、マッマ(以下マ)は12歳で初経が来て閉経が51歳とする。 2歳年上のパッパ(以下パ)は14歳で精通して53歳の今でも出るには出るとする。 計算しやすく、この40年間に限ることとする。 マは健康優良児で月一で順調にタマゴ(以下タ)を生産し、生涯で40*12=480個を生産した。 パは中坊の毎日猿状態を経てその年齢に応じた数のオタマジャクシ(以下オ)を無駄打ちマックしまくった。 参考になる統計が見つからないので、畑、タ、オはいずれも40年間を通じて健康度や数量が一定で妥当っぽい数(特にオの統計が見つからん)の具体的数値を提示して何か代入してくれな。 さて、マパの間には一粒種の中二病反抗期男子がいて荒れている。 ガキ「俺なんかどうせ負け組なんだよっ!」 マ「何言ってんのよ。あんたは生まれた時点で勝ち組なのよ!(以下説明)という計算なんだから、なんとあんたがこの世に出てこられた確率はX分のYなんだからねっ!」 ガキ「ぐぬぬ…」 生産可能期間を40年間と仮定して、 イ:それぞれの要素の妥当っぽい前提条件の値を全て列挙して示せ。 ロ:採用した各前提条件の値による計算式や考え方を示せ。 ハ:最終的な計算結果、X分のYを示せ。 但し、分数の割り算のリクツを説明できない中二病反抗期のガキにわかるようなレベルの説明方法で回答すること。 〔問題〕 2021^2021 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。 Aの各桁に現れる数の和をBとする。 Bの各桁に現れる数の和をCとする。 Cを求めよ。 N = 2021^2021 = 35442113・・・・・274406421 (6681桁) Nの各桁の数の和 A = 30251, Aの各桁の数の和 B = 11, Bの各桁の数の和 C = 2. 〔出題1〕 (x+3y)(x-3y) = xx - 9yy = 8^3, のとき (x + 8(x+3y)^{1/3} + 8(x-3y)^{1/3})^2 = 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3} + 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3} + xx + 1024, を示せ。 [代数学総合スレ.377-378] (略証) p = (x+3y)^{1/3}, q = (x-3y)^{1/3}, とおくと pq = (xx-9yy)^{1/3} = 8, (左辺) = (x+8p+8q)^2 = xx + 16(p+q)x + 64(p+q)^2 = 16(px+4qq) + 16(qx+4pp) + xx + 128pq = 16p{x +(1/2)q^3} +16q{x +(1/2)p^3} + xx+1024 = 48p(x-y)/2 + 48q(x+y)/2 + xx + 1024 = 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3} + 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3} + xx + 1024, [代数学総合スレ6.377-378] 市況2板から来たFXトレーダーです。 以下の条件をもとに、トレード回数分実施後の資金を算出する計算式を教えて下さい。 ・初期資金 ・勝率 ・勝ったときの利益率 ・負けたときの損失率 ・トレード回数 ※勝ったときは、増えた資金も含めて次回トレード(例えば1.0万円から1.2万円に増えたら、次は1.2万円でトレード) 負けたときは、減った資金を含めずに次回トレード(例えば1.0万円から0.8万円に減っても、次も1.0万円でトレード) ※破産(資金が0になるケース)は考慮しなくてもよいです。 〔出題2〕 (1) A = √(N+1) + √(N - 1/2) + √(N - 1/2), B = √(N-1) + √(N + 1/2) + √(N + 1/2), とおくとき 3√N > A > B を示せ。 (左側) (二乗平均) > (相加平均) で。 (右側) A - B = {√(N+1) - √(N-1)} - 2{√(N+1/2) - √(N-1/2)} = 2/{√(N+1) + √(N-1)} -2/{√(N+1/2) + √(N-1/2)} > 0, 〔補題1〕 √(N+1/2) + √(N-1/2) > √(N+1) + √(N-1), (略証) g(x) = √(N+x) は上に凸(g " <0)だから √(N+1/2) > (3/4)√(N+1) + (1/4)√(N-1), √(N-1/2) > (1/4)√(N+1) + (3/4)√(N+1), 辺々たす。 または {√(N+1/2) + √(N-1/2)}^2 - {√(N+1) + √(N-1)}^2 = 2{N + √(NN -1/4)} - 2{N + √(NN-1)} = 2{√(NN -1/4) - √(NN-1)} > 0, (右側) g(x) = √(N+x) とおくと A - B = {g(1) + 2g(-1/2)} - {2g(1/2) + g(-1)} = (1/4) g '''(r) (補題2) = (3/32)(N+r)^{-5/2} > 0, 〔補題2〕 g(x) は(-1,1) において3回微分可能 とする。然らば g(1) - 2g(1/2) + 2g(-1/2) - g(-1) = (1/4)g'''(r), -1<r<1 なるrが存在する。 (平均値の定理を3回使う) 〔出題2〕 (2) √2 + √z ≒ y となる自然数 y,z を見つけよ。 --------------------------------- xx - 2yy = -1 ならば (xx +5 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 + 2/(x+y√2), ∴ √2 + √{(xx +5 -4x)/2} = y + 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, xx - 2yy = 1 ならば (xx +3 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 - 2/(x+y√2), ∴ √2 + √{(xx +3 -4x)/2} = y - 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, 例) x = ((1+√2)^n + (1-√2)^n)/2, y = ((1+√2)^n - (1-√2)^n)/(2√2), は「ペル方程式」 xx - 2yy = (-1)^n をみたす。 ・xx-2yy = ±1 とする。 z = yy -2x +2 = (y-√2)^2 - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 干 2/(x+y√2), とおけば √2 + √z = y 干 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, | 1/{(x+y√2)(y-√2)} | < 1/{(2√2)(y-√2)^2} → 0 (y→∞) 他にも z' = xx -4y +2 = (x-√2)^2 + (2√2)(x-y√2) = (x-√2)^2 ± (2√2)/(x+y√2), とおけば √2 + √z' = x ± (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} + … ≒ x, | (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} | < 1/{(√2)(x-√2)^2} → 0 (x→∞) >>509 n回目の食事にご飯を食べる確率 a_n, パンをたべる確率を b_n とすると a_n + b_n = 1, ご飯を食べて次もご飯を食べる確率をp、パンに変える確率を1-pとする。 パンを食べて次もパンを食べる確率をq、ご飯に変える確率を1-qとする。 (1-p)a_n + (1-q)b_n = c_n, p+q-1 = r とおくと c_{n+1} = r・c_n = ・・・・ = r^n・c_1, (-1<r<1) よって a_n = (1-q + c_1・r^{n-1})/(1-r), b_n = (1-p - c_1・r^{n-1})/(1-r), 求める期待値 = (1/N)Σ[n=1,N] a_n ≒ [(1-q)N + c_1/(1-r)]/((1-r)N) → (1-q)/(1-r) (N→∞) = (1-q)/(2-p-q). 遷移行列は T= [p, 1-q] [1-p, q] 固有値: 1 と p+q-1=r, 対角化すると D= [1, 0] [0, r] これをn乗して D^n= [1, 0] [0, r^n] >>525 a_n + b_n = 1, a_{n+1} = p・a_n + (1-q)b_n, b_{n+1} = (1-p)a_n + q・b_n, (0<p<1, 0<q<1) を解く。 nが1つ前の状態だけで決定する。記憶長さ1のマルコフ連鎖 >>485 JR西日本 所要時間(分) 距離(km) 運賃(円) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 神戸〜大阪 31-32(快速) 25(新快速) 33.1km 410円 大阪〜京都 41(快速) 28-29(新快速) 42.8km 570円 神戸〜京都 68-69(快+新) 71(新+新) 75.9km 1100円 ※ 大阪駅で乗換えに8〜9分間かかります。 所要時間も運賃も、3の不等式は成り立ちません。 (参考) 阪急 大阪梅田〜神戸三宮 27分 32.3km 320円 阪神 大阪梅田〜神戸三宮 31分 31.2km 320円 京阪 淀屋橋〜東福寺 51分 46.1km 420円 〔問題〕 平面上の△ABCの辺BC上に点Dをとり、 AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + BD^2 + CD^2, をみたすようにします。 このときDは辺BCの中点Mに限るでしょうか。 数セミ増刊「数学の問題」第2集, 日本評論社 (1978) ●116改 Aから辺BCに下した垂線の足をHとおくと AB^2 = AH^2 + BH^2, AC^2 = AH^2 + CH^2, 辺々たせば与式となる。 点Dは辺BCの中点Mと垂足Hに限るでしょうか。 A(a,h) B(b,0) C(c,0) D(x,0) H(a,0) とおけば AH = h, AB^2 = hh + BH^2 = hh + (b-a)^2, AC^2 = hh + CH^2 = hh + (c-a)^2, AD^2 = hh + DH^2 = hh + (x-a)^2, BD = |x-b|, CD = |x-c|, AB^2 - AD^2 - BD^2 = -2(x-a)(x-b), AC^2 - AD^2 - CD^2 = -2(x-a)(x-c), 辺々たすと 0 = -2(x-a)(2x-b-c), x = a または x = (b+c)/2, D = H または D = M. 〔出題1〕 3つの数列 (x_n) (y_n) (z_n) において初期値は 0 < x_0 < 1, 0 < y_0 < 1, 0 < z_0 < 1, を満たし、かつ、n≧0 に対して漸化式 x_{n+1} = x_n(1-y_n) + y_n・z_n, y_{n+1} = y_n(1-z_n) + z_n・x_n, z_{n+1} = z_n(1-x_n) + x_n・y_n, が成り立つものとします。このとき (1) x_n + y_n + z_n = x_0 + y_0 + z_0, (2) 1-r ≦ x_0, y_0, z_0 ≦ r となる定数 r (1/2≦r<1) がある。 (3) 1-r ≦ x_n, y_n, z_n ≦ r, (4) 兩n = Max{x_n, y_n, z_n} − min{x_n, y_n, z_n} とおくと 兩n ≦ 兩0・r^n, (5) 極限値 lim(n→∞) x_n は初期値 x_0, y_0, z_0 を用いて表わせる ことを示してください。 >>529 3の不等式が成り立たねってこたぁ… JRで 神戸 ⇔ 京都 に行くときは、大阪で改札出た方が安いってこと。 8〜9分もあれば余裕ぢゃね? y=(-1)^x xとyの関係をグラフで表すとどんな感じになりますか なぜ負の数の指数関数と、負の数が底の対数関数は定義されないの >>537 だからその謎を解くには、y=(-1)^x について考えるのも基本だよ >>537 負の数が底の対数関数 たとえばlog(底=−1)1 は 0とは限らずあらゆる偶数はもとより、小数もありとあらゆる値が該当してくる。 答えは無限に出てくる。 たとえばlog(底=−3)1234 の場合 log(底=−3)1234 = (log(底=10)1234)/(log(底=10)−3) となるので分母は存在しない数になる >>534 (1) 与式を足せば x_{n+1} + y_{n+1} + z_{n+1} = x_n + y_n + z_n, (2) r = Max{ x_0, y_0, z_0, 1-x_0, 1-y_0, 1-z_0} とおく。 (3) 与式の意味を考える。 (4) 兩{n+1} ≦ 兩n・r, (5) さて・・・・ 実行列の行列式は、列ベクトル(行ベクトルでもいいが)が張る 平行体のn次元体積を表している 複素行列の行列式は、いったい何を表しているんだろう? 複素行列の行列式の絶対値に関しては |det(A+iB)|=√det(A×e+B×σ) (ここでeは2次単位行列,σは((0,1)(-1,0)),×はテンソル積) という関係があるよね テンソル積の幾何的イメージが湧かないけど (1)sin⁻¹x=6/π (2)cos⁻¹x=3/π (3)tan⁻¹x=6/π となる、xの値を求めよ。 (4)sin⁻¹1 (5)cos⁻¹0 (6)tan⁻¹1 の値を求めよ。 わからなすぎる 肩の数字nは、n回繰り返すという意味ほか、 結果をn乗するという意味にも解せる。 > わからなすぎる 受験数学での三角関数の特例かな? そろそろ廃止してほしいけど、 予備校や参考書版元の利害も絡んでるから 当分変わらんだろうなぁ… 双曲線xy=定数 とx軸とy軸で囲む範囲の面積は、双曲線は0に近づきつつもx軸にもy軸にも交わらないので、無限大の面積である。 では、y=EXP(x) とx軸とy軸で囲む範囲の面積は、曲線はy=0に近づきつつx軸と交わらないが、無限大にはならず1となる。 この謎を説明してください 横の並びを行、縦の並びを列と呼ぶことにして 1から順に以下の様に並べる。 201010101010は何列何行目に配置されるか? 1 3 4 10 11 21 2 5 9 12 20 6 8 13 19 7 14 18 15 17 16 >>879 上からn行目、左からm列目を a[m,n] とおく。 a[m,n] = m + (m+n-1)(m+n-2)/2 (m+n:奇数) = n + (m+n-1)(m+n-2)/2 (m+n:偶数) 逆に s[a] = [ (3/2) + √(2a - 7/4) ] として m[a] = a - s(s-3)/2 -1, (s:奇数) = s(s-1)/2 - a + 1 (s:偶数) n[a] = s(s-1)/2 - a + 1 (s:奇数) = a - s(s-3)/2 -1, (s:偶数) (高校数学の質問スレ407.879) 10月になって、酒税が上がりましたね。 夏場はサントリーブルーが香りがさわやかなんでよく飲んでましたけど。 値上がりです。 量販店のダイレックスさんで、ストロングレモンを買ったりです お酒販売の年齢の指差し確認させられます。 現場猫さんを思い出します、「ストロングレモン・ヨシ」です。 ストロングゼロですよ、ヨシ! 焼酎をストロングゼロで割ると、ゼロで割るヨシ!ですよ。 >>546 1+1/2+1/3+1/4+ ・・・・ は発散して 1+1/2+1/4+1/8+ ・・・・ は定数に収束する。 一次方程式を求めなさい。 @2+3=x×0 A2+3>x×0 二次方程式を求めなさい。(x^2はxの2乗) Bx^2=-1 Cx^2>-1 途中の計算式を分数を使って求めなさい。 C1/2+0 D1/2×0 >>454 1兆円未満だから誤差でしたね^^ 「ケータイ天皇」とお呼びしなければ・・・・ ソフトバンクとロッテは継続し続けて居る日本冒涜CMを訂正し詫びつつ恒久的再発否定を誓約せよ。 GHQ統治時代に治外法権じゃった時期の在日外国人の中でも巨大利権を確保した層による日本冒涜CMしても看過される状態。 儂は右派でも無い(し、左派でも無い)が此れは正されるべきと考える。 >>535 だれもJRでは行かないよ。 阪急(神戸三宮〜河原町)なら 630円 (十三で乗換えて72分、75.2km) JR西 が 1100円なのが不思議(おかしい?) (新快速で 68-71分、75.9km) >13進法 で使う数字を小さい方から0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A J Qとするときπ、ネイピア数、√2を13進法で小数10桁まで表示せよ。 2.9450J026A6 1.55004799J6 π = 3.1AQ1049052 A2Q7025281 10A9507J6A 7AQJ676783 Q973189Q2Q 83722A262J ・・・・ e = 2.9450J026A6 JA18941097 96971905Q8 746849406A 106156JJ06 J159J06JJ2 ・・・・ √2 = 1.55004799J6 2060363210 9A50J5J364 49Q886A400 1QA4441647 7J72AJJ211 ・・・・ (十三進法) ∫xdxのdxはxについて積分しろというのはわかるんですが、dx/duのdxって何やって答えられますか? さらにこのdというのは何やって答えられますか? わかる方教えてください。 https://www.mhlw.go.jp/toukei/list/30-1b.html 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年11月13日) [64KB] 11月13日 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年11月6日) [450KB] 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年10月23日) [266KB] 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年9月28日) [394KB] 毎月勤労統計調査(令和2年6月分結果速報)の参考資料の数値誤りについて(令和2年8月27日) [91KB] 毎月勤労統計調査年報−全国調査−(平成30年)におけるe-Stat掲載統計表の一部訂正について [92KB] 毎月勤労統計調査(全国調査)(令和元年分結果確報)の訂正について(令和2年5月21日) [94KB] 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年4月14日) [2,603KB] 毎月勤労統計調査地方調査(令和元年6月)の訂正について(令和2年2月14日) [338KB] >>548 a = 201010101010, s[a] = 634052, m[a] = 551317, (列) n[a] = 82735, (行) >>568 ありゃ、リンクが更新されたかまたURL再編しなきゃならんのか 要らん事するなぁ運営は こんな記号‰(パーミル)があるとは知らんかった %は0.0を記号化したもんだったのか 1 % 0.01 10^2 1 ‰ 0.001 10^3 円周率πが3.05より大きいことを証明せよ。 ただし円周率の定義は円の直径に対する円周の比であるものとし、その定義に基づいて証明すること。 難易度云々より、政治的意図を感じる不快極まりない問題。数学に政治を持ち込むな。 とあるところに For all a1, a2, ... infty a1 a2 ... a_{k-1} 1 sigma ------------------------- = --- . k=1 (x+a1)(x+a2)...(x+a_k) x という式が載っていたんだがなんかおかしいような気がする これを正しくするにはどうすればいいのか教えてくだしゃれ >>573 そのままで正しいでしょ 次の式を繰り返し適用してやればいい 1/x = (x+a)/(x+a)x = 1/(x+a) + (a/(x+a))(1/x) 義務教育レベルが怪しい者です。 a=b×c-b×dをcについて解くとなぜ c=(a/b)+d←表記が誤っていたら申し訳ありません。 となるのか分かりません。 お時間あるかた教えていただけませんか。 a=bc-bd. a/b=c-d. c=a/b+d. 回答ありがとうございます。 (bc-bd)×1/b=c-dが理解できておりませんでした。 義務教育レベルができない物でした。 関数は自然数上の関数だけを考えます。 【定義(recursion)】 Aが1変数関数で、Bが3変数関数、Sが後者関数のとき、以下の2つの式で新しい2変数関数Fを定義できる。 F(x, 0) = A(x) F(x, S(n)) = B(x, n, F(x, n)) このとき、関数Aと関数Bからrecursionによって関数Fを得るという。 【定義(iteration)】 Aが1変数関数で、Bが2変数関数、Sが後者関数のとき、以下の2つの式で新しい2変数関数Fを定義できる。 F(x, 0) = A(x) F(x, S(n)) = B(n, F(x, n)) このとき、関数Aと関数Bからiterationによって関数Fを得るという。 【定義(合成)】 A1, A2, … ,Aj がそれぞれi変数関数であり、Bがj変数関数であるとき、新しいi変数関数Fを以下のように定義できる。 F(x1, x2, … , xi)= B(A1(x1, x2, … , xi), A2(x1, x2, … , xi), … , Aj(x1, x2, … , xi)) このとき関数Aと関数Bの合成によって関数Fを得るという。 【定理】 A, B, I, J, K, Lをそれぞれ1, 3, 1, 2, 1, 1変数関数として、特にI(x)=x, K(J(x, y))=x, L(J(x, y))=yを満たすとする。 2変数関数FがA, Bからrecursionによって定義されているとき FはA, B, I, J, K, Lから合成とiteration を有限回適用して定義できる。 (証明) 前提より、次の2式でFが定義されている。 F (x, 0) =A(x) F (x, S (n)) =B(x, n, F(x, y, n)) いまから F (x, n) = F’ (x, n)を満たすF’ をA, B, I, J, K, Lから合成とiterationによって定義する。 まず、α, βという関数をA, B, I, J, K, Lから合成によって定義する。 α (x) = J (I(x), A (x)) β (x, y)=J (K (L (J (x, y))), B (K (L (J (x, y))), K (J (x, y)), L (L (J (x, y))))) 次にα, βからiterationによってGを定義する。 G (x, 0)=α (x) G (x, S(n))=β (n, G(x, n)) するとG (x, n) = J (x, F (x, n))であることがnについての帰納法で示される。 最後にGとLを合成してF’を得る。 F’ (x, n) = L (G (x, n)) するとF (x, n) = F’ (x, n)となっている。 F’ (x, n) = L (G (x, n)) = L (J (x, F (x, n))) = F (x, n) A, B, I, J, K, LからF’を作るのに合成とmixed iteration with one parameter しか使わなかったので題意は示された。 (証明終わり) これはRaphael M. Robinsonの “Primitive recursive functions.” (Bull. Amer. Math. Soc. October. 1947: 925 – 942.)に書いてあります。 たしかに証明でやっているようにα、βを定義して、それらからiterationでGを定義すれば、Gは都合のいい性質を満たしてくれていて、Gから簡単に目的のF’を定義できます。 しかし、証明を追うことはできても発想を理解できなくて釈然としません。 とくにG(x, y)=J(x, F(x, y))を満たすGを得るためにA, BとI, J, K, Lからあのようにα, βを定義するに至った気持ちがわかりません。 「goodtein数列の停止性はPAから独立」とか「ε0までの超限帰納法はPAから独立」とか言われますが これらの命題はPAの言葉で書けるのですか? 知恵袋に聞いたのですが回答が得られなかったのでここで質問します。 x^x+y^y=z^zを満たす自然数x,y,zは存在するか? >>589 さんの考えるように、その方の書き込みが正しい内容だとしても、質問者(相談者)への回答(アドバイス)として適切でないからではないでしょうか 例えば、 『1+1 の解を求めよ』とあるのに、「1+2=3 だ!」と答えたとします。1+2=3 の内容は正しいですが、問題の解答として正しいと思いますか? >>590 その例え話は、上記スレでの多勢側の意見の一つに同じく、ようは「的外れ」ということでしょうが、 小生には未熟者ゆえに理解が及ばないので、具体的にそう考えたポイントも示していただけると助かります。 私の見方は異なります。 ノイズが多くて分かり辛いですが、もしその人の主張が正しいと仮定するなら、 同時にそれは元の質問(命題)や他者の回答は「NO」だという正面切っての答えになっている、と判断しました。 ようするに、命題:A→Bははっきり偽であると。 その上でさらに「補足(アドバイス)」としてその人は、a→Bこそが真である、とも説明している。そう思いました。 なお、前提の事実を端的にまとめるなら、同じく上の方と思しきがここに記している内容になろうかと思います。 https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gamestones/1656072060/11 >>591 ここでの焦点は、書き込み内容の正当性(真偽)ではなく、質問に対しての回答内容として適切かどうかです 正式なルールを知りたい質問者に対し、正式なルールを教えた回答者の書き込みをID:0XHZ/ZyOさんは、 「それは「地の確定」についての説明なので、この話とは微妙に趣旨が異なる上に、 結局のところは「合意次第」なので、やっぱり明確な答えではないように見えるが、まあいい」 と書き込みしてます。これが質問への回答として適切ではない、的外れなどといわれています 回答として適切かどうかは、書き込み内容の真偽と密接にかかわるような気がしますが…。 さておき、最初の私の質問も曖昧で焦点がぼやけて伝わっていたかもしれません。お詫びします。 私の疑問は、その人の「書き込み内容の正当性」こそがまさに焦点でした。 その人が叩かれている理由を知りたかったのではありません。 というわけで、元の相談者に対する回答として適切かどうかは、この際置いておきましょう。 >>591 を事実だと仮定します。この点については、他の人達も反対していないように見えます。 ならば、終局はダメ詰めではなく両者のパスである。 ゆえに"正式なルールとして書かれているかどうかは関係なしに"「ダメ詰め」というのは偽、間違っている。 これならば通じるでしょうか? >>593 「ダメ詰め」というのは偽、間違っている。 とありますが、「間違っているのなら」、つまり、だから、貴方はどうしたいのですか? >>594 その質問の意図がわかりかねますが 私は純粋に、論理的に正しくは何が言えるかを確認したく、回答を求めている所存です。 >>595 論理的に考察するのなら、>>593 『ならば、終局はダメ詰めではなく両者のパスである。』とありますが、 真の終局(両者が石を一切置けない状態)の場合についてまずは考えてみてはいかがでしょうか ※終局の合意 白黒の境界線がはっきりしてきて、これ以上お互いに打ち合っても陣地がつくれない、得になるところもなくなった時点で終局 お互いに「パス」、「終わりましたね」、「終わりですね」というふうに宣言(声をかけ合って)終局 みなみに質問の意図は、この件が正式ルールに抵触するので、ルールを改変したいのかどうか等を聞きたかっただけで、関係なさそうなのでスルーしてください 仰るとおり、『真の終局』というものの考察が重要であり、ややもすると先入観に囚われて本質を見失いがちです。 また「ルールを改変(改良)したいか」と直に問われれば、そこは否定はしません。 自分の最初の書き込みに当初は真面目に返答があるとは思わず、 長々と書き込む場として適切なのかと思って躊躇していましたが、 いくらか関心を頂けたようですので、この辺で私の論理のすべてを打ち明けることにします。 以下興味なければスルーしてください。 まず、囲碁では、「両者が石を一切置けない状態」は、ルール理論上は実はありえません。 このことは違法手の定義により容易に導かれるかと思われます。 『ルール上』で制限している「石を置けない地点(違法手)」は、非常に限定的なのです。 世間一般的には碁の終局について 「境界線がはっきりしたら」「得になるところがなくなったら」 あるいは「ダメ詰め手入れが終わったら」等と説明されます。 ですが、それはルール上の正式な終局の定義には本来なりえないでしょう。 なぜなら、「境界線ははっきりしたか?」「得になるところはもうないか?」「ダメ詰め手入れが終わったか?」は、 対局者自身の戦略的判断(内心)の域を出ないからです。 実際、初心者にとってこれらの判断は決して容易に可能ではないはずです。 (碁の終局はそう単純ではありません。たとえば、『境界』自体は幾何的に定義可能かもしれませんが、 境界が広すぎたり、傷が有ったりすれば、まだ終局になりません。) ならば、それら対局者の内心というのは、客観的にはどのように周囲に示されるでしょうか? それは結局のところ、パス以外にはないということです。 以上の考察から有り体にいえば、 碁の終局は(極稀な例外以外は)常に両者のパスとして定義されるよりなく(それ以外には無理であろう)、 また他の事情にかかわらず、そこには両者の「合意」的な意味も何ら特別でなく含まれるであろう…というわけです。 なお、稀な例外というのは千日手(反復)による無勝負です。 1から37までの37個の整数の中から、 どの2個も差が3以上である7個 (例:2,8,15,18,29,33,36)の選び方は何通りか。 「箱がたくさん,可算無限個ある.箱それぞれに,私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由,例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし,すべての箱にπを入れてもよい. もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる. 今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが,一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう. どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる. 勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら,あなたの勝ち. さもなくば負け. 勝つ戦略はあるでしょうか?」 >>600 箱に入れるのが実数である限り、箱の開閉に関わらず数をピタリと当てるのはほぼ無理、ほぼ 0 (無限小)といえます しかし、勝つ戦略があるのかの問いかけに対しては「ある」といえます 本文中に「私が実数を入れる」とあるので、「私」からピッタリの実数を引き出す戦略を練ればいいと思います >>601 タイプの女性が太ももをさわさわして耳にフッてすると正解が分かると思います >>603 ↑>タイプの女性 「私」の好みの女性 ↑という意味です。 「私」の好みの女性が「私」に腕を絡めて胸がぎゅって二の腕にくっつくぐらいに接近して耳にフッとか太腿さゎさゎぉ作戦です。 直ぐに引き出せると思います。 007公理系ヒロイン選択お作戦です。 この時、おおかたのケースではヒロインのチェンジは3回まで、としています。 これはかなり強力な作戦で、たいがいの「私」に対して有効です(ホモ以外) >>601 今さら無限小と言い出したかコピペ依存性学習怠慢者 24を素因数分解すると2*2*2*3 このうち平方数となる箇所を割れるだけ割る関数sqdiv(24)=6(2*3)となります iが1から100までsqdiv(i)を求めると sqdiv(i)の2乗和がn以下の数を用いたi*jが平方数となるような個数になるのですがなぜ2乗和をとるのかがわかりません 例えばn=4の時は(1,1),(1,4),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)の6個のi*jが2乗になります sqdiv(i)の個数はn=4のときそれぞれn=1,2,3,4についてそれぞれ[2,1,1,0]で2乗和をとると4+1+1=6とちゃんと答えになっています sum [2,1,1,0]=4=nと一致します [2,1,1,0]という数字は2はsqdiv(1)とsqdiv(4)で2個、sqdiv(2)が1個sqdiv(3)が1個となります 内角二等分のアレの類似な外角二等分のアレ+メネラウスでおしまいだけど、確かに他と比べると難しいね >>598 昇順に並べたものを 1 ≦ a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 < a_7 ≦ 37 とする。隣合う2項の差が3以上だから b_k = a_k - 2*(k-1), とおく。 1 ≦ b_1 < b_2 < b_3 < b_4 < b_5 < b_6 < b_7 ≦ 25, {1, 2, …, 25} の中から 相異なる7個のbを選ぶ方法は、 C[25,7] = 480700 通り >>572 円に内接する正24角形を考えよう。 1辺の長さLは頂点 (1/√2, 1/√2) と (1/2, (√3)/2) の距離だから LL = {1/√2 - 1/2}^2 + {1/√2 - (√3)/2}^2 = 2 - (√2 + √6)/2, ところで 20√2 = 28.3 - 0.89/(28.3+20√2) < 28.3 20√6 = 49 - 1/(49+20√6) < 49, ∴ LL > 2 - (28.3+49)/40 = 2.7/40 = 27/400, ∴ L > (3√3)/20, 正24角形の一辺より円弧の方が長いことから π > 12L > (9√3)/5 > 28/9 = 3.1111111 * 81√3 = 140 + 83/(81√3 + 140) > 140, 70√2 = 99 - 1/(99+70√2) < 99, 20√6 = 49 - 1/(49+20√6) < 49, LL = 2 - (√2 + √6)/2 > 2 - (99/140) - (49/40) = 19 / 280 > (0.26)^2, ∵ 0.26√280 = √19 - 0.072/(√19 + 0.26√280) < √19, よって L > 0.26 π > 12L > 3.12 CHATGPTに数学を教わっている女子中学生です。 下の問題でCHATGPTがバグってしまって困っています。 学校の図書館には新しい本と古い本があります。 新しい本の数が古い本の数の2倍より10冊多いです。 図書館全体で新しい本と古い本を合わせて210冊あります。 新しい本は全部で何冊でしょうか? 方程式を x+2x+10=210 と設定するのは駄目なの? 式は正しい 解が整数にならないから、問題のほうが悪い >>0618 ありがとう! スッキリしました! CHATGPTは言語モデルっていうくらいだから きっと文系なんだろうと感じました。 大学受験スレや数学動画見てた際に気になったので質問です 問1. m_1,m_2,...,m_nが平方数でない正の整数であるとき, √m_1 + √m_2 + ... + √m_n が有理数となるような組(m_1,m_2,...,m_n)は存在しますか? 多分Noだとは思うんですが, n=1,2,3などの場合はともかく,それ以降は解くことができません わかる方がいたらヒントや証明をお願いします. 問2. 要素の和がちょうど100となるような自然数Nの部分集合はいくつ存在しますか? 3blue1brownの動画で紹介されていた問題の改題です. https://youtu.be/FR6_JK5thCY?si=NBL_meV5hM-kdb6n xxの倍数などは生成関数を使うことで解けますが,xxと等しい場合は同様の解法が使えません. 人力で解ける方法はあるんでしょうか…? #100の倍数 -#200の倍数-#300の倍数-#500の倍数-#700の倍数 +#600の倍数-#1000の倍数+#1400の倍数+#1500の倍数+#2100の倍数+#3500の倍数 ... でいける 求めるものは ・100 を相異なるk個の自然数の和で表わす方法 x1+x2+x3+……+xk = 100, x1<x2<x3<……<xk, (1≦k≦13) ここで y1 = x1, y2 = x2 -1, y3 = x3 -2, …… yk = xk - (k-1), とおくと、 ・nを重複を許してk個の自然数の和で表わす方法 y1+y2+……+yk = 100 - k(k-1)/2 = n, y1≦y2≦y3≦……≦yk, これを制限付き分割数 q_k(n)と云う. q_k(1) = q_k(k) = 1, q_k(n) = q_{k-1}(n-1) + q_k(n-k), より q_1(100) = 1, q_2(99) = 49, q_3(97) = 784, q_4(94) = 5952, q_5(90) = q_6(85) = q_7(79) = q_8(72) = q_9(64) = q_10(55) = q_11(45) = q_12(34) = 905, q_13(22) = 30, これを合計する。 なるほど👏その方法で重複を許すパターンに置き換えて解くんですね とはいえそれでも計算大変で想像してたよりでかい数になりそうですね... 調べていくと分割数は現在も数論の分野で研究されているということで そのことを知るきっかけになれたのは良かったです ありがとうございます! m_1,m_2,...,m_nが平方数でない正の整数であるとき, √m_1 + √m_2 + ... + √m_n が有理数となるような組(m_1,m_2,...,m_n)は存在しますか? tr (√m_1 + √m_2 + ... + √m_n) = 0 >>623 問2. q_1(100) = 1, q_2(99) = 49, q_3(97) = 784, q_4(94) = 5952, q_5(90) = 25337, q_6(85) = 65827, q_7(79) = 108869, q_8(72) = 116263, q_9(64) = 79403, q_10(55) = 33401, q_11(45) = 7972, q_12(34) = 905, q_13(22) = 30, これを合計すると 444793. これらは漸化式 q_k(n) = q_{k-1}(n-1) + q_k(n-k), を満足して,生成関数 (x^k)/(Π[j=1,k] (1-x^j)) = Σ[n=k,∞] q_k(n)・x^n, をもつ。 数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.58 (続き) 要素の数をkとする。 k=1, q_1 = 1. {100} k=2, q_2 = 49. {i, 100-i} (1≦i≦49) k=13, q_13 = 30. {1〜11, j, 34-j} (12≦j≦16) {1〜10, 12, j, 33-j} (13≦j≦16) {1〜10, 13, 14, 18} {1〜10, 13, 15, 17} {1〜10, 14〜16} {1〜9, 11〜13, 19} {1〜9, 11, 12, 14, 18} {1〜9, 11, 12, 15, 17} {1〜9, 11, 13, 14, 17} {1〜9, 11, 13, 15, 16} {1〜9, 12〜14, 16} {1〜8, 10, 11〜13, 18} {1〜8, 10〜12, 14, 17} {1〜8, 10〜12, 15, 16} {1〜8, 10, 11, 13, 14, 16} {1〜8, 10, 12〜15} {1〜7, 9〜13, 17} {1〜7, 9〜12, 14, 16} {1〜7, 9〜11, 13〜15} {1〜6, 8〜13, 16} {1〜6, 8〜12, 14, 15} {1〜5, 7〜13, 15} {1〜4, 6〜14} >>615-616 97^2 - 3*56^2 = 1, (ペル方程式) √3 < 97/56, {(√2 + √6)/2}^2 = 2 + √3 < 2 + 97/56 < 1.93188^2, (√2 + √6) /2 < 1.93188 LL = 2 - (√2 + √6) /2 > 0.068121 = 0.261^2, L > 0.261 π > 12L > 3.132 import Data.List sums [] bs = bs sums (a:as) bs = sums as ( zipWith (+) bs $ ( replicate a 0 ) ++ bs ) main = do print $ zip [0..] $ sums [1..100] $ 1 : replicate 100 0 {- [(0,1),(1,1),(2,1),(3,2),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),(9,8),(10,10),(11,12),(12,15),(13,18),(14,22),(15,27),(16,32),(17,38),(18,46),(19,54),(20,64),(21,76),(22,89),(23,104),(24,122),(25,142),(26,165),(27,192),(28,222),(29,256),(30,296),(31,340),(32,390),(33,448),(34,512),(35,585),(36,668),(37,760),(38,864),(39,982),(40,1113),(41,1260),(42,1426),(43,1610),(44,1816),(45,2048),(46,2304),(47,2590),(48,2910),(49,3264),(50,3658),(51,4097),(52,4582),(53,5120),(54,5718),(55,6378),(56,7108),(57,7917),(58,8808),(59,9792),(60,10880),(61,12076),(62,13394),(63,14848),(64,16444),(65,18200),(66,20132),(67,22250),(68,24576),(69,27130),(70,29927),(71,32992),(72,36352),(73,40026),(74,44046),(75,48446),(76,53250),(77,58499),(78,64234),(79,70488),(80,77312),(81,84756),(82,92864),(83,101698),(84,111322),(85,121792),(86,133184),(87,145578),(88,159046),(89,173682),(90,189586),(91,206848),(92,225585),(93,245920),(94,267968),(95,291874),(96,317788),(97,345856),(98,376256),(99,409174),(100,444793)] https://ideone.com/FZTUON -} expand してみた。 (1+x^1)(1+x^2)(1+x^3) …… (1+x^100) …… = 1 + x + x^2 + 2 x^3 + 2 x^4 + 3 x^5 + 4 x^6 + 5 x^7 + 6 x^8 + 8 x^9 + 10 x^10 + 12 x^11 + 15 x^12 + 18 x^13 + 22 x^14 + 27 x^15 + 32 x^16 + 38 x^17 + 46 x^18 + 54 x^19 + 64 x^20 + 76 x^21 + 89 x^22 + 104 x^23 + 122 x^24 + 142 x^25 + 165 x^26 + 192 x^27 + 222 x^28 + 256 x^29 + 296 x^30 + 340 x^31 + 390 x^32 + 448 x^33 + 512 x^34 + 585 x^35 + 668 x^36 + 760 x^37 + 864 x^38 + 982 x^39 + 1113 x^40 + 1260 x^41 + 1426 x^42 + 1610 x^43 + 1816 x^44 + 2048 x^45 + 2304 x^46 + 2590 x^47 + 2910 x^48 + 3264 x^49 + 3658 x^50 + 4097 x^51 + 4582 x^52 + 5120 x^53 + 5718 x^54 + 6378 x^55 + 7108 x^56 + 7917 x^57 + 8808 x^58 + 9792 x^59 + 10880 x^60 + 12076 x^61 + 13394 x^62 + 14848 x^63 + 16444 x^64 + 18200 x^65 + 20132 x^66 + 22250 x^67 + 24576 x^68 + 27130 x^69 + 29927 x^70 + 32992 x^71 + 36352 x^72 + 40026 x^73 + 44046 x^74 + 48446 x^75 + 53250 x^76 + 58499 x^77 + 64234 x^78 + 70488 x^79 + 77312 x^80 + 84756 x^81 + 92864 x^82 + 101698 x^83 + 111322 x^84 + 121792 x^85 + 133184 x^86 + 145578 x^87 + 159046 x^88 + 173682 x^89 + 189586 x^90 + 206848 x^91 + 225585 x^92 + 245920 x^93 + 267968 x^94 + 291874 x^95 + 317788 x^96 + 345856 x^97 + 376256 x^98 + 409174 x^99 + 444793 x^100 + 483330 x^101 + …… 虚数の i = SQRT(-1) なのは当たり前のように理解してるのですが 四元数の i, j, k も = SQRT(-1) なのか?という疑問が湧いてます i = j = k になってしまうので xx = -1 を満たす解は何個かあり ±i, ±j, ±k とか書いています。 ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j, などを追加しても一義的には定まらず、 巡回的に入替えられるらしい。。。 4元数体の実軸以外の原点を通る平面を任意に選べばその平面上の4元数体の全体は加法、乗法で閉じるので C と同型になる。 その中に x^2 = -1 の解が二つずつ出てくるので4元数体全体で x^2 = -1 の解は無限にある F(1)=2 F(0)=0 F(-1)=-1/2 で滑らかで単調増加の関数F(x)って どんなのがあるかな❓ 635よりマシな解だけど y=3^x-1 but x=0か1近傍なら正しい >>634 は、出題ミスにしてさ F(1)=2 ∧ F(0)=0 ∧ F(-1)=-2/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓ っていう問題にすり替えるとよろしい💃 お絵かきは、キニシナイでください >>637 よ、問題をすり替えるなら、以下のお絵かきの如く F(1)=3 ∧ F(0)=0 ∧ F(-1)=-1/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓ だ。チミにはわかるかな❓ ポクは今はマダ解らん。今は F(x) = 2(4^x - 1)/3, ぢゃダメか? ↑ の補足。 c-1/2, c, c+2 が等比数列だと仮定すれば 0 = (c-1/2)(c+2) - cc = (3/2)c - 1, ∴ c= 2/3. >>639 ありがとう。モチロン数学板はポクより天才😺 すいません、健康についての問題なんですが たぶん三角関数の積分で求められると思うんですが解説見ても自信なく 計算の解説と回答をお願い致します 血の中にとけた糖質量(血糖値)が食事後2時間かけてサインカーブの様にゆっくりと上がって下がると仮定します(1時間後が頂点になる) て、2時間あたりの血糖値の積分値が2000mg/dlの場合、血糖値のMax値(1時間後と仮定)は いくらになるのでしょうか?? ∫(サインx+1)dx??? 2000=-cosx+xぐらい検索したのですがそこから頂点までわからなくなりました? 大事な事、書き忘れました 食事前の血糖値は90mg/dlとします。 食事後90mg/dlから上がって1時間後にmax値になり 2時間後に90mg/dlに戻ります >>635 直角双曲線とすると F(x) = 4x/(5-3x), かなぁ。 x<5/3 に限れば単調増加。 漸近線は x=5/3 と y=-4/3. 焦点 ( (5-2√10)/3, (2√10 -4)/3 ) と ( (5+2√10)/3, (-2√10 -4)/3 ) 球の最密充填計算してあーだこーだしてるんだけど プログラミングでは球同士が埋もれて重なることがあるんだわ プログラミングの問題と言えばそうなんだけど なんだかなぁ、、、 プログラミング板で愚痴るべきか、、、 大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難とききました では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であることを示すこと」は可能なのでしょうか? >>634 3次式 F(x) = x(xx+3x+4)/4, F '(x) = {3(x+1)^2 + 1}/4 ≧ 1/4. … 単調増加。 ↑ の補足 3点を通る2次式は x(5+3x)/4 だけど、 これは x<-1 では単調増加にならない。そこで F(x) = x(5+3x)/4 + k・x(x-1)(x+1)/4 = x(k・xx + 3x + 5-k)/4, とおいてみる。 F(x) が単調増加となる条件は F '(x) = 0 が2つの実解をもたないこと。 F '(x) = (3k・xx + 6x + 5-k)/4, D = (3/2)^2 - 12k(5-k) ≦ 0, 0.69722436 < k < 4.30277564 k = 1, 2, 3, 4 はこれを満たす。 F(x) = x(xx+3x+4)/4, F(x) = x(2xx+3x+3)/4, F(x) = x(3xx+3x+2)/4, F(x) = x(4xx+3x+2)/4, ナール。 と主人は引張ったが「ほど」を略して考えている。 夏目漱石「吾輩は猫である」(1905-1906) ↑ 前の千円札の人 >>634 F(x) = (3+5x)/4 - (3/4)k'{(k'+1)/(k'+xx) - 1} (-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。 そこでローレンツ分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。 F(x) は単調増加だから、F '(x)=0 は2実解をもたない。 ∴ (557-40√157)/243 ≦ k' ≦ (557+40√157)/243, 0.229635541375 < k' < 4.35472659854 >>634 F(x) = (3+5x)/4 - (3/4){e^(1-xx) - 1}/(e-1), (-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。 そこで正規分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。 F '(x)=0 は実解をもたないから F(x) は単調増加。 球充填問題について書かれた本ってありますか? どの分野の書籍を探せばいいんだろ 線形代数かな? 何か知ってたら教えて下さい かなり古いけど… 一松 信:「パッキングの問題」, 数セミ増刊『数学100の問題』, 日本評論社(1984/Sept) p.27-29 一松 信:京都大学 数理解析研究所 講究録, No.676, p.1-4 (1988/Dec) スローン (町田 元・訳)「球の充填問題」, 『サイエンス』1984年3月号, 日経サイエンス社 J.H.Conway - N.J.A.Sloane "Sphere packings, lattices and groups" Springer-Verlag (1998) N.J.A.Sloane, “The sphere-packing problem”. Documenta Mathematika 3, p.387–396. (1998) F(x) = {(x+1)^c - 1}/2, x≧-1 で単調増加。 c = log(5)/log(2) = 2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958... 三角関数 F(x) = (5x+3)/4 - (3/8){1+cos(πx)}, F '(x) = 5/4 + (3π/8)sin(πx) = 1.25 + 1.1781sin(πx) ≧ 0.0719 ↑をチョト改良? F(x) = (5x+3)/4 - (3/4){(1/√2) + cos(3πx/4)}/(1/√2 + 1), F '(x) = 5/4 + (3/4)(3π/4)sin(3πx/4)/(1/√2 + 1) = 1.25 + 1.03517 sin(3πx/4) ≧ 0.21483 4次元立方体をテセラクトというのはわかったのですが 5次元、6次元と増やしていったときそれぞれの立方体の名前は何というのでしょうか? なんか名前がかっこいいから調べたく思いまして >>644 双曲線なら斜交の方がいい? F(x) = (5/4){x + √(xx +(8/15)^2)} - 2/3, 大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難と聞きました では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であること」を示すのは可能なのでしょうか? [第1段]:2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である a=2^{√2} とおいているから log_|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e<3 から 3^{(2√2)/3}<2 であって、3^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、3^{2√2}>3^2=9 だから、3^{2√2}<8 が得られたことは 3^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である eの近似値や 2<e<3 などの大小関係は高校数学の範囲の筈だから、 超越数の定義が分かっていれば 2^{√2} の超越性も 高校数学の範囲で示せる気がしないでもないんだが… [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である >>663 >>664 根本的に間違ってるから無意味 どこにも代数的数であることを使ってないから代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になるから間違い >>665 >代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になる ゲルフォント・シュナイダーの定理から、そうはならない 体Q上 a=2^√2 のn次の最小多項式を考えても、 その次数が1であることは明らかだから、 結局はaの無理性の証明に帰着する >>668 ゲルフォント・シュナイダーの定理に従えば、そうはならないという事実がある 2^√2 の無理性の証明を高校数学の範囲で証明してもつまらない 2^√2 を互いに素な整数を使って有理数で表して議論していって矛盾を導く可能性が高い 書き換えた「証明」 ------------------------------------------------------------------------------- [第1段]:2^{√2} が超越数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の超越数である a=2^{√2} とおいているから log_|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が代数的数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は代数的数である >>670 「背理法により 2^{√2} は代数的数である」とあるが 2^{√2} はゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数であることが判明しているので その証明は誤っている >>669 高校の数学教師が高校生に対して「2の√2乗が無理数であることを示せ」という証明問題を出すのは 無理なのでしょうか? >>670 >>673 コピペした証明が間違っている [第1段]:2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である a=2^{√2} とおいているから log|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} を代数的数と仮定したことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である 集合Aを A={2^x| xは代数的無理数 } と定義すれば、 Aは区間 [0、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である 同様に、実数の代数的数全体の集合Bは 区間 (-∞、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である 2^{√2} を代数的数と仮定すると、同時に2つの零集合A、B上で 議論していって矛盾が得られるようになっているから、正しい >>675 2^{√2} を代数的数と仮定すると A⊂B が成り立つから、零集合A上で議論して矛盾を得る A⊂B → 2^{√2}∈A∪B 零集合A上 → 零集合 A∪B 上 >>672 こういう問題を高校生に出すのは止めた方がいい 多分、出題しても完答できる人は殆どいないと思う 無理性を証明するにしても、乗法的独立の知識は要する 連立方程式で質問です 1個100円のりんごと1個100円の梨を10個1000円分買いました りんごと梨はいくつ購入されたでしょう ってなったとき答えって10通りあると思うんですけど式を解くと0ででてきちゃいます 解き方が間違ってるんでしょうか りんごも梨も少なくとも1つは買ってるなら、9通り? 梨はナシでもいいが、りんごがないのは無しだ? それなら 10通り… >>679 それは連立してないからです 100円が意味をなしてないからです >>659 双曲線 (斜交) 漸近線は y = -2/3 と y = m・x - 2/3, (m=5/2). 焦点 ( ±(8/15)√(2√29)・sin(θ/2), -(2/3) 干 (8/15)√(2√29)・cos(θ/2) ) = ( ±(4/15)√(√29 - 2), -(2/3) 干 (4/15)√(√29 + 2) ) ここに θ = arctan(m), >>678 ありがとうございます やはり高校数学の範囲を逸脱しているのかあ… >>684 2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{√2}=2^2=4 であって、(1/a)^{√2}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから、2^{√2} は実数の超越数である 実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である 今更だが、有理数(または実数の代数的数)の稠密性を使えば、こういう証明はある >>686 実数体R上、実数の代数的数の全体は加減乗除の演算に関して体をなし、 実数の代数的数は有理数と同様に実数体R上稠密である >>686 実数論の有理数の稠密性も分からない人間に間違いって判定されたくない >この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから >「生じたから」、2^{√2} は実数の超越数である >>684 2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{√2}=2^2=4 であって、(1/a)^{√2}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{√2} は実数の超越数である 実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である 2^{3/2} が代数的数であるとする a=2^{3/2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{2/(3/2)}=2^2=4 であって、(1/a)^{2/(3/2)}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{3/2} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{3/2} は実数の超越数である >>691 2^{3/2} が代数的数であることは確定しているから 2^{3/2} にその論法は通用しない 原理的には、実数論では有理数の加減乗除をもとに無理数を定義して有理数体Qを完備化するのと同様に、 実数の代数的数の加減乗除をもとに実数の超越数を定義して実数の代数的数の全体を完備化出来る その後、実関数について微分積分を展開していくという理論展開も原理的には出来る その考え方を応用しただけ >>691 注意しておくけど、2^{3/2}=2√2 は 有理数体Qに √2 を添加した代数拡大体 Q(√2) に属し、 Q(√2) は超越拡大体ではない こいつ前もおんなじ突っ込み受けてたやつやろ 一ミリも成長してない >>692 2^{√2} が代数的数であるなら>>690 は使えないから >>690 の前に2^{√2} が代数的数でないことを証明しないと >>694 そういう微分積分の理論展開も原理的には出来るから、本でも読んでよく考えてみな 1<r<2のとき2^{r} が代数的数であるとする a=2^{r} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{2/r}=2^2=4 であって、(1/a)^{2/r}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{r} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{r} は実数の超越数である 有理数体Qに実数の超越数eを添加した超越拡大体 Q(e) の加減乗除をもとに 超越数を定義して Q(e) を完備化することは原理的には出来るが、 このときは超越拡大体 Q(e) を完備化する前に実数の超越数eが既に含まれているので、 体 Q(e) を完備化した後微分積分を理論展開して それを超越性を示すのに応用することは一般には出来ない >>698 と同様なことは、一般に実数体Rの部分体なる超越拡大体についていえる >>697 という訳で、実数の代数的数の全体をAで表わすことにすれば、 体Aの超越拡大体 A(2^{√2}) についても>>698 と同様なことがいえる だから、>>697 の考え方は実数について代数的数か超越数かの判定には適用できない そもそも>>691 の言ってる事が理解できてない時点で数学Aすら理解できてない。 数学Aの時点で自分が落ちこぼれてることすら理解できる知能がない。 >>702 そもそも、>>690 は高校ではなく大学の微分積分に基づいた証明である 数学Aで落ちこぼれてる人間が大学の微積の議論できるはずないやろ そんなレベルの話すら理解できる知能がないんだよ。 >>704 高校の微分積分と大学の微分積分が同じだと思ったら大間違い 高校の微分積分では実数論が幾何的直観に基づいていて曖昧だが、 大学の微分積分では幾何的直観に基づかず実数論をする >>704 第一、高校の微分積分ではε-δ論法をしていないだろ まぁ高木といっしょ 自分の事世紀の天才とでも思ってるんやろ 高校数学の時点で落ちこぼれてるゴミ 指摘が難しすぎるようなので簡単に 4>a>2から2>aは出ない >>707 高校数学は計算が大半を占めていて論理的に曖昧な部分があるから 大学数学を理解するのに高校数学をしっかり理解する必要はない 高校の実数論は、連結な数直線の幾何的直観に基づいているから曖昧である >>709 間違いの指摘をするなら、回りくどい指摘ではなく そのように簡単にしてくれた方が分かり易くてありがたい 高木ということ一緒 おそらく糖質なんやろ 少なくとも高校の段階から知能の向上が止まってっる もっと前かもしれないが >>711 くどくど他人のこというなら、>>690 のような証明に成功してからいってくれ >>710 背理法で証明するなら仮定を使って矛盾を導かなければできないっていう根本的な指摘だよ >>714-715 理解出来ない人間には理解出来ないだろうが、実は>>674 の証明は正しい >>716 >>714 での指摘通り全部間違った証明だよ >>717 元々、微分積分の理論を有理数から無理数を定義したときと同様に 実数論から再構成してから微分積分の理論を再展開し、 それを実数の超越性の証明に応用して示す長い証明である >>716 では結果だけを切り取って書いたから間違いに見えるだけ >>717 実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して 実数論を再展開するときは最小多項式の次数や ディオファンタス近似などを使う必要があって、 有理数から無理数を定義した実数論とは様相が全く違う >>674 では集合 A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい代数的数 } と 実数の代数的数の全体がなす体Bの共通部分 A∩B が空集合であることを示した方が速い 実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して 実数論を再展開して微分積分の理論を再展開しても、 その再展開した微分積分は従来の微分積分と殆ど同じで、 再展開した微分積分には殆ど使い道がなく意味は殆どないだろうから、 >>674 では結果だけを切り取って書いた 4/3=1.3333333333<0.9802581434=sqrt(2)log(2). [第1段]:集合Aを A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 } と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する 集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する 集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a>1 なる a∈B が存在して、 a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である nを a^x の最小多項式の次数とする Case1):n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、 リウビルの定理より a^x に対して或る c>0 なる実数cが存在して、 両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|>c/(p^n) である また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の 既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|<1/(p')^2 が成り立つ よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して c/(p')^n<|a^x−q'/p'|<1/(p')^2 であって、 c/(p')^{n-2}<(p')^2|a^x−q'/p'|<1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|<1 である 故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて 既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて 既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1 を満たし矛盾が生じる Case2):n=1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、 a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x=q/p である また、仮定からxは代数的無理数である。 xの最小多項式の次数をmとすると、m≧2 であってxはm次の代数的無理数である よって、Case1)の議論におけるnをmで、a^x をxで、それぞれ書き換えて Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾が生じる この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B=∅ である [第2段]:よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない 故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、 任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である [第3段]:故に、任意の正の代数的数a、任意の代数的無理数x に対して、a^x は実数の超越数である [第4段]:√2 は代数的無理数なることに注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である 訂正: [第3段]:任意の正の代数的数a → 任意の1とは異なる正の代数的数a [第1段]のCase1)の最後の行の補足: (p')^2|a^x−q'/p'|≧1 → (p')^2|a^x−q'/p'|≧1>(p')^2|a^x−q'/p'| xは代数的無理数であるというだけで矛盾するってことは 代数的無理数は存在しないってことになるんだが [第1段]:集合Aを A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 } と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する 集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する 集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a>1 なる a∈B が存在して、 a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である nを a^x の最小多項式の次数とする Case1):n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、 リウビルの定理より a^x に対して或る c>0 なる実数cが存在して、 両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|>c/(p^n) である また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の 既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|<1/(p')^2 が成り立つ よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して c/(p')^n<|a^x−q'/p'|<1/(p')^2 であって、 c/(p')^{n-2}<(p')^2|a^x−q'/p'|<1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|<1 である 故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて 既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて 既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1>(p')^2|a^x−q'/p'| を満たし矛盾が生じる Case2):n=1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、 a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x=q/p である また仮定から、aは代数的数だから、aの最小多項式の次数をmとすれば、 m≧1 であってaはm次の代数的数である Case2-1):m≧2 のとき。このとき、aはm次の代数的無理数であって、 Case1)の議論におけるnをmで、a^x をaで、それぞれ書き換えて Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る Case2-2):m=1 のとき。このとき、aは1より大きい正の有理数だから aに対して両方共に或る互いに素な整数 p''、q'' p''≧1 が存在して a=q''/p'' である よって、(q''/p'')^x=q/p であって、q≧1 から (q''/p'')^x・(p/q)=1 である しかし、仮定からxは代数的無理数だから、1とxは有理数体Q上1次独立である また、有理整数環Zは体Q上の単位元1を含む単位的部分環である 故に、環Z上の加群を考えれば、(q''/p'')^x・(p/q)≠1 であって、矛盾が生じる Case2-1)、Case2-2)から、n=1 のときにすべての起こり得る場合について矛盾を得る Case1)、Case2)から、すべての起こり得る場合について矛盾が生じる この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B=∅ である [第2段]:よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない 故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、 任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である [第3段]:故に、任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x に対して、a^x は実数の超越数である [第4段]:a=2、x=√2 のとき。√2 は代数的無理数なること に注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である [第3段]について 任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x → 任意の1とは異なる正の代数的数a、任意の代数的無理数x 〔問題〕 a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。 M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。 ・高校数学の質問スレ_Part432 - 883 有理数と無理数はどちらも無限大に存在するが、仮に有理数と無理数を同数無限大に出尽くしたとしても、更に無理数のほうが多く存在することを証明せよ 有理数を小数で表わすと、 有限桁で切れるか又は循環小数となる。 その循環節の間に1桁ずつ数字を挟もう。 たとえば 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,… の 第k項、k+L項、k+2L項、…は循環しないので、 それらを挟んでいくと、すべて無理数になる。 (k, L) の取り方は無限にあるから、 1個の有理数が無限個の無理数に対応する。。。 >>733 (a, b, c) = (n+1, 2n+1, 3n) M = (1+3^n)^3, 面白スレ43問目 318-319 一つの無理数、たとえばπにたいして有理数は3、3.1、3.14、3.141、...って無限にあるけど 有理数も無理数もどちらも無限大でいいんじゃね 〔問題104〕 ∫[0,π/2] sin(x)/{1+√sin(2x)} dx を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434−104,117 x ⇔ π/2−x の対称性から (与式) = (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx = ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx ここで cos(x)−sin(x) = sin(t), −(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt, とおく。 (与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt = ∫[0,π/2] {1−1/(1+cos(t))} dt = ∫[0,π/2] {1−1/[2cos(t/2)^2]} dt = [ t−tan(t/2) ](0→π/2) = π/2 − 1. ∫1/(1+cos(t)) dt = sin(t)/(1+cos(t)) = (1-cos(t))/sin(t) = tan(t/2), (参考書) 森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987) 第W篇, 第3章, §40, p.187-192 素因数分解のプログラムを作成予定です。 これを1時間で解けたら世界トップクラスなど、処理速度を評価する目安があれば教えてください。 〔問題336〕 ∫ (cos x)/(cos x + sin x) dx を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434−336,356 1/(1+tan x) = (cos x)/(cos x + sin x) = {1 + (−sin x + cos x)/(cos x + sin x)}/2 = {1 + (cos x + sin x) ' /(cos x + sin x)/2, より ∫ 1/(1+tan x) dx = {x + log|cos x + sin x|}/2, x - π/4 = y とおけば 分母は (√2)cos y ゆえ、 積分すべきは (1/2)(tan y) と定数になる。 本当にくだらねぇ質問だと感じるとは思いますが、 https://pachimaga.com/free/column/9efd320cf25de1bb99db35ed171b50e9fbdd0094.php ST中に当たる確率は =1-(1-1/99.4)^163=0.807593 ≒80.76% これを確率分母に掛ける。 =99.4✕0.807953 =80.2748回 残り保留4個分も含めると81.0408回となる(残り保留の計算方法については次回具体的に説明する) とありますが、次回の具体的説明というのが無かったので何故保留4個を含めると80.2748が81.0408になるのかがわかりません。 これはどんな計算で求めているのでしょうか? あっと、確率分母にかけるとこの数値はミスってますね 99.4×0.807593がただしい 〔問題829-改〕 一辺の長さが2の正三角形ABCがある。 その内接円の内部or周上に点Pをとる。 このとき積 AP・BP・CP の最大値を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434 - 829 内接円の半径r = 1/√3, 内心Iのまわりの極座標を ρ, φ とすると 0 ≦ ρ ≦ r, AP・BP・CP = √{(64/27 + ρ^6) + 2(8/√27)ρ^3・cos(3φ)}, 最大値 9/√27 = √3 (ρ=1/√3, φ=0) 中央値 8/√27 (ρ=0) 最小値 7/√27 (ρ=1/√3, φ=±60°) 〔問題883-改〕 一辺の長さが1の正三角形ABCがある。 その外接円の周上に点Qをとる。 このとき和 AQ+BQ+CQ の取りうる値の範囲を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434 - 883 外接円の半径 R= 1/√3, 外心Oのまわりの方位角を θ とすると ∠AOQ = 60°−θ, ∠BOQ = 60° +θ, ∠COQ = 180°−θ, AQ + BQ + CQ = 2R{sin(30°−θ/2) + sin(30°+θ/2) + sin(90°−θ/2)} = 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} ← 和積公式 = 4R cos(θ/2), 最大値 4/√3 (θ=0) 最小値 2 (θ=±60°) ↑ A: 60° B: −60° C: 180° Q: θ (-60°≦θ≦60°) とした。 ↑ θ/2 方向の単位ヴェクトルをeとすると、 ↑OA・e = R cos(60°−θ/2) = R sin((60°+θ)/2) = BQ/2, ↑OB・e = R cos(60°+θ/2) = R sin((60°−θ)/2) = AQ/2, ↑OC・e = −R cos(θ/2) = −R sin(90°−θ/2) =−CQ/2, これと ↑OA +↑OB +↑OC = ↑0 から BQ + AQ −CQ = 0, ∴ AQ + BQ + CQ = 2CQ. そしたら、これ a^n+b^m=2024となるような自然数の組(a,b,n,m)を全て求めよ。 うむ。確かに くだらねぇ。 特に n=1 や m=1 も含めた くだらなさが 際立ってるね。 もし n≧2, m≧2 にしたら 良問になりそうだから禁止ですね。 (a,b,n,m) (41,7,2,3) (7,41,3,2) (32,10,2,3) (10,32,3,2) (10,4,3,5) (4,10,5,3) m,n≧2に制限してもくだらない そう思えないなら感覚が狂ってる >>757 (10,2,3,10) (2,10,10,3) 文系なんで教えてください コンウェイのチェーン表記 3→2→2っていくつ? 27 3→2→2 =3→(3→1→2)→1 =3→(3↑↑1)→1 =3→3→1 =3→3 =3^3 R環として平坦 R 加群の直和因子は全て平坦であることを証明して下さい。 質問 000から999まで1,000通りあるクジを毎日引くとき a) 特定の三桁の数字を固定する(たとえば943とか) b) 毎回適当な三桁の数字にする(たとえば昨日は123で今日は852とか) 1,000日繰り返したとして、クジに当たる確率はaもbも同じ ↑ 直観的にはaのほうが当たりそうだけど、aもbも当たる確率は同じですよね? まあこれナンバーズ3をコンピュータで自動購入してる話なんですけど 当選番号が公開されるなら、 長期間のデータを集めれば各番号の当選確率を推測できそう。 b) で一番当たりやすい番号を買えば良いかな? >>763 R環上の平坦加群の直和因子が全て平坦であることを証明します。 まず、R加群 M, N がそれぞれ平坦であるとは、任意の R-加群準同型 f: P → M に対し、ある R-加群準同型 g: M → P で fg = id_P となるようなものが存在することを意味します。 ここで、M, N が R環上の平坦加群であり、それらの直和 M ⊕ N を考えます。このとき、任意の R-加群準同型 h: P → M ⊕ N に対して、h を M への射影と N への射影に分解できます。 さらに、M, N が平坦であることから、それぞれに対して M への射影と N への射影を fg = id_P となるような R-加群準同型 f, g に分解できます。 これらの分解を用いることで、h = (f, g) となるような R-加群準同型 f, g が存在することを示すことができます。 よって、M ⊕ N も R環上の平坦加群であることが証明できます。 >>761 コンウェイのチェーン表記って初めて聞いた?私も最初はちんぷんかんぷんだったよ。 でも大丈夫!ここでは、文系でも理解できるよう、分かりやすく解説していくね。 まず、チェーン表記とは、矢印を使って巨大な数を表す方法なんだ。例えば、3→2→2は、3の2乗の2乗を表すんだ。つまり、3↑↑2ってことだね。 計算方法はちょっと複雑だけど、ポイントは、右側の数字が左側の数字の累乗を表すってこと。 今回の3→2→2だと、 最初は3を2乗する:3↑↑2 = 3^2 = 9 次に、9を2乗する:9↑↑2 = 9^2 = 81 だから、3→2→2は81を表すということになるんだ。 もっと複雑なチェーン表記もあるんだけど、基本さえ理解すれば大丈夫! フーリェ分解の公式 k を自然数とするとき (cos θ)^{2k} = (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ) } (sin θ)^{2k} = (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ)・(-1)^m } ここに C(2k,r) は二項係数。 >>761 3→2→2=27 a→b→c=a↑…↑b(矢印=c本)であるから 3→2→2=3↑↑2 m↑↑n=m↑m↑…↑m(mの数=n個)であるから 3↑↑2=3↑3 p↑q=pのq乗であるから 3↑3=3の3乗=27 >>773 左辺に cos θ = (e^{θi} + e^{-θi})/2, sin θ = (e^{θi} − e^{-θi})/2i, を入れて2項公式で展開するだけ。 ∴ くだらねぇ問題の条件をみたす。 read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる