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539コメント307KB

円周率について語り合おう【π】

0374１３２人目の素数さん
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2020/11/11(水) 07:54:46.74ID:rE2Lzr4n
√3 = 1 + (1/2) 1.1^4 = 1.73205
√2 = 1 + 0.8^4
π = √3 + √2 = 2 + (1/2) 1.1^4 + 0.8^4 = 3.14165
0375１３２人目の素数さん
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2021/01/11(月) 20:58:07.90ID:K30v1vz8
>>346
π^2 = (3 + 14/99)^2 = 9 + 28/33 + 1/50
　= 10 - 5/33 + 16/(23･33) = 10 - 3/23
　= 9.86956522

π^2 = (3 + 14/99)^2 = 9 + 28/33 + 1/50
　= 10 - 5/33 + 23/(33^2) = 10 - 142/(33^2)
　= 9.86960514
0376１３２人目の素数さん
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2021/02/09(火) 01:38:02.38ID:aNPXJPqr
>>363

φ = √(π/a)　より
π = aφ^2,
π - a - √(aπ) = 0,

0 = (π-a)^2 - aπ
　= π^2 - 3aπ + aa
　= (π - 3a/2)^2 - 5aa/4,

π = aφ^2 = (3+√5)a/2 = 1.8 + √1.8
0377１３２人目の素数さん
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2021/02/24(水) 07:16:48.92ID:L9PmkNI0
>>373
下から2行目
　π = (√3 + √2) {1 - 1/(4√3･π^4)},
を4乗して
　π^4 = (√3 + √2)^4 {1 - 1/(√3･π^4)},
これを解いて
　{π/(√3 + √2)}^4 = (1 + √(1 - 196/√3 + 80√2))/2 = 0.994072927

∴　π = (0.994072927)^(1/4) * (√3 + √2)
　　　= 0.998514926 (√3 + √2)
　　　= 3.14159194
0378１３２人目の素数さん
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2021/02/24(水) 11:47:18.26ID:L9PmkNI0
a = 0.00727079154　に対して
π = √(3-a) + √(2-a) = 3.141591246

1/π = √(3-a) - √(2-a) = 0.318310029
π + 1/π = 2√(3-a) = 3.459901275
π - 1/π = 2√(2-a) = 2.823281217

(a = 1 - exp(-α),
α = 0.00729735257 は Sommerfeld の微細構造定数)
0380１３２人目の素数さん
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2021/03/08(月) 00:34:35.06ID:Vhpg2AFq
　π ≒ (20/9)√2 = 3.1427
　π ≒ (64/27)(√2 - 4/45) = 3.14151
から
　π = (64/29){(77/72)√2 - 4/45} = 3.14159216
0382１３２人目の素数さん
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2021/03/22(月) 11:17:29.31ID:2Gk1S8LQ
(3 + √5)(√7 + √11) = 31.2194 > π^3,
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,

π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
　= 3.141587
0383１３２人目の素数さん
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2021/03/23(火) 15:22:00.04ID:MzfOWIoL
π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3)]^{1/6} - 8/(571√385)
　= 3.1415926518
0384１３２人目の素数さん
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2021/03/24(水) 13:40:02.74ID:IfA1byk6
tan(1) < π/2.

(略証)
　1 = π/3 - δ,
　δ = 0.04719755
加法公式で
tan(1) = tan(π/3 - δ)
　= {tan(π/3) - tanδ}/{1 + tan(π/3)tanδ}
　= (√3 - tanδ)/{1 + (√3)tanδ}　　　
　< 3/(√3 + 4 tanδ)
　< 3/(√3 + 4 δ)
　< 3/(1.732 + 4・0.047)
　= 3 / 1.92
　= 25/16
　= 1.5625
　< π/2,
0385１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 00:27:23.80ID:SrEB3Bbk
>>381
√2+√3を使う規則性のあるπの公式
π = (2/3)/(a/p^2 - (1/2)^3*(a+28)/p^10 + ((1*3)/(2*4))^3*(a+56)/p^18 - ((1*3*5)/(2*4*6))^3*(a+84)/p^26 + ...),
p=√2+√3, a=7-2√6
0387１３２人目の素数さん
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2021/05/10(月) 03:57:25.26ID:VYXl7vUC
円周率が3.05以上であることを示せ。
0388１３２人目の素数さん
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2021/05/10(月) 08:40:28.05ID:i71w++EK
単位円に内接する正８角形の半周の長さを求める。

(1,0) と (0,1) の間にある頂点を (x,y) とすると
　x=y>0, xx+yy=1　より　(x,y)=(1/√2, 1/√2) となる。

一辺の長さは
　L = √{(1/2) + (1-1/√2)^2} = √(2-√2),
ところで
　99^2 - 2･70^2 = 1　より　√2 < 99/70,
　4･70･41 - 107^2 = 31　より　41/70 > (107/140)^2,
したがって
π > 4L
　= 4√(2-√2)
　> 4√(2 - 99/70)
　= 4√(41/70)
　> 4(107/140)
　= 107/35
　= 3 + 2/35
　> 3.05
0389１３２人目の素数さん
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2021/05/10(月) 09:54:28.80ID:VYXl7vUC
正解っすね。他の解き方としては三角関数を用いたり、ルート2の近似値を直接用いて解く方法もあったり。

これは有名なので知ってるかもしれないんですが、円周率が3.14であった最後の年に東大で出された受験問題。
円周率を3とした文科省への抗議とされてる有名な問題。
0390１３２人目の素数さん
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2021/05/10(月) 14:18:16.20ID:i71w++EK
抗議したの誰だろうね。
変な人だね。
初めは概略だけにして、徐々に詳しく…というのが常道だと思うけどな。
0391１３２人目の素数さん
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2021/05/11(火) 16:05:10.04ID:VBOZGeRT
行列が終わる年にも、まさかの大問2つまるごと行列だったりしてるから、東大は不満を試験にぶつけてくるw
0392１３２人目の素数さん
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2021/05/12(水) 02:02:17.42ID:fnlN4uCH
今知ったんだけど行列なくなったんか
高校レベルの行列って数式の表記の話でしかないし、削る程のものでもないと思うんだけどな
0393１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/12(水) 03:35:30.61ID:neRJ/Ivd
行列が消えて複素数平面が１５年ぶりくらいに復活。
複素数平面はかなりえげつないので、行列のままなら受験生がかなりラクなんやけどね。
0395１３２人目の素数さん
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2021/05/12(水) 19:03:35.54ID:IZH4czht
単位円に内接する８角形の半周の長さを求める。
　(1,0)　(12/17, 12/17)　(0,1)　(-12/17, 12/17)　(-1,0)
に頂点があるとする。
一辺の長さは
　L = √{(12/17)^2 + (1-12/17)^2} = 13/17,

一方、
　2･(12/17)^2 = 288/289 < 1,
∴　頂点および辺は、円周上または内側にある。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4 L
　= 4･(13/17)
　= 52/17
　= 3 + 1/17
　= 3.0588…
0397１３２人目の素数さん
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2021/05/13(木) 14:18:54.92ID:8UTdjNZU
単位円に内接する12角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(41/48, 1/2)　C(1/2, 41/48)　D(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = CD = (1/48)√(7^2 + 24^2) = 25/48,
　BC = (41/48 - 1/2)√2 = 17/(24√2) > 1/2,
ここで
17^2 - 2･12^2 = 1,　17 > 12√2　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 2BC
　> 25/12 + 1
　= 3 + 1/12
　= 3.0833…

もう秋田？
0399１３２人目の素数さん
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2021/05/21(金) 03:17:13.44ID:KGpEFrOG
>>398の式は微妙に間違っているらしい
正しくは
ln(640320^3+744+196884/(-640320)^3+(744*196884+21493760)/(-640320)^(3*2))/sqrt(163)
0400１３２人目の素数さん
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2021/05/21(金) 03:32:02.45ID:KGpEFrOG
>>330
>>332-335
結局q^2の所で使う係数を間違えていたから精度が上がらなかったのでしょう。
ムーンシャインとかj-不変量の係数をそのまま突っ込んでも駄目で項を増やしていくと
複雑な計算が必要になってくるようです。

A178449 - OEIS:
https://oeis.org/A178449

↑に係数が乗ってるけど、どうやって計算しているかはよく分からん
0401１３２人目の素数さん
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2021/05/21(金) 03:34:35.39ID:KGpEFrOG
>>399
とりあえずごちゃごちゃしているのでシンプル？に
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6)/163^0.5

更に精度を上げると
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9)/163^0.5
0402１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/21(金) 03:38:36.69ID:KGpEFrOG
さらにもっと精度を上げると
pi-ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9+217940004309743/640320^12)/163^0.5

q^3以上計算はかなり重たくなってきます
0404１３２人目の素数さん
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2021/05/21(金) 12:59:32.78ID:TFPFi7kq
>>351
1年以上経っても変わっていないな。
誰か新たに計算しているのかな？
0405１３２人目の素数さん
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2021/05/22(土) 02:31:02.14ID:2I2pJBiI
>>402
なんか精度の挙動がおかしいと思たら
https://oeis.org/A178449
は近似で求めた係数で√163にしか使えない(4次以上が誤り)

q-展開からきちんと求めた係数は以下の通り

[1,744,-196884,167975456,-180592706130,
217940004309744,-282054965806724344,
382591095354251539392,-536797252082856840544683,
772598111838972001258770120,
-1134346327935015067651297762308,
1692324738742597705005194275401888,
-2558136060792026773012451913035887538,
3909566534059719280565543662082528637552,
-6030806348626044568366137322595811547663800,
9377648421379464305085605549750143357652168640,
-14683413510495912973021347501907744913788055440950]

この修正した係数をa[n]とすると
Log[640320^3 + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/640320^(3n)]/√163
で誤差が10^(-244)以下

Log[t + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/t^n]/√1435,
t = (108 (2+√5)^10 (9559+2212√5+1315√41+425√205)^2 - 12)^3
で誤差が10^(-827)以下になる
0406１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/22(土) 06:17:54.98ID:2I2pJBiI
ちょっと強引なπの1000桁近似をしてみた

近似1(j-invariant, ε<10^(-1055)):
Log[t+744-196884/t+167975456/t^2-180592706130/t^3+217940004309744/t^4-282054965806724344/t^5+382591095354251539392/t^6-536797252082856840544683/t^7+772598111838972001258770120/t^8]/√6307,
t = (27 (4+√17)^16 (1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2 - 12)^3

近似2(eta function, ε<10^(-1109)):
Log[u+24-276/u+8672/u^2-344658/u^3+15390480/u^4-737293560/u^5+37026698304/u^6-1923581395371/u^7+102518730258488/u^8-5573961072647172/u^9+307952836032412512/u^10-17239165406937117618/u^11+975709822658417655696/u^12]/√3502,
u = (2 (a+√(a^2-1))^2 (b+√(b^2-1))^2 (c+√(c^2-1)) (d+√(d^2-1)))^6,
a = (23+4√34)/2, b = (19√2+7√17)/2, c = 429+304√2, d = (627+442√2)/2
0410１３２人目の素数さん
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2021/05/23(日) 18:11:27.73ID:Rgq7GNBu
>>397
単位円に内接する16角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(12/13, 5/13)　C(9/13, 9/13)　D(5/13,12/13)　E(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = DE = (1/13)√(1^2 + 5^2) = (1/13)√26 > (1/13)(203/40),
　BC = CD = (1/13)√(3^2+4^2) = 5/13,

ここで
　13^2 - 2･9^2 = 7,　26・40^2 - 203^2 = 391　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 4BC
　> (4/13)(5 + 203/40)
　= (4/13)(13･31/40)
　= 3.10

あきたこまち
0412１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/23(日) 23:59:13.83ID:ZD3C59m+
>>410
ちょっと変わった解答を２つ

１．
正五角形の辺と対角線の比は黄金比φなので sin18°=(1/2)/φ=(√5-1)/4
したがって
π > (半径1の円に内接する正10角形の辺の長さの和)/2
= 10sin18°= (5/2)(√5-1) > (5/2)(2.23-1) = 3.075


２．
半径1の円の1/12円弧の長さは弧長の定義より
∫[0,1/2]√((√(1-x^2))'^2+1)dx = ∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
ここで
(1-x^2)(1+(1/2)x^2)^2 = 1-(3/4)x^4-(1/4)x^6 < 1
より
1/√(1-x^2) > 1+(1/2)x^2
したがって
π = 半径1の円の1/2円弧の長さ = 6∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
> 6∫[0,1/2](1+(1/2)x^2)dx = 6(1/2+(1/6)(1/2)^3) = 25/8 = 3.125
0413１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/24(月) 18:33:29.43ID:9RQsrxas
ちょっと変わった解答（π>3.05の証明）の続き

3．(不完全18角形近似)
sinθ = 25/144, 0<θ<π/6
を満たすθを評価する
sin(3θ) = 3sinθ-4(sinθ)^3 = 373175/746496 < 1/2
より
3θ < π/6
したがって
π > 18θ > 18sinθ = 25/8 = 3.125


4．(変形マチンの公式)
sinα = 5/13, tanβ = 1/239, 0<α<π/2, 0<β<π/2
を満たすα,βを評価する
tanα = (5/13)/√(1-(5/13)^2) = 5/12,
tan2α = 2(5/12)/(1-(5/12)^2) = 120/119,
tan(2α-β) = (120/119-1/239)/(1+(120/119)(1/239)) = 1
より
2α-β=π/4
したがって
π = 4(2α-β) > 4(2sinα-tanβ) = 4(10/13 - 1/239) > 3.06


5．(少し精度の良い解答)
0 < ∫[0,1] x^6 (1-x)^4/(1+x^2) dx
= ∫[0,1](-4+4x^2-4x^4+5x^6-4x^7+x^8 + 4/(1+x^2))dx
= -1979/630 + π
より
π > 1979/630 > 3.1412
0414１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/25(火) 04:13:20.37ID:XLMZavte
6.　(B.C.Carlson　*)
　θ > 3/(1/sinθ + 1/sinθ + 1/tanθ) = 3sinθ/(1+1+cosθ),
を使う。　　　　　　　　← 牛刀
　sin(π/4) = 1/√2,　　cos(π/4) = 1/√2,
を入れれば
　π > 12/(2√2 + 1) = 12{(2√2 - 1)/7} = 3.13445

　sin(π/6) = 1/2,　　cos(π/6) = (1/2)√3,
を入れれば
　π > 18/(4+√3) = 18{(4-√3)/13} = 3.14023

　sin(π/12) = √{[1-cos(π/6)]/2} = (√3 - 1)/√8,
　cos(π/12) = √{[1+cos(π/6)]/2} = (√3 + 1)/√8,
を入れれば
　π > 36 (√3 -1)/(1 + 4√2 + √3)
　　= 36 {(-14 -22√2 -√3 +26√6)/193}
　　= 3.14151

*)　相加平均, 相乗平均は θより大きく(Snellius-Huygens)、
　調和平均はθより小さい。
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/26(水) 11:55:28.55ID:FSz293J2
7. (オイラー積)

マクローリン展開
　sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - ……
と
オイラーの無限乗積表示
　sinθ = θ Π[k=1,∞] {1 - (θ/kπ)^2}
　　　　= θ - (θ^3)/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2 + ……
の θ^3 の係数を比べて
　1/3! = 1/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2,

∴　ππ/6 = Σ[k=1,∞] 1/k^2
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/k^2
　　> 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/(k(k+1))
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] {1/k - 1/(k+1)}
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/4
　　= (1/6)(29/3)
　　> (1/6)(961/100)
　　= (1/6)(31/10)^2,

∴　π > 31/10 = 3.1
0418１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/26(水) 21:38:20.86ID:ituUwv7A
それじゃ面白くない。七進無理数とかニ進無理数とかあるとおもろいのに
0419ジョア
垢版 |
2021/05/26(水) 21:45:49.81ID:vi8Ozw0u
http://oeis.org/A217575
http://oeis.org/A217571
http://oeis.org/A217570

　　/) ／　／
( @ @ )／
ヽ▽ノ 神と交信して数列を教えてもらった。
∪▼∪ 世紀の大発見だぜ。
∪∪ それから円周率が3.14じゃないと聞いた。 東日本大震災3.11もPiらしいよ。
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/26(水) 23:30:11.40ID:MRjQmuU+
何進数かに依存する数に興味があるなら
レピュニットとかを調べてみては？
0421１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/27(木) 00:44:27.36ID:tjNRhoRA
>>417
そうなんだ初めて知った
でも基数の意味を考えてみると何進数でも有理数無理数の結果が変わらないのは当然だな
どう証明すればいいかは分からんけど
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/27(木) 05:34:59.51ID:Xhkx6eJi
>>419
　floor(sqrt(n)) = m
とおくと
　n - mm は {0,1,2,…,2m} のいずれか。
これを組分けして
　{0, 1, …, m-3}　　　　… A217570
　{m-2, m-1}　　　　　… A217571
　{m, m+1, …, 2m-1}　　… A217575
　{2m}
0423１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/28(金) 03:28:54.17ID:ruRmT9/V
円周率をπ 3.16...をτ 6.28...に変更した方が良いと主張するものがいるが、

sum_(k=0)^∞ ((-1)^k x^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!) = 0 x = 0,±π,±2π,±3π...
ζ(2) = π^2/6
Γ(1/2) = (π)^0.5

やっぱπ 3.16..の法が良いわ。
τ 6.28..だと2πが計算でよく出てくるけど少し単純になるという以外は変更する理由はないな
0424１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/29(土) 09:38:05.24ID:dnOy5LOE
т と τ をつなげば少し短くなる (π) という以外は変更する理由はないな…
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/26(土) 08:51:51.40ID:U0t83wXJ
バーゼル問題
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,

(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k　　(k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角　∠AOP_k = (2k-1)/R,　　　(k=1,2,…,n)
弦　　　AP_k = 2R sin((k-1/2)/R)
その(-2)乗の和は
　Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4　　… (*)
n→∞ とすれば
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
　(終)

(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で AP_k が次々と求まることを
活用するのがミソ。
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/27(日) 03:39:26.32ID:movehHSD
θ = (k-1/2)π/(2n)　として

1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
　= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,

逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/28(月) 03:59:25.18ID:xyswE62i
f(θ) = 3/(sinθ)^4 - 2/(sinθ)^2
として半角公式を使うと
f(θ) = (1/16){f(θ/2) + f(π/2-θ/2)}
これを繰り返して
8 = f(π/4) = (1/16^n)Σ[k=1,n] f(π(2k-1)/2^(n+2))
ここでn→∞とすると
π^4/96 = Σ[k=1,∞] 1/(2k-1)^4
したがって
ζ(4) = (π^4/96)/(1-1/2^4) = π^4/90

この証明も初等幾何に置き換えられるはず
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/15(木) 01:54:36.21ID:82XqystW
π/4 = Π[p:odd prime](p/(p-(-1)^((p-1)/2)))
= (3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(4*4*8*12*12*16*20*24*…) (Euler)

π/2 = Π[n=1,∞]((2n)^2/((2n-1)(2n+1)))
= (2*2*4*4*6*6*8*8*…)/(1*3*3*5*5*7*7*9*…) (Wallis)

π/(4√3) = Π[p:prime](p/(p+(-1)^(p mod 3)))
= (2*3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(3*4*6*6*12*12*18*18*24*…)

2π/√3 = Π[p:prime](p/(p-(-1)^(p mod 3)))
= (2*3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(1*2*4*8*10*14*16*20*22*…)

2π/(3√3) = Π[n=1,∞]((3n)^2/((3n-1)(3n+1)))
= (3*3*6*6*9*9*12*12*…)/(2*4*5*7*8*10*11*13*…)

π/3 = Π[n=1,∞]((6n)^2/((6n-1)(6n+1)))
= (6*6*12*12*18*18*24*24*…)/(5*7*11*13*17*19*23*25*…)

π(1+√5)/10 = Π[n=1,∞]((10n)^2/((10n-1)(10n+1)))
= (10*10*20*20*30*30*40*40*…)/(9*11*19*21*29*31*39*41*…)
0430１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/21(水) 15:09:59.16ID:8i3AUhl1
円周率は50兆桁までしかないのかよ？
0431１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/21(水) 21:42:08.37ID:+B5gcO49
実際のところ、3で十分だろ
0433１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/22(木) 15:08:26.76ID:spiV1yZ3
見えませんか？
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/23(金) 17:20:35.85ID:0r0jYmIG
暇に任せて、正2^n角形の週長を求めて極限が2牌になることを確かめたが
これ高校生の範囲かな
例の sin x /x -> 1 は証明は別にして数３辺りでは習うの？
0437１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/26(月) 10:44:45.06ID:i0xNy21R
円周率の公式を発見した
π=(360/θ*(√(2-2*√((COS2θ+1)/2))))/2
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/02(月) 17:56:49.28ID:Ti86kAO8
いろんな重要な函数の特殊値がπを与えるという話はたくさん見たが
>>436　は見たことない俺は未熟者か
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/02(月) 20:34:44.48ID:Cqw/57h9
近いだけでしょ
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/03(火) 01:49:36.72ID:oHtSF1y6
π^2/6 - Σ[n=1,10000] 1/n^2 = 0.0000999950001666666663333333357...
π^4/90 - Σ[n=1,10000] 1/n^4 = 0.0000000000003332833366666666500000002222222172222223888888812111115777777416...
0442１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/03(火) 02:45:05.65ID:oHtSF1y6
√(π/log10)Σ[n=-10,10] 10^(-(πn/log10)^2)
= 1.200200002000000200000000200000000002000000000000200000000000000
200000000000000002000000000000000000200000000000000000000
200000000000000000000002000000000000000000000000200000000000000000000000000
2000000000000000000000000000...
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/08(日) 12:01:27.99ID:irXKlgbL
>>441
正の奇数mに関して以下の連分数が成り立つ
π^2/6 - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^2 = 2/(m + 1/(3m + 2^4/(5m + 3^4/(7m + 4^4/(9m + ...)))))
0445１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/09(月) 14:13:41.40ID:NZmauP6c
>>443
連分数展開式の続き
ζ(3) - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^3 = 2/(m^2+1 - 4/(3m^2+2^4-1^4 - 4*2^6/(5m^2+3^4-2^4 - 4*3^6/(7m^2+4^4-3^4 - 4*4^6/(9m^2+5^4-4^4 - ...)))))

m=1の場合:
π^2/6 = 2/(1 + 1/(3 + 2^4/(5 + 3^4/(7 + 4^4/(9 + ...))))),
ζ(3) = 2/(1+1 - 4/(3+2^4-1^4 - 4*2^6/(5+3^4-2^4 - 4*3^6/(7+4^4-3^4 - 4*4^6/(9+5^4-4^4 - ...)))))
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/10(火) 07:40:00.99ID:ZR5rPGjL
>>441
まとめ
π^2/6 - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^2 = 2P[m], m:odd
π^2/8 - Σ[n=1,m/2] 1/(2n-1)^2 = (1/2)P[m], m:even
ここで
P[m] = 1/(m + 1/(3m + 2^4/(5m + 3^4/(7m + 4^4/(9m + ...)))))

ζ(3) - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^3 = 2Q[m], m:odd
7ζ(3)/8 - Σ[n=1,m/2] 1/(2n-1)^3 = (1/4)Q[m], m:even
ここで
Q[m] = 1/(m^2+1 - 4/(3m^2+2^4-1^4 - 4*2^6/(5m^2+3^4-2^4 - 4*3^6/(7m^2+4^4-3^4 - 4*4^6/(9m^2+5^4-4^4 - ...)))))

ζ(4)以降がうまく示せない
0447１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/10(火) 19:16:59.00ID:ZR5rPGjL
>>240 >>243
近似式を作ってみた

97^(272/1087) = 3.14159265426...
166^(335/1496) = 3.141592653314...
(35 + 8716/44629)^(271/843) = 3.1415926535897932381736...
(410508 + 757/3675)^(189/2134) = 3.141592653589793238462561...

>>442
類似式
√(π/log10)Σ[n=0,10] 10^(-(π(n+1/2)/log10)^2)
= 0.4000999990000000999999999000000000009999999999999
000000000000000999999999999999990000000000000000000999999999999999999999
000000000000000000000009999999999999999999999999000000000000000000000000000...
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/18(水) 03:16:20.82ID:pEGGj4j0
>>240
π^3 = √(31^2 + 12/31 + 2/31^2)
　= 31 + 6/31^2 + 1/31^3 - 18/31^5 + ････
　= 31 + 187/31^3,
π = (31 + 187/31^3)^(1/3) = 3.14159267

>>409
e^π - π + 9/10000 = 19.99999997919
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/18(水) 12:53:09.53ID:wy2xn/Q5
富岳の研究者も検証に参加するんだろうか？
そうなると検証にかかった計算時間が気になるな。
下記は50兆桁での情報。計算に303日、検証では17.2時間とか。


January 29, 2020 January 29, 2020 Blog Timothy Mullican Pi 50,000,000,000,000
Compute: 303 days

Verify: 17.2 hours

Validation File

4 x Intel Xeon E7-4880 v2 @ 2.5 GHz

315 GB

48 Hard Drives
0455１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/18(水) 13:12:15.88ID:wy2xn/Q5
NASAでは円周率を何桁まで使っているのか？
https://gigazine.net/news/20201004-nasa-pi-calculation/
＞「存在し得る最大のサイズ、宇宙の大きさで考えてみましょう。宇宙の半径は約460億光年あります。もし半径460億光年の円の円周を、最も単純な原子である水素原子の直径0.1ナノメートルほどの誤差しか生じないよう正確に計算するには、円周率は何桁が必要でしょうか？」とレイマン氏は問いかけます。

＞レイマン氏によると、答えは「小数点以下39桁か40桁が必要」だとのこと。
0456１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/18(水) 13:37:25.05ID:wy2xn/Q5
1年半かかって、50兆桁、22.8兆桁更新、62.8兆桁になったとか。

ということは予測では来年中あたりに100兆桁とかかな？
素直に計算時にもスパコンを使えばもっと早いだろうな。
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/18(水) 13:41:34.38ID:wy2xn/Q5
みんなy-cruncherを使っていて、
スパコン用redhatlinuxみたいに機種ごとにバージョンリビジョン管理、
つまり計算者ごとにバージョン管理されていて、
それで順番にやっているんだろうな。
0458１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/18(水) 13:48:20.76ID:wy2xn/Q5
62兆8318億5307万1796桁

10^62831853071796

・・・結構でかい値だなｗ
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/19(木) 14:49:07.46ID:ai461ByQ
円周率を62兆8000億桁まで計算して世界記録を更新したコンピューターのスペックとは？
https://gigazine.net/news/20210818-davis-pi-62-trillion/

＞DAViSで使われたコンピューターには、32コア・64スレッド・周波数2.9GHz・バースト周波数3.4GHzで・L3キャッシュ128MBのAMD EPYC 7542が2基と、
＞1TBのRAMが搭載されており、
＞さらにOSはUbuntu 20.04がインストールされているとのこと。
＞また、円周率の計算プログラムには、Googleやマリカン氏が世界記録を更新した時にも使われたy-cruncherが使用されました。

＞DAViSは「SSDは時間経過とともに性能が低下する」という判断から、16TBの容量を持つ7200RPMのHDDが38台搭載したJBODを使用。
＞これはメモリが非常に高価であることを考慮したためで、38台のうち34台はスワップ領域に使われており、データストレージ自体は510TBだそうです。

AMD EPYC 7542 ×2 合計64コア
1TBメインメモリ
Ubuntu 20.04
y-cruncher
16TB7200RPMHDD38台(608TB)JBOD

次(来年情報開示めど？)はこのスペックを超えないといけないわけだ。
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/20(金) 16:15:46.72ID:b3DIZ5yH
　チャチだな、
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/20(金) 17:19:50.78ID:7yoVGUr+
今のEPYCだと×1で64コアかな？

次の計算に使われるのはEPYC 7763で2チップ128コア256スレッドとかなのかもな。

計算に時間がかかるので、今現在で最新の条件で計算を開始しても、
結果はやはり1年後とかになるんだろうな。

世界最高スパコンとかは円周率の計算に使わないよな？
他にも使う必要があるからとか理由はたくさんあるだろう。
0462１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/21(土) 02:45:35.01ID:IUCwH+1u
>世界最高スパコンとかは円周率の計算に使わないよな？
バブル時代では普通に世界最速のスパコン使って日米で記録競争をしていた
理由はスパコンのハードとソフトのバグを発見するためだったらしいが
一部のシミュレーション屋さんからは顰蹙を買っていた
0463１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/01(水) 01:42:30.37ID:QE+KHoOa
22/7から始まる公式
π = 32Σ[n=0,∞] (165+902n+1533n^2+820n^3) (4n)! (4n+4)! / ((-4)^n (8n+8)!)
「面白い問題おしえて～な 38問目」 - 57 より

初項のみで
π ≒ 22/7 (=3.14285)
初項とn=1の和で
π ≒ 47171/15015 (=3.14159174)

1項足すごとに1/1024ずつ精度がよくなる
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/26(火) 21:11:00.47ID:yHWX4IjJ
>>449
X=π^3　とおくと
　X^3 - 31 X^2 - 6 = 0,
　X = {31 + [31^3 +81 +9√(2･31^3 + 81)]^(1/3) + [31^3 +81 -9√(2･31^3 +81]^(1/3)} /3
　　= 31.0062409821

　X^(1/3) = 3.141591448
0467１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/07(火) 20:34:17.32ID:dR/3Un3K
富士通のFEFSストレージを使えるシステムがあれば、
1TB毎秒で書き込みできるらしい。
最大8EBまでらしく、最大容量を34時間で書き込み可能らしい。

円周率の計算は、ストレージの容量と速度がネックになって、計算時間がかかっていると思われる。
0468１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/07(火) 21:04:01.65ID:dR/3Un3K
＞「FEFS」はオープンソース・ソフトウェア「Lustre」をベースに、独自機能を追加。「Lustre」の約1～3倍となる

とあり、Lustre(ラスター)の限界が8EBなので8EBが限界となっているようである。
ちなみに>>459にあるように、62兆桁で608TB(18TBHDD38台)必要だったとなっているらしい。
なので8EBだと13000倍桁程度記録可能なようだ。62兆×13000桁である。

検証作業に富岳などのスパコンが使われているようだが、
ストレージ容量の限界が一般PCやサーバでは厳しいようで、
計算速度の格差が顕著である。

FEFSがどんなシステムに接続できるか分からないが、
少なくともPrimeHPC FX1000で使えるようだ。
風の噂ではストレージだけで8EBで70億円程度であるようだ。
スパコン自体を最低構成すると1億数千万円らしい。

どこかがこういったシステムで円周率を計算すると、
検証用システムを8EBより大きく作らないといけないはず。

なので、ぜひやるべきである。
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/07(火) 21:08:09.14ID:dR/3Un3K
現在の円周率の計算はすでに始まっているはずで、
その結果は100兆桁程度と目される
(現在の普及品のHDDの最大容量は18TBのままで、試作品付近を使って増えても24TBとかだろう。)。
結果が出るのは来年あたりだろう。

その次くらいで、8EBに挑戦してもらいたいものである。
0470１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/07(火) 21:40:48.27ID:dR/3Un3K
また風の噂だが、NANDメモリらしい。
1TB/sという基準も越さないといけない可能性がある。

ここはまだ未解決問題である。

日本国内ではNECくらいしか他にスパコンを作っていないわけだが、
NECあたりはどう考えるんだろうな？
作って売らないといけないし、撤退されたら国としては困るし。
国内1社だけでは問題があるはず。
あとキオクシア。サムスンにNANDメモリの価格・最大容量等で勝っていない。
その結果NANDメモリはサムスンなどを使っているようであり、
ここは問題である。

容量を増やしたい理由は、2テトレーション6の計算結果の全体を格納するストレージが欲しいという理由である。
0471１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/21(土) 10:46:06.67ID:36EWhT1K
＞ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式
＞BBP公式は、 先行する桁を計算せずにπ の十六進法のn桁目（つまり π の二進数の4n桁目）を直接求めるスピゴット・アルゴリズム（英語版）を与える。

１６進法表示で可能なのはどういう性質が理由なんだろ？他の進法では不可能なことは証明されてるの？
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/11(土) 18:01:39.61ID:CjHt7Zv4
class number 8で最大のChudnovsky-type公式

1/π = (12/√(-c^3))Σ[n=0,∞] (6n)!(a + b n)/((3n)!(n!)^3 c^(3n)),
a = (4+√17)^25(
15(10706172588588797811207632964+316246973541710028622817919√17+
1470575343675026487245288512√53+43447274721676141401070816√901)+
32(215831966344869226218118439+429880202247658638391278237√17+
29631605640593798570229213√53+59052272333799198669129544√901)√((27+4√53)/7)),
b = 126(4+√17)^25(
375(528821905988138292054309876+102455141235366220322349627√17+
72639171112096946188240640√53+14073321233034045099041408√901)+
1664(33621971227940718361362137+10208280417257981599588416√17+
4618307493516795625377339√53+1402221324056339034797002√901)√((27+4√53)/7)),
c = 12-27(4+√17)^16(1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+
(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2

これは1項足すごとに105桁増える
0476John Titor
垢版 |
2022/06/19(日) 13:55:39.16ID:GewZfHVg
円周率の求め方
2^1*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^1)+1))
2^2*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^2)+1))
2^3*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^3)+1))
2^4*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^4)+1))
2^5*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^5)+1))
2^6*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^6)+1))
2^7*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^7)+1))
2^8*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^8)+1))
2^9*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^9)+1))
2^10*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^10)+1))
2^11*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^11)+1))
2^12*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^12)+1))
2^13*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^13)+1))
2^14*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^14)+1))
2^15*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^15)+1))
・
・
・
0477１３２人目の素数さん
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2022/06/21(火) 17:49:17.27ID:MEJK9JXD
πの計算式でarctan公式は有名だけどarcsin公式は聞いたことがないので強引に作ってみた
・π/2 = 6 arcsin(1/4) + arcsin(7/128)
・π/6 = 4 arcsin(1/7) - arcsin(239/4802)
ここに
arcsin(x) = x + (1/2)x^3/3 + (1/2)(3/4)x^5/5 + (1/2)(3/4)(5/6)x^7/7 +...

これ以上きれいな形にはならないみたい
0478１３２人目の素数さん
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2022/06/22(水) 15:28:43.97ID:uPaMwxxL
＞*√(2-2*√
なんか連続で描かれると、ゲシュタルト崩壊してくるな
0479１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/24(日) 23:24:01.97ID:JqQF2hZA
円周率はすでに10兆桁以上算出されているそうだが、いまだに割り切れない。直径も円周も限りがあり、円周率もどこかで終わりが来るはずたが...
0481１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/14(金) 11:15:01.21ID:QswUzKWx
>>479
＞円周率もどこかで終わりが来るはずたが...

いや円周率は永遠に近似が続くから、終わりは来ないよ。
その原因は、直線と曲線の長さの比を求めようとしているから。

曲線はいくら拡大して見ても曲線であり、直線とはならない。
比べることができない曲線と直線の比を求めようとすると、
曲線を微小区間に分解して、直線とみなした上で比べる他無い。

しかしそれはあくまでも近似でしかない。
そこでさらなる微小区間に分解して比べる。
しかしそれも近似でしか無い。

現在のコンピューターによる円周率を求める競争は、
この微小区間を無限に小さくする競争でしかない。

曲線はどこまで微小区間に分解してみても、
直線にはならないのだから、当然だといえる。
0484１３２人目の素数さん
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2022/10/19(水) 10:30:26.76ID:PC0a3RIi
ふつうのＭ進法による数字の表現は、Ｍが自然数の場合には
数字として0からＭ－１までのものを使う。
しかし、1進法ではあまりうまく行かない。
1（10進数）＝1（1進数）
2（10進数）＝11（1進数）
3（10進数）＝111（1進数）
。。。。
だが、0（10進数）をあらわすときには、””（1進数）と空なる表記が
必要になるが、空文字列を書くことは出来ない。しかたがないので
λ（1進数）と表すかあるいはλの代わりに0を使って0（1進数）と表さざるを
えないのではないだろうか。

演習問題
　なんとかして0進数表現を考えることはできるか？（配点5点）
0485１３２人目の素数さん
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2022/10/20(木) 17:44:00.91ID:BFQZM8qc
演習問題（配点、各5点）
1．
nが2以上の偶数である場合に、平面上で
　x^n + y^n = 1
で表される曲線の長さを求めよ。

2．
またnが奇数の場合に、平面上の第一象限（座標の値が負で無い領域）で
x^n + y^n = 1
で表される曲線の長さを求めよ。

3．
a が正の実数である場合に、平面上の第一象限で
　x^a + y^a = 1
で表される曲線の長さを求めよ。
0486１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/22(土) 13:17:20.79ID:FF5so5EL
0進数表現と言うと0の冪和で表すわけだが
0^0 = 1, 0^1 = 0 しか使えんから表せるのは 0 と 1 のみ
他の数は 1+1+1 とか書くしかないわな
0487１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/22(土) 18:55:43.11ID:wUAfJCo+
新たな無限小数ではない円周率を発見するために直径以外の線を考えてみたが
線分ではない接戦というものしか思いつかなかったので諦めた
0488１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/02(水) 18:16:51.76ID:OSM40hxL
半径と円周の4分の1どちらが長いか知っているか？
考えたことあるか？
常識か？
0489１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/02(水) 20:49:21.32ID:JxJ9jL9F
>>488
考えたことはなかったが
答えはすぐ出せた
0490１３２人目の素数さん
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2022/11/03(木) 08:53:19.73ID:0rCVd72l
>>489
自分で言ったんだが直径より円周の半分の方が明らかに長いんだから当たり前だろ
0491１３２人目の素数さん
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2022/11/03(木) 09:00:15.55ID:gp+SYmy2
>>直径より円周の半分の方が明らかに長いんだから当たり前だろ

円周率<4たから当たり前だといってもよいのではないか？
「円周率＝３だから当たり前」
という答えなら「気は確かか？」だろうが。
0492１３２人目の素数さん
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2022/11/03(木) 11:00:22.20ID:0rCVd72l
いや、扇形の弧の長さの方が短くなる時が来るな
この極限値を求められないか？
理学部数学科(卒)の三角関数の積分余裕でわかりますの俺より数学の理解力が遥かに高い天才たち
0493１３２人目の素数さん
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2022/11/03(木) 12:47:30.15ID:QhLe6/wD
>>492
「気は確かですか？」と言ってほしいわけ？
0495１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/03(木) 18:51:50.91ID:QhLe6/wD
>>494
何の曲率の定義？
0496１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/03(木) 19:24:08.01ID:Lcrz7KT1
兆芯、最大32コアのサーバー向けx86プロセッサ「開勝KH-40000」
https://pc.watch.impress.co.jp/docs/news/1452583.html

対中半導体包囲網の動きにより、中国も半導体に力が入りつつあるな。
結局、米国などは追い抜かれてしまうのではなかろうか？
日本は論外か。
台湾が中国によって呑み込まれたら、その後どうなるかなぁ。
0497１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/05(土) 14:19:53.92ID:mxwLEYrW
火薬の発明は中国だった
0498１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/05(土) 21:45:26.67ID:f2UsJm2E
火薬は如何にして見いだされたのだろうか？
偶然なんだろうかなぁ？2つのものを混ぜるというのなら
偶然はありえるが、3つのもの（硝石、硫黄、木炭）の粉が
偶然にきめ細かい粉として混ざることが起こるとすれば、
それは漢方薬として調合していて、という位の可能性しか
思い浮かばない。
0499１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/06(日) 09:02:01.85ID:wcZTKbBb
古代中国人は「火薬」なるものを求めた末に９世紀ついにそれを発明した、
というわけではありません。中国の人々、特に権力や栄華を極めた帝王たちが、
現世の栄華を未来永劫我がものにしようと「不老長寿」を求めたことに
そのきっかけがあります。
有名な話に「秦の始皇帝と徐福」の伝説があります。
秦の始皇帝が不老不死を求めて、数千人の童男童女を徐福に託し
東シナ海に船を出したという話です。
始皇帝のみならず漢の武帝も不老長寿の薬草を探させようと
仙山を目指して人を送りますが、いずれも失敗に終わりそのような場所が
見つかることはありませんでした。そこで探しに行くのはあきらめ、
神仙の術を身につけた方術士たち（方士・道士とも）に
不老長寿の薬を作らせることにしたのですが、こうしたことを数百年続けた結果、
中国の古代薬学や古代化学は意図せずして大きく発展し、
その結果として「火薬の発明」が待っていたのでした。

錬丹術に情熱を注いだ古代中国人
0500１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/08(火) 22:27:32.92ID:WGeOLT6A
「開円術」を最初に解説した中国の本は？
0501１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/10(木) 04:18:18.98ID:LjfsJVDy
硫黄と木炭の粉であれば、敵をいぶし出すために、毒ガス兵器として
発見されていてもおかしくない。そこに硝石を付け加えるという
ところが、何から来たのかだ。中国には天然の硝石がとれるところが
あったのだろうか。
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/10(木) 06:29:11.25ID:CZluQWl+
>>501
古代中国人は「火薬」なるものを求めた末に９世紀ついにそれを発明した、
というわけではありません。中国の人々、特に権力や栄華を極めた帝王たちが、
現世の栄華を未来永劫我がものにしようと「不老長寿」を求めたことに
そのきっかけがあります。
有名な話に「秦の始皇帝と徐福」の伝説があります。
秦の始皇帝が不老不死を求めて、数千人の童男童女を徐福に託し
東シナ海に船を出したという話です。
始皇帝のみならず漢の武帝も不老長寿の薬草を探させようと
仙山を目指して人を送りますが、いずれも失敗に終わりそのような場所が
見つかることはありませんでした。そこで探しに行くのはあきらめ、
神仙の術を身につけた方術士たち（方士・道士とも）に
不老長寿の薬を作らせることにしたのですが、こうしたことを数百年続けた結果、
中国の古代薬学や古代化学は意図せずして大きく発展し、
その結果として「火薬の発明」が待っていたのでした。

錬丹術に情熱を注いだ古代中国人
0503１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/10(木) 19:11:18.37ID:1uZTZuo8
「開円術」を最初に解説した中国の本は？
0508１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/05(日) 07:24:03.41ID:x7LlvMyA
スターリングの公式にπが現れる意味について
一席ぶてる方はいますか
0510１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/30(日) 21:21:21.53ID:1LXFFOuE
>>509
女神さまに教えてもらったというπ^4≒2143/22の初等幾何による説明も次の文献にありますね
0511１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/05/01(月) 06:16:16.36ID:p/ko50Ej
(√43/6 - √(3/5))^(-1) ≒ 3.141594
(√67/6 - 19/√330)^(-1) ≒ 3.14159266
(√163/6 - 181/√10005)^(-1) ≒ 3.1415926535898
(√235/6 - √3(4+7√5)/√(22(15-2√5)))^(-1) ≒ 3.14159265358979324
・・・
代数的数で近似するときπよりも1/πの方がきれいな式になるようです
0513１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/05/24(水) 18:45:23.15ID:rQS+qEn3
>> 508
eも出てくるし、ガンマ関数の積とsinの関係もあるし、いっぱいあるでしょ
0515１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/05/27(土) 23:38:56.63ID:mVZupXb8
円周率（π）は、無限に続く小数であり、どのような有限桁数の数字を足しても、完全に割り切ることはできません。つまり、円周率によって割り切ることができるような整数は存在しません。

ただし、円周率に関するいくつかの特定の数学的関係式が存在するため、円周率と特定の数値の積や商が整数になることがあります。例えば、以下のような式が挙げられます。

・sin(π/6) = 1/2：ここで、π/6は30度を表し、sin(π/6)は正弦の値を表します。この式を変形すると、2とπの積が整数になります。すなわち、2πは整数になります。

・π^2 = 9.86960440109...：ここで、9.86960440109...は整数ではありませんが、π^2と10の積をとると整数になります。すなわち、π^2×10=98.6960440109...は整数になります。

しかし、これらの式は、円周率に対する特定の関係式に基づいており、円周率自体が完全に割り切ることができる数ではありません。
0516１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/05/27(土) 23:42:09.65ID:mVZupXb8
円周率は無限に続く小数であり、有限桁数の数字で完全に表現することはできません。しかし、円周率に対して特定の操作を行うことで、円周率を変形することは可能です。

例えば、円周率を有理数で表現することはできませんが、円周率を連分数として表現することができます。また、円周率に対してフーリエ級数展開を行うこともできます。

さらに、円周率の値を計算するアルゴリズムには、いくつかの方法が存在します。代表的なものとして、アルキメデス法やマチンの公式などがあります。これらのアルゴリズムを用いることで、円周率の値を有限の桁数で表現することができます。

つまり、円周率自体は変形できないものですが、円周率に対して特定の操作を行うことで、円周率を変形することができます。
0517１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/05/27(土) 23:49:06.11ID:mVZupXb8
これらの数学的関係式において、円周率と特定の数値の積や商が整数になることは、厳密な数学的証明に基づいています。そのため、これらの式は近似値ではなく、正確な値を表します。

ただし、円周率自体が無限に続く小数であるため、円周率を含む式によって得られた値が整数になる場合でも、その値を有限桁数で表現することは近似値になります。例えば、π^2×10=98.6960440109...という式で得られた値は、有限桁数で表現した場合には近似値になります。

したがって、数学的関係式によって得られた値は正確な値であり、円周率自体が無限に続く小数であるため、その値を有限桁数で表現する場合には近似値になることがあります。
0518１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/21(木) 03:03:12.20ID:LwY9KmhR
236桁まで暗唱できます
0522１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/08(木) 03:28:11.91ID:WVDgkbpB
a = 93^{1/3} = 4.530654896… とおく。

π^a - e^a = 86.000018881…

3991680/1468457 = 2.7182818428…
　　 271801/99990 = 2.71828182818…
　　　　2721/1001 = 2.7182817183

(86+(3991680/1468457)^a)^{1/a} = 3.141592589…
0524１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/19(月) 01:31:39.61ID:i9NBeKTO
93という数についてD=-4・93のときQ(√D)の類数が4でシンプルな4次代数的数近似
3036/(759√93 - 3112√3 - 963) = 3.141592653637...
が得られる

D=-4・793のとき類数は8で8次代数的数近似
131208/(11(2982√793 - 9399√13 - 3119√61) - 3√(2753883894+131778050√793))
= 3.14159265358979323846264338327950289234...
が得られる

虚二次体の類数リスト
mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html
0525１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/29(木) 03:37:29.00ID:EbxIixSJ
π = 3 + (g/2)*(√2)/10
　≒ 3 + (1 + α/2π)*(√2)/10
　= 3 + 1.001161409732888*(√2)/10,
ここに
　α = 1/137.03599909583　(微細構造定数)

free Lepton の g/2 値
　electron　1.0011596521813
　muon　　1.001165921
　tau　　　　　　?

かな。

高校数学の質問スレ_Part432 - 859
0526１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/02/29(木) 03:37:29.36ID:EbxIixSJ
π = 3 + (g/2)*(√2)/10
　≒ 3 + (1 + α/2π)*(√2)/10
　= 3 + 1.001161409732888*(√2)/10,
ここに
　α = 1/137.03599909583　(微細構造定数)

free Lepton の g/2 値
　electron　1.0011596521813
　muon　　1.001165921
　tau　　　　　　?

かな。

高校数学の質問スレ_Part432 - 859
0527１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/01(金) 09:12:38.15ID:ACMCgpFL
ガウスは類数公式を得ていたそうだね
0528１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/01(金) 14:53:21.36ID:owkTRQy8
>>524
kwsk
0529１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/03(日) 17:33:34.67ID:T4KfkjL6
　(π - 2)^8 + (π - 8/3)^8 + (8/3)^8 = 10(2^8),
∴　π = 3.1416
0530１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/05(火) 18:47:14.04ID:OBanBkG4
>>528
虚二次体の判別式が D=-4n (nは1より大きい奇数)のとき
R = [1 - 3/(π√n) - 24Σ[k=1,∞] k/(exp(2πk√n)-1)]/[1 - 24Σ[k=1,∞] (2k-1)/(exp(π(2k-1)√n)+1)]
は代数的数(次数はQ(√D)の類数)になりπの近似は
π ≒ 3/((1-R)√n)
になる(ラマヌジャン 1914)

ラマヌジャンはn=25を評価し有名な近似
π ≒ 9/5+√(9/5)
を得て、ボールウェイン兄弟はn=93を評価して >>524 の近似を得た

このような近似は無数にできて、近似式でなくて等式(ラマヌジャン・佐藤級数)を
得ることも可能
en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan-Sato_series
0531１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/12(火) 08:50:08.36ID:Yyb1kPVu
>>512
過去ログ倉庫
0532１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/12(火) 19:32:12.54ID:ugEEIIkh
>>484
0進数と言うからには数字は使えんな
数値を書くのに使うのは数字と小数点だから残りは小数点しかない
小数点を並べて適当に表現すれば？
0533１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/15(金) 09:32:37.27ID:8QDMDRfQ
ラマヌジャンがK3曲面を発見した視点というものが
重要
0534１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/24(日) 22:43:50.30ID:hk1dPYgr
３次曲面
0535１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/10(水) 17:26:04.45ID:7hbpGiP4
円周率計算の世界記録が3月14日に更新されたようです
en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_π
記録更新前は100兆桁、更新後は105兆桁で計算環境は以下の通り
CPU: 2×AMD Epyc 9754 (256 cores)
メモリ: DDR5 1.5TB
ストレージ: 36×Solidigm P5316
OS: Windows Server 2022
ソフト: y-cruncher
計算時間: 約70日

計算のボトルネックはストレージで
ストレージを大きくするとこの記録はすぐに塗り替えられるそうです

時間をもてあましている君たちもチャレンジしてみてはいかがでしょうか
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 10:52:54.29ID:sgJI4piv
226位
0539１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/23(木) 23:47:20.82ID:uHgRfu0/
>>517
数学的関係式の解説、ありがとうございます！確かに、円周率と特定の数値の積や商が整数になるのは、厳密な数学的証明に基づいていて、その値自体は正確ですよね。
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