くだらねぇ問題はここへ書け

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:29:45.37

お願いします。このおバカな私に教えてください。

次の極限値は2と４のとの間に存在することを証明せよ。

lim[n→0](1+1/n)^n

[解]

まず、nを正の整数として考えてみると、この(1+1/n)^nはnを増すにしたがって大きくなることが言える。
次に、これを説明する。

y^n-a^n=(y-a)*(y^(n-1)+a*y^(n-2)+a^2*y^(n-3)+・・・・・・a^(n-2)*y+a^(n-1))

となる。y>aとすれば、右辺の第二因数は指揮の中のaをすべてyに改めた n*y^(n-1)よりは小さいから、
次の不等式が考えられる。

y^n-a^n<n*(y-a)^(n-1)

そこで　y、aをとくに、

y=1+1/(n-1) a=1+1/n ←①ここが分からない、ここでつっかえています。なぜこうやっておくのか？

とおけば、上の不等式は、

(1+1/(n-1))^n-(1+1/n)^n<{1/(n-1)}*{1+1/(n-1)}^(n-1)

となる。これを簡単にすると、次の不等式となるからである

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:30:38.54

>>299
つづき

1+1/(n-1)}^(n-1)<(1+1/n)^n ←②個々の計算結果がなぜそうなるのか？途中計算を詳しくお願いします。

n=1であるときは、与えられた指揮は2となるから、この極限値が2よりも大きいことｈ言うまでもないが、
これが4よりも小さいことを次に証明する。

まず、nを偶数とするとn=2*mとおいて、

(1+1/n)^n=(1+1/(2*m))^(2*m)={(2*m+1)/(2*m)}^(2*m)={((2*m+1)/(2*m))^m}^2

ところが、（③ここからが分かりません、何でそれぞれの右辺がこうなるのか・・・）

(2*m+1)/2*m<(2*m)/(2*m-1) , (2*m+1)/(2*m)<(2*m-1)/(2*m-2) , (2*m+1)/(2*m)<(2*m-2)/(2*m-3) , ・・・

(2*m+1)/(2*m)<(m+2)/(m+1)

であるから、これらの m-1 個の不等式くを4行以上の等式の最後の項に代入すれば、

(1+1/n)^n<{(2*m+1)/(m+1)}^2 , すなわち、　(1+1/n)^n<{2-1/(m-1)}^2<4 　←④どうゆう計算したのか？

　また、nが奇数の場合は、これを n+1 にかえると、これが偶数となり、かつ、前の証明によって、式の値も増加
するから、n の場合ももちろん4より値が小さくなる。
　この式は n の値を増すにしたがってその値が増加するが、ある限度 4 をこえることはないから、何かある一定
の極限に達する。この数を e で表しているのである。
{n=100 とおくとこの式の値は 1.01^100=2.704(対数計算による）となり、また、n=1000とおけば 1.001^1000
=2.717（対数計算による）となる。この極限値 e は実はつぎの値となる。e=2.71828188284・・・・・