私が発見した定理

[0001 １３２人目の素数さん 2011/12/06(火) 14:49:19.57]

タイトルのとおり、自分が発見した定理とその証明を書いてください

[0002 １３２人目の素数さん 2011/12/06(火) 15:02:47.14]

1＋1＝1

[0003 あんでぃ ◆Q5DeCEGA5s 2011/12/06(火) 18:34:15.77]

あんでぃ

[0004 １３２人目の素数さん 2011/12/15(木) 01:00:32.20]

悲しい現実

[0005 １３２人目の素数さん 2011/12/15(木) 22:52:42.23]

三辺の長さa､b､cの三角形の面積をSとしたとき、

S＝1/4√2(a^2+b^2)c^2-c^4-(a^2-b^2)^2

この前授業中に気が付いた

[0006 １３２人目の素数さん 2011/12/16(金) 07:40:45.65]

>>5が天才過ぎる件
高校生にしてはやりおる

[0007 １３２人目の素数さん 2011/12/17(土) 12:45:54.26]

天才がいると聞いて

[0008 １３２人目の素数さん 2011/12/18(日) 01:12:25.57]

>>5
ほほう……これはなかなか

[0009 １３２人目の素数さん 2011/12/18(日) 08:23:35.97]

ヘロンヘロン

[0010 １３２人目の素数さん 2011/12/18(日) 08:37:17.19]

中学の時、添削問題の通信欄に、その式と同等の式を書いたことがあったな
「これこれをxと置く」というテクニックを教わって、三角形に応用して導いたんだよな

[0011 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 00:48:49.67]

ああ、ヘロンの公式を一つの式に纏めたのか
使い所が無いのは御愛敬か？

[0012 KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 2011/12/19(月) 20:33:49.41]

三辺の長さがa,b,cの三角形の面積はab√(1-((a^2+b^2-c^2)/(2ab))^2)/2 になることに気がついた.
これを簡単にすると√(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)/4になる.

[0013 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 22:39:28.84]

眠い。

[0014 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:15:25.31]

√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2
証明
数列
a_1=√2
a_(n+1)=√(2+a_n)について
�@0<a_n<2
∵
n=1は明らか
0<a_(n-1)<2
なら、
0<2+a_(n-1)=(a_n)^2<4
よって
0a_n)^2<4
0<a_(n>a_n
∵
a_2=√(2+√2)>√2=a_1
a_n>a_(n-1)とすると、
{a_(n+1)}^2-(a_n)^2=-(a_n-1/2)^2+9/4

[0015 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:21:49.32]

√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2
証明

数列
a_1=√2
a_(n+1)=√(2+a_n)について

�@0<a_n<2
∵
n=1は明らか
0<a_(n-1)<2なら、
0<2+a_(n-1)=(a_n)^2<4
平方根は常に正だから、
0<a_n<2

�A0<a_n<a_(n+1)
∵
n=1はa_2=√(2+√2)>√2=a_1より成立
a_n>a_(n-1)とすると、
{a_(n+1)}^2-(a_n)^2=-(a_n-1/2)^2+9/4>0(∵�@)
a_nは常に正だから
a_n<a_(n+1)

よってa_nは増加列且つ有界で収束する。
n→∞でa_n=a_(n+1)より
(a_n)^2=2+a_n
これをといてa_n→2
つまりa_nの極限は2
したがってn→∞で、
a_n=√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2

[0016 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:27:28.97]

商の微分公式の別証

(u/v)'=(v'u-vu')/v^2
証明
y=u/vとすると、
u=vy.
積の微分公式より
u'=v'y+vy'
⇔
y=(u'-v'y)/v=(u'-v'u/v)/v=(v'u-vu')/v^2

[0017 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:31:42.92]

商の微分公式からの積の微分公式の導出

(uv)'=u'v+uv'
証明
y=uvとするとu=y/v
商の微分公式より
u'=(y'v-yv')/v^2
u'v^2=y'v-(uv)v'
y'=u'v+uv'

[0018 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:33:39.02]

>>16-17より
商と積の微分公式は互いに同値の関係にあることがわかる

[0019 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:45:48.90]

差分を利用した積の微分公式の証明

(uv)'=(uv)'=u'v+uv'
証明

u=u(t),v=v(t)
�冰=u(t+�冲)-u(t)
�况=v(t+�冲)-v(t)
とすると,
u(t+�冲)v(t+�冲)-u(t)v(t)=(u+�冰)(v+�况)-uv=uv+u�况+v�冰+�冰�况-uv
0<�冲<<1について�冰�况≒0であり
≒u�况+v�冰
よって
{u(t+�冲)v(t+�冲)-u(t)v(t)}/�冲≒u�况/�冲+v�冰/�冲
�冲→0で
(uv)=u'v+uv'

この差分という手法を知っていれば
教科書のような天才的な技法を使わなくても
だれでも積の微分公式を導出可能

[0020 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:51:31.99]

産業で終わる幾何級数の公式の証明
r≠1において
a+ar+ar^2+...+ar^n=a(r^(n+1)-1)/(r-1)
証明
因数分解の公式より
x^(n+1)-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^n)
⇔a(1+x+x^2+...+x^n)=a(x^(n+1)-1)/(x-1)

[0021 １３２人目の素数さん 2011/12/19(月) 23:56:26.28]

無限幾何級数の公式の別証
|r|<1において
1+r+r^2+...=1/1-r
証明
S=1+r+r^2+...とすると
rS= r+r^2+...
上式から下式を引いて
(1-r)S=1
∴S=1/(1-r)

[0022 １３２人目の素数さん 2011/12/20(火) 00:11:30.60]

>>15の手法を用いることにより、
√(2-√(2-√(2-√(2-・・・))))=1
√(6+√(6+√(6+√(6+・・・))))=3
√(6-√(6-√(6-√(6-・・・))))=2
√(12+√(12+√(12+√(12+・・・))))=4
√(12-√(12-√(12-√(12-・・・))))=3
…
√(n(n-1)+√(n(n-1)+√(n(n-1)+√(n(n-1+・・・))))=n
√(n(n-1)-√(n(n-1)-√(n(n-1)-√(n(n-1)-・・・))))=n-1

1+2/(1+2/(1+2/(1+...)))=2
-1+2/(-1+2/(-1+2/(-1+...)))=1
1+6/(1+6/(1+6/(1+...)))=3
-1+6/(-1+6/(-1+6/(-1+...)))=2
1+12/(1+12/(1+12/(1+...)))=4
-1+12/(-1+12/(-1+12/(-1+...)))=3
…
1+n(n+1)/(1+n(n+1)/(1+n(n+1)/(1+...)))=n+1
-1+n(n+1)/(-1+n(n+1)/(-1+n(n+1)/(1+...)))=n

[0023 １３２人目の素数さん 2011/12/20(火) 00:20:20.89]

e^ix=cosx+isinxより
z=a+ibとすると、
log(a+ib)=log|z|+log(e^iθ)=log|z|+iθ
(ただしθはcosθ=a/|z|sinθ=b/|z|)
つまり複素数を定義域とする対数関数は

値がひとつに定まらない！

[0024 １３２人目の素数さん 2011/12/20(火) 00:23:09.70]

a^ix=e^(ixloga)=(cosx+isinx)^loga
=cos(xloga)+ising(xloga)

[0025 １３２人目の素数さん 2011/12/20(火) 00:42:17.16]

z=a+ib,z'=a'+ib'の偏角をθ、θ'とすると
log_z z'=logz'/logz=(log|z'|+iθ')/(log|z|+iθ)
=(log|z'|log|z|+θθ')/|logz|+i(θ'log|z|-θlog|z'|)/|logz|

[0026 １３２人目の素数さん 2011/12/20(火) 00:48:56.67]

i^(1/n)はz^n=iなるz=a+bi
i^(m/n)=(i^(1/n))^m(n,m∈N)
i^r=lim(q→r)i^q(r∈R,q∈Q)
(ai)^b=(a^b)(i^b)

[0027 １３２人目の素数さん 2011/12/20(火) 00:57:29.04]

(a+bi)^(1/n)はz^n=a+biなるz=a'+b'i
(a+bi)^(m/n)=((a+bi)^(1/n))^m
(a+bi)^r=lim(q→r,q∈Q)(a+bi)^q

ごめん寝る

[0028 １３２人目の素数さん 2011/12/24(土) 00:30:46.55]

定理というのとは違うかもしれませんが最近不思議なことに気がついたんですよ

正方形を思い浮かべてください
１辺の長さが１ｃｍの正方形が目の前にあると思ってください
この正方形の面積は１ｃｍ２ですよね

ところが対角線の長さが求められないんですよ
対角線は確かに存在しています
ですからその長さもはっきり求めることができるはずなんです

いろいろ考えたのですが小数や分数で表すことができないんです
もちろん整数にならないのははっきりしています
ね、不思議でしょう

皆さんも考えてみてください
ひょっとするとすごいことになるかもしれませんよ

[0029 ハンムラビ昇天 ◆R/MlPTLub6 2011/12/25(日) 02:16:12.44]

>>28

なにが言いたいんだお前

[0030 １３２人目の素数さん 2011/12/25(日) 14:47:24.57]

>>28
それをルート２と定義したのがすうがくなんですけど

[0031 28 2011/12/26(月) 02:49:24.85]

>>30
もう先に考えた人がいたのですか
残念です
でもそんなにガッカリしていないです
というのは今は直角三角形について研究しているのですが
どうやら３辺の長さには何か関係があるみたいです
もう少しハッキリすればここに書きますので期待して待っていてください

[0032 １３２人目の素数さん 2011/12/26(月) 14:13:43.10]

つまらん

[0033 宇宙人 2011/12/26(月) 18:42:58.32]

k=1〜n とし、二項係数をＣ(n, r)とするとき、

婆^3 = Ｃ(n+1, 4) + 4* Ｃ(n+2, 4) + Ｃ(n+3, 4)
婆^4 = Ｃ(n+1, 5) + 11* Ｃ(n+2, 5) + 11* Ｃ(n+3, 5) + Ｃ(n+4, 5)
婆^5 = Ｃ(n+1, 6) + 26* Ｃ(n+2, 6) + 66* Ｃ(n+3, 6) + 26* Ｃ(n+3, 6) + Ｃ(n+4, 6)

[0034 宇宙人 2011/12/26(月) 18:49:15.95]

書きくさしで投稿してもうた。もう１回！

k=1〜n とし、二項係数をＣ(n, r)とするとき、

婆^3 = Ｃ(n+1, 4) + 4* Ｃ(n+2, 4) + Ｃ(n+3, 4)
婆^4 = Ｃ(n+1, 5) + 11* Ｃ(n+2, 5) + 11* Ｃ(n+3, 5) + Ｃ(n+4, 5)
婆^5 = Ｃ(n+1, 6) + 26* Ｃ(n+2, 6) + 66* Ｃ(n+3, 6) + 26* Ｃ(n+4, 6) + Ｃ(n+5, 6)
　 :
Ｃ(n, r)の前の係数はEurerian Numbers.

[0035 宇宙人 2011/12/28(水) 12:04:05.21]

オイラリアン数の逐次計算法

　　　　　　　　１　　　１　　　　　　　　　　　　算　式
　　　　　　　　　２，２
　　　　　　１　　　４　　　１　　　　　　　　　　４＝１×２＋１×２
　　　　　　　３，２　２，３
　　　　１　　　１１　　１１　　１　　　　　　　１１＝１×３＋４×２
　　　　　４，２　３，３　２，４
　　１　　　２６　　６６　　２６　　１　　　　　２６＝１×４＋１１×２、　６６＝１１×３＋１１×３
　　　５，２　４，３　３，４　２，５
１　　　５７　３０２　３０２　　５７　　１　　　５７＝１×５＋２６×２、　３０２＝２６×４＋６６×３
　　　　　　　　　　　　:

[0036 １３２人目の素数さん 2012/01/13(金) 00:05:04.73]

a,b,cの長さの三辺を持つ三角形について。
aとbがなす角を二等分する線は辺cを ac/(a+b)とbc/(a+b)に分ける。
図で書いて強引に代数で解いた。

[0037 １３２人目の素数さん 2012/01/13(金) 00:13:04.38]

v=初速度
t=時間
a=加速度

vt+(1/2)at^2　等加速度運動する物体の何秒後の進んだ距離を求める公式
秒毎に区切って相加平均を求めていくと

vt+ (0+a)/2 + (a+2a)/2 + (2a+3a)/2 + (3a+4a)/2・・・・(t-2+t-1)/2 + (t-1+t)/2
=vt+ a{1+1+2+2+3・・・t-1+t-1+t}/2=vt+at^2/2= vt + (1/2)at^2
この求め方を先生に見せたら感激された。うれしかった

[0038 １３２人目の素数さん 2012/01/13(金) 00:16:39.70]

ちなみに三角形を３辺だけで面積を求める公式、
サインコサイン使わないでも代数だけで導ける。

[0039 １３２人目の素数さん 2012/01/13(金) 00:29:41.52]

あ、今思ったらサインコサイン使うのも媒介変数の類だから代数の部類か。

[0040 １３２人目の素数さん 2012/01/14(土) 00:06:13.80]

すでにあったらごめんけど、

円に内接する四角形の辺の長さをa,b,c,dとすると、
aとb、cとdの部分にわける対角線の長さxは
x＝√{(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)}
となる。

まぁ美しいと思っただけで使う機会は全くないけどな

[0041 １３２人目の素数さん 2012/01/14(土) 00:46:52.98]

でも、そんな式を見るたびに、この世界はうまくできてるなーって関心するよね

[0042 あぼーん NG NG]

あぼーん

[0043 あんでぃはショートの小田和正 ◆AfX9iez2fA 2012/02/05(日) 14:40:36.87]

あんでぃ

[0044 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2012/02/05(日) 16:37:21.46]

>>40
成程

併せて覚えたい公式

ヘロンの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

ブラーマグプタの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

ブレードシュナイダーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

双心四角形
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%BF%83%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2

[0045 KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 2012/02/05(日) 17:23:47.48]

nを1以上の自然数とする.
各文字が0または1で長さnの文字列で辞書式順序にすべてひとつずつ並べたときにm+1番目に来るものをb(m)とする.
文字列sが文字列tを含むとは,文字列sのある部分から初めて文字列tの文字数-1だけ文字列sの後続部に進みその行程にある文字列がtになることとする.
文字列sと文字列tのKM20120205合成とは,文字列sが文字列tを含むときは文字列sとし,
それ以外で文字列tの最初の何文字かが文字列sの最後の部分に等しいときは,その最長の一致部分を文字列tから除き残りを文字列sに追加したものとし,
それ以外のときは文字列sに文字列tを追加したものとする.
文字列sをはじめは空の文字列とし変数mをはじめは0とする.
文字列sとb(m)のKM20120205合成をしたものを新たに文字列sとし,mを1増やし,m<2^(n-1)ならばこの文の最初に戻りm=2^(n-1)ならば,文字列sの最後にb(2^(n-1))を追加したものを新たにsとする.
こうしてできた文字列sの長さは2^n+n-1で,0<=m<2^nのすべての自然数mに対してsはb(m)を含む.
またこのような性質を満たすもののなかで辞書式順序に並べたときsは最初に来る.

[0046 猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY 2012/02/05(日) 18:56:09.96]

>>45
消滅するまで追い詰めるさかいナ。

猫

>45 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2012/02/05(日) 17:23:47.48
> nを1以上の自然数とする.
> 各文字が0または1で長さnの文字列で辞書式順序にすべてひとつずつ並べたときにm+1番目に来るものをb(m)とする.
> 文字列sが文字列tを含むとは,文字列sのある部分から初めて文字列tの文字数-1だけ文字列sの後続部に進みその行程にある文字列がtになることとする.
> 文字列sと文字列tのKM20120205合成とは,文字列sが文字列tを含むときは文字列sとし,
> それ以外で文字列tの最初の何文字かが文字列sの最後の部分に等しいときは,その最長の一致部分を文字列tから除き残りを文字列sに追加したものとし,
> それ以外のときは文字列sに文字列tを追加したものとする.
> 文字列sをはじめは空の文字列とし変数mをはじめは0とする.
> 文字列sとb(m)のKM20120205合成をしたものを新たに文字列sとし,mを1増やし,m<2^(n-1)ならばこの文の最初に戻りm=2^(n-1)ならば,文字列sの最後にb(2^(n-1))を追加したものを新たにsとする.
> こうしてできた文字列sの長さは2^n+n-1で,0<=m<2^nのすべての自然数mに対してsはb(m)を含む.
> またこのような性質を満たすもののなかで辞書式順序に並べたときsは最初に来る.
>

[0047 １３２人目の素数さん 2012/02/11(土) 19:37:11.27]

x^2-(x^2-1)=x+(x-1)

[0048 １３２人目の素数さん 2012/03/31(土) 18:14:49.03]

sage

[0049 １３２人目の素数さん 2012/04/17(火) 08:34:26.87]

age

[0050 １３２人目の素数さん 2012/07/24(火) 18:15:49.87]

n•sin(π/n)<π<n•tan(π/n)
nは3以上の整数

[0051 １３２人目の素数さん 2012/07/26(木) 16:04:16.33]

「すべての人間はハゲである。」

証明
・髪の毛0本の人はハゲである。
・髪の毛n本の人がハゲであるとすると、髪の毛n+1本の人もハゲである。
ゆえに帰納法によってすべての人がハゲであると証明された。

[0052 描者は痴漢 ◆ghclfYsc82 2012/07/27(金) 08:54:57.14]

描

>462 名前：１３２人目の素数さん ：2012/07/26(木) 23:54:17.40
> >>461
> 専門学校生が
> 「あらやだイケメンに触られて気持ちいい」
> って思ってたら通報されなかっただろうに
> 気持ち悪いおじさんになるために努力を積み重ねてきた結果
> 「キモ顔のおじさんが、気持ち悪く触ってきて超キモい」
> って思わせることに成功し逮捕されたんだよね
> 努力を実らせた立派な人だと思う
>
>
> 努力して痴漢で逮捕される夢を叶えた描者さんはただ者じゃないと思います
> すばらしい
>

[0053 132人目の素数さん 2012/07/27(金) 23:14:43.49]

√1＝1

√4＝2

√9＝3

√16＝4

√25＝5･･･

√がかかってる数は、
3、5、7、9、11、13、15･･･
と増えていく。

[0054 真描vs偽描 ◆ghclfYsc82 2012/07/28(土) 00:27:01.99]

描

訂正：
懲戒免職　→　懲戒解雇

>懲戒免職になって、ここまで堕ちたか。
>昔から現実を見れていなかったが、さらにひどくなっているようだ。
>現実と願望が乖離して、願望を現実だと思い込んできているね。
>
>勝手なことを言ったり実行したりしているから、助けてもらえずクビになる。
>ほんとに人生大損だね。
>

[0055 １３２人目の素数さん 2012/08/04(土) 09:05:07.58]

(3x-4)^2＋(x-1)(x-4)^2＝x^3

[0056 描は猫ですかね？ ◆ghclfYsc82 2012/08/07(火) 19:56:11.15]

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

[0057 １３２人目の素数さん 2014/07/26(土) 08:50:43.77]

1〜5位のことでは、ぼかして書くと、ある日いって『◯◯はこーしててほしーな』
って言ったら次の夜にいったとき本当にそうしてくれたこととか…
準備をしてくれてたってことかな。それがすごい恥ずかしいけど嬉しかったー
っていうのがあって。意味解んねぇ…ってことでOK

もうほとんどあーいうのでは満たされ尽くしたから、今更欲しがる必要もないし
なんかお互い一面ではすごい子供っぽいとこがあって、それがうまく共鳴したり、
幸せな面々をつくれた気がするけど、いつかなくなるものだもんね

大人になったら消えるようなもの、そういう期間限定的な感じもあるから、
良いなーって思えるところもあるし…だから本当にもう一度最後に辿り着くときは、
良いものでお願いします

そうなるためにがんばりたいって思えるし
時間やペースはまちまちながら、ひとつひとつ良くしていくね

それから保身や自分のためじゃなく、1人の人のために、
あらゆるところでの原動は留意していくわ

かっこいいクソジジイになるの楽しみにしてる！

[0058 １３２人目の素数さん 2014/09/26(金) 12:29:35.64]

運営乙

[0059 １３２人目の素数さん 2014/09/26(金) 22:21:54.47]

>>36
要するに辺cを a対b に内分するってことだろ。中学の教科書に出てるよ

[0060 １３２人目の素数さん 2014/09/28(日) 18:31:49.46]

1.2.3.4...n...
という数列の差は1
1.4.9.16...n^2...
という数列の差の差は2
1.8.27.64...n^3...
という数列の差の差の差は6=3!

1.2^k.3^k.4^k...n^k...
という数列の第k階差数列はk!


中3の時に発見して、浪人中に思い出してやってみたら証明出来た
中学の卒業課題でk=10まで一緒にこれの計算やったあいつは元気にしてるかな

[0061 １３２人目の素数さん 2014/09/28(日) 23:55:43.22]

>>53
３、５、７、９、１１、の法則は、
１０進数で表すからだよね

定理ってのは、見つけるんじゃなくて、数学を創造したときに
すでにすべての定理を創造してるってことにならない？

[0062 １３２人目の素数さん 2014/10/23(木) 16:38:26.52]

10 進数などかんけーねーよ

>>60
同士よ！　オレは兄貴とやった

[0063 １３２人目の素数さん 2014/10/25(土) 14:21:16.72]

片山QZの定理

[0064 １３２人目の素数さん 2015/02/12(木) 18:36:54.72 ID:ywj/0b6l]

小６の時に1+2+3+…+〇=(〇*(〇+1))/2 であることに気づいて世紀の大発見だと思っていろんな人に自慢したなぁ…

[0065 １３２人目の素数さん 2015/03/07(土) 20:26:24.90 ID:buixsHUI]

ウインナー＝チンチンの定理

[0066 １３２人目の素数さん 2016/04/28(木) 16:21:49.91 ID:KjIBOx7b]

長さnの線分をランダムな位置で切断し、n本に分割したとき
p番目に長い線分の長さの期待値は
Σ[p,n]1/p

証明はできてない

[0067 １３２人目の素数さん 2016/04/28(木) 16:26:29.16 ID:KjIBOx7b]

間違えた

長さnの線分をランダムな位置で切断し、n本に分割したとき
p番目に長い線分の長さの期待値は
Σ[k=p,n]1/k