X
トップページ⇒数学
128コメント34KB
p進体とか標数pの体とかが全然身近に思えない
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/01(火) 12:09:56.27
身近に思えるとはどういうことか
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/01(火) 13:34:45.08
これはひどい
0005１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/01(火) 14:07:38.31
慣れだよ、慣れ
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/01(火) 14:16:46.46
「朝起きた時に，きょうも一日数学をやるぞと思ってるようでは，とてもものにならない。
数学を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚めたときは既に数学の世界に入っていなければならない。
どの位，数学に浸っているかが，勝負の分かれ目だ。数学は自分の命を削ってやるようなものなのだ」
0009１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/02(水) 00:02:11.56
>>1
ガロア体でググってごらん
0011１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/02(水) 01:38:46.94
有限体の位数はp^nに限られる
全ての位数p^nの体は同型であって、GF(p^n)と表記される
GF(p^n)はGF(p)のn次ガロア拡大であって、GF(p)を素体として含む
有限体は情報処理数学の基礎原理を構成する
0012１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/02(水) 05:58:03.65
数学専攻で優秀でも、やっぱり抽象的すぎて肌に合わんってやつはいくらでもいる。
アメリカじゃあ学部数学専攻summa cum laudeで大学院他専攻なんていっぱいいるし。
0013狢 ◆yEy4lYsULH68
垢版 |
2013/10/02(水) 09:16:04.42
>>12
日本人は目の前の現実にしか興味が無い人が多い。だから概ねは数学には向かないでしょう。
殆ど全ての日本人にとって必要なのは「道具としての数学」でしかなく、従って『学問とし
ての数学』ではないですね。だからそんな人達に対して「数学を理解せよ」というのは無理
な要求ですね。

だから日本ではかなり無駄な事をしてるんじゃないですかね。文科省はきちんと認識すべき。

狢
0015１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/02(水) 23:50:13.44
カントールは逆で大学で物理をやっていたらしい
0016１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/03(木) 00:13:23.99
とりあえず、まだ誰も、
p進体について書いてない件。
いや、あったか。「これはひどい」が。
0018１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/04(金) 15:23:05.00
Q_pで微分方程式論でやられてるような事やろうって人もいて
なんでそんなことを？と思ったりもする
0020１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/04(金) 19:20:57.94
同じ完全不連結局所コンパクト空間でも
フラクタル集合とは全然勝手が違ってめんどい
0026１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/10/31(木) 00:44:18.17
流石にもう知られてる
0027１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/03(日) 11:47:19.54
BdRってR上の半径dの開球？
0029１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/07(木) 01:33:16.28
そんな抽象度が高く応用の効きすぎるものに直接手を出すよりは
個々の使い方の例に触れながら共通のパターンとして感じ取ろう
だんだん新しい応用でも流れの見当がつくようになってきて習得
0030１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/27(木) 13:11:45.14
良スレ
0033１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/27(木) 17:27:48.23
p進体が身近に思えないとか >>1 は精神発達上問題がある
0034１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/27(木) 17:48:58.88
田口雄一郎先生（加藤和也先生のお弟子さんです）も、
数といえば整数や有理数のように数直線に上に並んでいるものだ
という固定観念を幼いころに持ってしまうのは問題なのではないか、
小さな子供にもp進数を教えるべきなのではなかろうか、
というようなことを述べられていますね。

以下の文章は『数学セミナー』1996年4月号に
田口先生が書かれた文章からの抜粋です。

『私は子供のころ数と言えばみな「数直線」の上に並んでいるものと
ばかり思っていた。若い頃にこのような杓子定規なイメージを持つこと
は発達心理上問題があるのではないか。p進周期の体 BdR については
近頃人口に膾炙しているから、天与のものと思っておられる方もあるい
は多いかもしれない。 しかしながら歴史的には、指数函数の周期 2πi
やアーベル函数の周期を 含むところの体 C がそうであったように、
BdR とて「発見」されねばならなかったのである。本稿では、p進数体
Q_p を BdR の(全ての自己同型による) 固定部分体として「定義」した
ことにするというありがちな反則技を自粛し、 昔ながらの素朴な
アプローチを懐古する。』
0035１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/27(木) 17:51:51.22
>>3
p進体の標数はo
0036１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/27(木) 17:53:46.65
>>34
くっそわろたｗｗｗ
数学が世界の全てになってしまって周囲が見えてないんだな、こいつはｗ
0037１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/27(木) 18:07:28.84
いつの間に BdR が人口に膾炙してたんだ・・・
日本語で書かれたp進周期環の教科書すらまだ出版されていないというのに・・・
0040１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/27(木) 20:04:53.94
p-進体　p-進複素数体　p-進多元体
超準p-進体　超準p-進複素数体　超準p-進多元体
超現p-進体　超現p-進複素数体　超現p-進多元体
0043１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/28(金) 07:01:25.40
p進体に相当する物理現象って何かある？
例えば虚数が実在するかと聞かれたら、波や量子力学があるけれど。
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/28(金) 07:32:03.82
超限基数 trancefinite_cardinal_number
超限序数 trancefinite_ordinal_number
超限序数
準超実数 superral_number
超実数 hyperreal_number
超現実数 surreal_number
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/28(金) 09:41:31.63
>>43
加藤和也は「心の動き」はp進的な物理現象だと言っている
0052１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/29(土) 02:15:07.71
>>51
索引と目次を見てみたけど、どこに載ってるのかわからんかった。
どの本のどのページに載ってるん？
0053１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/29(土) 02:16:57.44
打ち間違えた
× どの本のどのページに載ってるん？
○ その本のどのページに載ってるん？
0057１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/29(土) 03:35:19.15
ネットに落ちてた pdf を眺めてみたんだけど
よくわからない変な環の Witt ベクトル全体のなす環と整数環を
テンソルして、それを係数環とする p^-1 を変数とする多項式全体
のなす環を意味不明な写像の kernel を N 乗したもので割って
それの逆極限とったものの商体が BdR・・・？
意味不明だ・・・。。。
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/30(日) 15:40:32.42
BdR の定義がわけわからん。
っていうか BdRって何のために導入されたものなの？
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/02(火) 05:55:56.42
>>61
C⊃R⊃Q⊂Qp⊂BdR
0067１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/02(火) 08:32:18.03
>>66
BdR って「ビードラーム」って読むらしいから関係あるんだろうね
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/02(火) 09:49:36.38
BdRは体なの？
0071１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/02(火) 10:37:03.67
>>70
構成ときに最後に商体を取ってるから体。
0072１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/02(火) 13:27:41.16
へー
0073１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/02(火) 15:20:44.90
おいおい、いつからお前ら BdR とかいっちょまえに言うようになったんだ
0076１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/02(火) 23:37:06.04
絶対ガロア群と BdR、どっちの方がよりでかい？
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/03(水) 20:57:07.09
>>77
CとC_p全部をまとめたもの。
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/03(水) 21:51:42.30
>>79
ない。なぜなら俺が作ったものだから。
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/03(水) 22:44:31.89
名前を付けようよ。Cdeleとか。
0083１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/03(水) 23:04:00.33
>>82
いいな！！それ！
おっしゃ、ここに宣言しよう。

Q_pの代数閉包の完備化 C_p と複素数体 C の
制限積 C×ΠC_p （ただし、pは素数全体を動く）を
Cdele（クデール） と名付ける。

概念考案者は俺、命名者は >>82 な。
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/03(水) 23:14:41.38
>>83
名前はそれでいいとして、どう使うかだよなあ。
Cdeleは環だけど商体をとっても
⊃B_dRとかにはならないんだろうか。
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/03(水) 23:44:21.70
↓このツイートを思い出した。

Iwao KIMURA　@iwaokimura
加藤先生が曲面の類体論を構成したときに，ウデールという用語を
使おうとして伊原先生にたしなめられた，という噂を聞いたことが
ありますが，真偽はいかに．
15:17 - 2011年6月22日

加藤文元　@FumiharuKato
@iwaokimura 加藤先生本人から聞いた話し（もう10年以上前ですが）
では、K_2イデールを考えたときに「ウデール」と呼んだそうです。
伊原先生云々の話しは聞かなかったように記憶してます。
12:29 - 2014年3月30日
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/04(木) 21:17:21.14
ツデールはツンデレな女の子。
ナデールは色黒で可愛い女の子。
モデールはスタイルの良い女の子。
009290とは別人
垢版 |
2014/12/05(金) 21:28:30.91
ほらまた　戦争かい？
ほらまた　戦争かい？
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/21(日) 15:52:45.01
どんなものかはともかく、何をしたいかってのは
アルキメディアンの代わりにp進体を使ってみよう以上の目的ってあるの？
0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/22(月) 01:40:17.65
グロタンディークが夢みた神秘関手の理論を完成させるため
っていうのがp進表現を導入する目的の一つ
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 15:32:46.10
B_crismas
0101１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 19:33:45.50
>>94
B_crisはクリスタリン・コホモロジ―に
自然に出てくるので、それでdivided power
を使うという構成になっている。
B_stはそれよりもデカイ周期環だが、
B_crisにTate曲線から生ずるガロワ表現を
パラメーターとして加えれば、新しい周期環
が得られるだろうという期待によって生まれた。
安直にC_pでテンソルしてもガロア作用
が貧弱すぎて(Tate-Senの定理)ホッジ理論の類似が
作れない。p進では不分岐表現は狭すぎるのが理由。
それでこういう複雑な構成が必要になった。
Fontaineが10年近く没頭して得られた
成果だから、単純でないのは仕方がないかも。
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 19:42:58.39
p進の主目的は、ガロア作用、
ホッジ・フィルトレーション、
フロベニウス作用、モノドロミー作用などの
付加構造が備わったベクトル空間を見つける事。
構造がそれだけ豊かであれば、色々な
情報が引き出せる。p進ホッジ理論を
知りたいのであればアーベル多様体の
場合をまず勉強すればいいと思う。
0103１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 21:03:40.64
>>101-102
ありがとうございます。
そういう付加構造が備わったベクトル空間を見つけることでなにか嬉しいことがあるのでしょうか？
また、アーベル多様体の場合を勉強するにあたってお勧めの教科書などがあれば教えて欲しいです。
0104１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 21:23:02.23
>>1
中学２年の連立一次方程式みたいに
みかん、りんご、合わせて何個、合計金額何円、
みかん、りんご、それぞれ何個買ったか、という身近な例で説明しろという事か
0105１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 23:17:34.70
>>103
例えば、Ramanujan予想を考えればよいと思う。
モジュラー形式に付随するガロワ表現を見ると、
２次行列のトレースや行列式に重要な情報
が含まれている。モジュラー形式のような
非線形なものをガロア表現を通して線形代数化
することで、それなりに見通しが良くなる
（と言っても十分複雑かもしれんけど）。
モジュラー形式を考える理由はテータ級数、
Eisenstein級数とか数論的に重要な情報を含んでいる。
それと代数多様体のエタール・コホモロジーから
大量にガロア表現を作ることが可能になったので
p進の理論が必要になったというのが歴史的な背景。
アーベル多様体の場合だったら、Mumfordでも良いし、
Milneのノートがホームページに転がってたはず。
あとはTateのp-divisible group。
周期環の原典(B_HTというやつ)である
Tateの古典理論からやったほうが近道かも。
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 23:19:24.75
数学板にしては珍しく有意義なスレ
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/24(水) 23:33:21.72
>>103
複素多様体のHodge理論だと、
H_dRはH_singにQ上Cをテンソルすると同型になる。
これがde-Rhamの定理。これの類似をp進体上の多様体で考えたい。
p進複素数と呼ばれるC_pとテンソルすれば良いのでは？
という単純な考えが浮かぶ。
しかし上でも述べたように、C_pのTateひねりC_p(i)の
ガロア作用が豊富でないので、B_HT、B_dR、B_cris、B_stが必要。
そうは言ってもC_pは出発点として非常に重要な周期環。
エタール・コホモロジーから作られるガロワ作用を何としても
理解したい。そこでコホモロジーとC_pとをテンソルすると
Tateひねりの直和という非常に単純なガロワ表現に分解される。
これはFaltingsによって証明されているけど、得られる情報は
まだ不足している。p進は複雑に見えるけど後は慣れるしかない。
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 00:45:02.17
>>105
テータ級数やEisenstein級数とかが含む数論的に重要な
情報って例えば具体的にどのようなものなのでしょうか？

>>107
よくCとBdRが対比されているのを見聞きするのですが
複素のp進版の類似を考えるモチベーションは何なのでしょうか？
いまいちその重要性がわかりません・・・。
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 01:12:20.96
数論を少し勉強した学生が「絶対ガロア群は数論的に重要な情報を含むから大事なんだぜ〜」とか「○○と○○のアナロジーすげぇｗ」とかドヤ顔で言っているのをたまに見かけるが、
「それって具体的にどんな情報を含むの？」「そのアナロジーを考える理由はなに？」と質問するとマトモな返事が返ってこない。
聞きかじったことを受け売りで言っているだけで重要性を全く理解していないというのがほとんど。
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 02:23:48.30
>>110
古典的にはテータ級数はルジャンドル辺りが考えた、
与えられた自然数を平方数の和で表す問題があって
それに対するモジュラー形式としてテータ級数を
考える。モジュラー形式ではよくある話だが、
一見すると一致するか判らない二つのモジュラー形式を
比較する為に、モジュラー形式が作るベクトル空間を
トレース公式やRiemann-Roch
などを用いて計算する方法がある。志村先生の本に
そういう計算方法がのっている。トレース公式は
Poissonの和公式から発展した。
0114１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 02:32:54.33
>>110
絶対ガロア群そのものを考えるのは難しいので、
ガロア群の各素点に対して局所化したものを
考える。Qの絶対ガロワ群は可換からは程遠いが、
局所化(局所体)したガロア群は必ず可解群となる。
そこでmod pした有限体のガロア群と分岐群からなる
完全列を考えると、大抵のガロワ表現では分岐群が
自明に作用している事が知られている。
そこではフロベニウス元に対するトレースがモジュラー形式
のq展開や楕円曲線の有理点の個数とも関係して、
不思議な関係を与えている。Qの絶対ガロワ群を
生成する原子のようなものがフロベニウス元だと
考えればよい。でもQのガロワ群は判らないことばかり。
複素共役以外の位数有限な元も余り見つかっていない。
0115１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 02:52:02.84
>>110
本当はZ上でホッジ理論を考えたいのだが、それは
今の段階では難しい。Z上で駄目ならZ_p上でやるのが
現在の数論幾何の方向だと思う。誰もまだ最終形を知らず、
専門家であるKedlayaさんもそういう方向で模索している。
彼は現在普及している周期環の定義の改良を試みている。
B_dRなどが一見して判り難いのは深い所に
理由があるかもしれない。確かに「p進周期とは？」
という問いかけも明確な答えは無く、2πiの類似がp進複素数"t"
であるという類似の話をしても判った様で判らないと思う。
自分はこういう話を10年以上も考えているが、未だに
良く判らないしまだまだ理解が浅いと思う。
勉強して違和感を感じたときに、完成した理論を
鵜呑みにするのではなくKedlayaさんのように
自分なりの理解の仕方を発見するのがベストだと思う
(実行は難しいかもしれないが)。
それとZ上とC上の大きな違いはZ上で考えることは
integralな構造(Z-加群ないしは格子)を考える事に相当する。
これもCとB_dRの違いを考える上でヒントになるかも。
良く理解できないという事は、実は自分流の数学を
発見する上で大切な事だと思う。
0116１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 03:04:38.80
>>110
最初からB_dRなどを考える前に、
最も簡単な例である1次元のガロア表現を
考えると良い。この場合にはQ上のガロア群に対して
p進円分指標と呼ばれるものが構成できるので、
それのフロベニウス元の計算から始めれば良い。
それが終わればGL_2の話に移行する。Q上の楕円曲線には
Qのガロワ群が作用しているので、そこから自然に
ガロワ表現ができる。フロベニウス元の特性多項式、
その次に・・・という風に具体例から始めると色々計算できて面白い。
0117１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 03:15:05.05
>>113-116
ご丁寧なお返事、ありがとうございます！
とても勉強になりました！

>>116
ちょうど現在 類体論を勉強しているところなので
まずは1次元のガロア表現を考えてみようと思います。
いつか B_dR のことなどを理解してみたいです。
本当にありがとうございました。
0118１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 03:16:54.38
>>110
最後にEisenstein級数だが、具体的に書くと
複素平面の格子上の関数という表示を持つ。
簡単な計算で定数項にゼータ関数が登場する。
Eisenstein級数から出てくる不思議な恒等式が
山のようにあるのだが、こういった話を扱う為には
ある種の代数の問題に翻訳する為にヘッケ作用素が必要になる。
MordellがRamanujan予想の一部を解決する為に考えたのが始まり。
Eisenstein級数は具体的な表示が可能と言う利点が大きい。
0119１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/25(木) 03:22:27.96
>>117
どうしても判らなければ身近に
訊ける人が居れば良いけれど、一番良いのは
自分の頭でウンウン唸って計算して考えること。
本も沢山あるけれど、結局これしか方法がないと思う。
自分も未だに判らない事だらけで、判らないから
我流で研究を続けているというのが本音。
寝とぼけているので今宵の講義はこれにて終了！
0124１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/02/02(月) 19:55:15.35ID:iWrVjzVB
>>86
@_Capila
ウデールの定義 （1976年12月7日の加藤和也先生の講演
「有限体上の一変数函数体を剰余体とする類体論」の記録より）
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiliCcAAmaq4.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiF8CMAAopFV.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiQ4CMAAj9Z2.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOih_CUAA4GRZ.jpg
10:06 - 2014年12月26日
https://twitter.com/_Capila/status/548540349593825282
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/03/22(火) 23:05:00.76ID:6heFWRKt
これは良スレ。
ラノベみたいなスレタイだな。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニューススポーツなんでも実況