くだらねぇ問題はここへ書け
体積濃度なら、生成後の体積が550mlであることがすぐ判るので、
77vol%時の密度0.8899と、70vol%時の密度0.8718を使って
500×(77/70)×0.8899 − 500×0.8718 = 53.545 (g)
で計算できますね。 >生成後の体積が550ml
それ、混合液の収縮を考慮してないだろ。
>>147 を見てごらん。
体積は混ぜたとき足し算にならないから、
質量濃度に移して計算するんだよ。 77vol%エタノール500mlに、53.545g(≒53.6ml)の水を入れれば、
70vol%エタノール550mlができるというのが、>>153の主張です。
体積収縮しているから、(553.6ではなく)550mlになるのだと。
物質量は体積濃度×体積で求まり、内容物を他に移さない限り変化しません。
この視点に立った方法で、体積濃度を使う場合は、この方法が使えます。
そもそも、147の冒頭に書かれているのが将にこれでしょう。
水を加える前:濃度77vol% 体積100×(70/77)ml
水を加えた後:濃度70vol% 体積100ml
水の投入前後で、濃度×体積は同じ値を取ります。
ついでに>>153の内容を一部訂正しておきます。
×:77vol%時の密度0.8899と、70vol%時の密度0.8718を使って
○:70vol%時の密度0.8899と、77vol%時の密度0.8718を使って x≧yz、(x,y,z)∈[0,1]^3 をみたす立体の体積を重積分で求めるには、どうすれば良いですか? >>166
(y,z) を固定すると、x方向の高さが 1-yz,
V = ∬ (1-yz) dydz = 1 - (1/2)^2 = 3/4, △ABCの等角共役点{P、Q}から3辺に下した垂線の足6点は、PQの中点を中心とする円周上にあります。
{外心O、垂心H}は等角共役点の1例です。(9点円)
点Pと3頂点A、B、Cを結んだ3本の直線はそれぞれの対辺と交わります。点Qについても同様です。
これら6点が、同一円周上にあるとき、{P、Q}は木戸共役点であると言いましょう。
{重心G、垂心H}は木戸共役点の1例です。(9点円)
では、木戸共役点{P、Q}の間にどんな関係があるでしょうか?
文献
数セミ、Vol.50、No.3、p.66(2011/3) Wolstenholmeの定理(1862) など。
pは奇素数とする。
(1) Σ[k=1,p-1] 1/k ≡ 0 (mod pp) … p≧5
≡ -3 (mod 9) … p=3
(2) Σ[k=1,p-1] 1/kk ≡ -p (mod pp) … p=8m±3、p≧5
≡ 2p (mod pp) … p=8m±1
≡ -1 (mod 9) … p=3
(3) Σ[k=1,p-1] 1/k^3 ≡ 0 (mod pp) … p≠5
≡ -5 (mod 25) … p=5
(4) 納k=1,p-1]1/k^4 ≡ 0 (mod p) … p≧7
≡ 4 (mod 25) … p=5
≡ -4 (mod 9) … p=3
(p) Σ[k=1,p-1] 1/k^p ≡ 0 (mod p^3) … p≧5
≡ -9 (mod 27) … p=3
が成立つらしい。。。 >>171
(1)の略証
Σ[k=1,p-1] 1/k = (1/2)Σ[k=1,p-1] {1/k + 1/(p-k)}= (1/2)p・Σ[k=1,p-1] 1/{k(p-k)},
ところで
Σ[k=1,p-1] 1/{k(p-k)}≡ -Σ[k=1,p-1]1/kk ≡ -Σ[k'=1,p-1] k'k' = -p・(p-1)(2p-1)/6 ≡ 0 (mod p)
ここで、p≧5 と{ 1/k | 1≦k≦p-1}≡{ k' | 1≦k'≦p-1} (mod p)を使った。
(参考)
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1106_p.htm >>171
(2)は (mod pp) で考えると
Σ[k=1,p-1] 1/kk ≡ -p … p=5,11,13
≡ 2p … p=7
≡-3p … p=17
≡10p … p=19
≡ -1 … p=3
とバラバラだが… >>123-124
巡回せーるすまん問題
NP-hard
ある多体ハミルトニアンの基底状態を求める問題に帰着できるらしいけど。
どっちにしても、悪い例に当たると手に負えない難問だろうな。
「数学100の問題」数セミ増刊、日本評論社(1984)p.226-227 >>174
2次元Isingモデル?
2点i,jの距離d(i,j)をスピン間の結合エネルギーJ(i,j)に対応させる。
(統計力学の)状態和を行列計算で出す。
絶対温度→0 として基底状態を取り出す。 Youtubeで見たIQ test
1+4=5 2+5=12 3+6=21 8+11=?
ans. a+b=a+ab → 8+11=96
これって、
1+4=5 (mod 6)
2+5=12 (mod 5)
3+6=21 (mod 4)
8+11=? (mod 3) → ans. 8+11=201 じゃダメ(^^)? 人いねーし
証明して cos(α+β)cos(α-β) = cos^2(α) - sin^2(β) = cos^2(β) - sin^2(α) >>213
人いねーし
証明する
{cos(2α)+ cos(2β)}/2 ={1+cos(2α)}/2 -{1-cos(2β)}/2 ={1+cos(2β)}/2 -{1-cos(2α)}/2, sin20°sin40°sin80°=
cos10°cos50°cos70°=
cos24°cos48°cos96°cos192°=
cos36°cos72°cos144°cos288°=
cos(2π/7)cos(4π/7)cos(8π/7) = >>226
sin(20゚)sin(40゚)sin(80゚)=(√3)/8,
|| || ||
cos(70゚)cos(50゚)cos(10゚)=(√3)/8,
cos(24゚)cos(48゚)cos(96゚)cos(192゚)= 1/16,
16t^4 -8t^3 -16t^2 +8t +1=0 の根。
cos(24゚)={1 + √5 + √[6(5-√5)]}/8 = 0.91354545764
cos(48゚)={1 - √5 + √[6(5+√5)]}/8 = 0.66913060636
cos(96゚)={1 + √5 - √[6(5-√5)]}/8 = -0.10452846327
cos(192゚)={1 - √5 - √[6(5+√5)]}/8 = -0.97814760073
cos(36゚)cos(72゚)cos(144゚)cos(288゚)= -1/16,
(4tt+2t-1)(4tt-2t-1) = 0 の根
cos(36゚)= -cos(144゚)=(1+√5)/4,
cos(72゚)= cos(288゚)=(√5 -1)/4,
cos(2π/7)cos(4π/7)cos(8π/7)= 1/8,
8t^3 + 4t^2 -4t -1 = 0 の根 2つの自然数a,bの最大公約数をg,最小公倍数をlとする。
A={n|nはaの素因数}
B={n|nはbの素因数}
G={n|nはgの素因数}
L={n|nはlの素因数}
ならば
(G=A∩B) ∧ (L=A∪B)
ですか? 自然数nに対して、
(1 + 1/n)^(2n+1)(1 - 1/n)^(2n-1)< 1 自然数nに対して、
(1 + 1/n)^(2n+1)(1 - 1/n)^(2n-1)<(1-1/nn)^(1/3n)< e^{-1/(3nnn)}< 1,
不等式スレ第9章.206 >>230
はい。
逆に{g,l}から{a,b}を求めることができるでしょうか?
1つの素因数に注目すれば、{a,b}のベキ指数は{g,l}のベキ指数と一致します。
しかし{a,b}⇔{g,l}の同型対応が2通りあるので…
l/g が2つ以上の素因数を含むときは{a,b}は決まりませんよね("^ω^)・・・ >>233
330=2*3*5*11
70=2*5*7
gcd(330,70)=10
lcm(330,70)=2310
30=2*3*5
770=2*5*7*11
gcd(30,770)=10
lcm(30,770)=2310
共通でない素因数がどちらから来たのかという情報が消えてしまうから >>231
(1 + 1/n)^(2n+1) < {1 + 1/(n-1)}^(2n-1),
g_n = (1 + 1/n)^(n +1/2)は単調減少。
エレ解スレ(2011.2).68-69
(2+x)log(1+x)+(2-x)log(1-x)< 0,
(1+x)^(2+x)・(1-x)^(2-x)< 1,
不等式スレ第9章.203 >>226
cos(10)cos(50)cos(70)=(√3)/8,
http://www.youtube.com/watch?v=VOC9xMq3JJg
sin(20)sin(40)sin(60)sin(80)= 3/16,
http://www.youtube.com/watch?v=zAiXPhPvWpc
--------------------------------------------------
Morrie's law
cos(20)cos(40)cos(80)= 1/8,
http://www.youtube.com/watch?v=u-Z5pBxW1u8
cos(20)cos(40)cos(60)cos(80)= 1/16,
http://www.youtube.com/watch?v=eBFtWCLw1-8
http://www.youtube.com/watch?v=JV7J7JrakeI
sin(10)sin(30)sin(50)sin(70)= 1/16,
http://www.youtube.com/watch?v=QGpDSulXqB8
------------------------------------------------
オマケ
sin(10)+sin(20)+sin(40)+sin(50)= sin(70)+sin(80),
http://www.youtube.com/watch?v=v4NW9kOifq0 >>226
下の3つは Morrie's law
cosθ= sin(2θ)/(2sinθ)
ですね。
別法
cos(36)cos(72)cos(144)cos(288)
= - cos(72)cos(144)cos(216)cos(288)
= -Π[k=1,4]cos(2kπ/5),
1 - T_5(t)=(1-t)(4tt+2t-1)^2.
cos(2π/7)cos(4π/7)cos(8π/7)
={Π[k=1,6]cos(2kπ/7)}^(1/2),
1 - T_7(t)=(1-t)(8t^3+4t^2-4t-1)^2. 〔点予想問題〕
平面上に有限個の点の集合をとる。
どの2点を通る直線も3つ以上の点を通る
を満たすならば、これらの点はすべて1直線上にある。