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ルベーグ積分や測度論のスレ

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0129１３２人目の素数さん
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2012/01/23(月) 21:49:15.75
ばかあげ
0130１３２人目の素数さん
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2012/02/02(木) 05:17:03.30
マーティンの公理ってルベーグ測度や積分に何か関係あるのでしょうか？
0131１３２人目の素数さん
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2012/02/05(日) 23:24:01.08
吉田洋一のルベグ積分入門ってのを読んでみたけどサッパリわからなかった
0132１３２人目の素数さん
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2012/02/06(月) 11:21:11.96
>>131
同感。結局，ルベグ積分てなんなんだぁ！！（魂の叫び）
0133１３２人目の素数さん
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2012/02/06(月) 21:43:39.78
>>131
>>132
私は文系なので、数学ⅠＡⅡＢまでしか知りませんでした。
金融論では確率、微分方程式と測度論が必須ですから、
ルベーグ積分を勉強しはじめました。
しかし、当初、さっぱりわかりませんでした。

それは今から考えると、高校数学と異なる考え方に
全くついていけてなかったことが原因だと思っています。
当初は、何がわからないのかさえ自分ではわかりませんでした。

結局、地道に努力するしかないのです。
いきなりルベーグ積分や測度論の本を読んでも、
１行ずつはなんとかわかっても、全体像は、わからないと思います。

大学で使用する位相、集合、解析学の入門書をよく読んで、
ひとつずつ自分の頭でよく考えて、大学数学というものの
考え方に十分慣れていく必要があります。
がんばってください。
0134１３２人目の素数さん
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2012/02/06(月) 21:44:50.18
>>131
>>132
追伸：
もし、あなた方が文系なら、まずは数Ⅲを
丁寧にやりなおすことをお薦めします。
0135１３２人目の素数さん
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2012/02/07(火) 01:05:14.56
>>128
集合論では R も R^n も同相。集合論では R = 2^ω だからね。
よって ZF+DC に「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したら
自動的に「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」となる。
当然これらは決定性公理から導かれる。
0138１３２人目の素数さん
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2012/02/07(火) 09:19:35.90
同型の間違いだろ。
0141１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 01:55:38.72
おいおい、数オタのくせにどいつもこいつも定義が変わると思考停止かよｗｗ
「R = 2^ω」と書いてあるだろうが！(2^ω)^n と 2^ω が同相なんて教養レベルの演習問題。
0144１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 02:11:50.32
集合論では離散位相辺りを入れるのが常識なの？
0145１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 02:14:03.03
ωには離散位相が入っているのが普通。一般に順序数には順序位相が入っているかな、ωの場合はたまたま離散移送になるってだけ。
0146１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 02:17:47.82
それは知らなかった。
知っていれば、確かに教養レベルの練習問題だな。
0147１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 02:22:58.25
補足すると集合論でも R＝2^ω とは限らず R=ω^ω の場合もある。
要するに集合論では、R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
結論が同じになるような話ばかり扱っているので、扱いやすい定義を使っている。
「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。
0148１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 03:06:11.23
同相じゃないんじゃん。
0149１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 05:58:40.33
何言ってんだ？ R＝2^ω や R=ω^ω の定義の下では、R^n は R と厳密に同相だよ。
0152１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 08:35:05.57
R と R^n は集合論だと同相だけど
位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス

単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
そういえば良い
0154１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 16:05:28.39
>単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
測度論勉強したことある？
ルベーグ可測性は濃度にしか依存しないなんて、御バカのいうことだｗ
0155１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 17:04:40.84
同じ濃度（連続濃度）でも、測度は無限にも有限にも零にも、あるいは非可測にもなりますものね。
0156１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 17:09:59.39
それは間違った氷系を採用するからだ
0157１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 19:29:25.01
>>135
R^nルベーグ測度はn次元単位立方体に対して1を与え
直交するn方向の並進に対して不変な測度だから
濃度が等しいという理由だけでn=1からn>1が自動的というのは
書き過ぎだと思いますが？
0158１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 19:54:26.04
濃度にしか依存しない話というのは測度論じゃなくて
集合論のつもりだったんだが……
0159１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 22:07:58.61
ここは数学板だよな？その住人が、数学ではすべてが定義次第ってことを理解できていないのか？
通常とは定義が違うよと２度も注意があったにもかかわらず（しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ）、
いまだに自分の定義で話しているバカと、数学なのに「定義がおかしい」と言ってるバカばかり。
「定義がおかしい」が数学的な批判になりうるのは ill-defined っていう批判だけだろ。
どいつもこいつも数学のリテラシーがなさすぎ。
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/08(水) 22:50:23.86
>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/08(水) 23:18:06.09
だから同型だって
0168１６２
垢版 |
2012/02/08(水) 23:38:09.63
言い方が悪かったね。以下のように直せばいいかな？

>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか（ただしRは実直線）？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/08(水) 23:49:09.81
＞「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
＞なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。

これがちょっと意味わからないよね
2^ωとω^ωと通常のRはどれも同相じゃないし
0173１３２人目の素数さん
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2012/02/08(水) 23:52:17.48
同相じゃないからわざわざ「ルベーグ零集合を除いて」とついているんだろ。
0176１３２人目の素数さん
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2012/02/09(木) 00:00:42.61
標準的な2^ωやω^ω上のルベーグ測度、と言ってもいいが、
「ルベーグ零集合を除いて同相」から induce される測度と言ってもいい。
（この場合、2^ωやω^ω側に測度がまだ定義されていないので
「ルベーグ零集合」も定義されていないが、同相から外れた部分は零集合という意味。）
0177１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 00:00:46.63
ωはキンタマにきまっとるやろ
0179１３２人目の素数さん
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2012/02/09(木) 00:32:02.79
ここの住人には、測度論の基本的な知識もないのかね？
「ルベーグ零集合の任意の部分集合はルベーグ可測」という基本的知識があれば
>>147の解説で十分分かると思うんだがね。
0180１３２人目の素数さん
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2012/02/09(木) 00:32:59.92
つまりその「ルベーグ零集合を除いて同相」をどうやって構成するかが
議論の肝なわけだ。決定性公理が必要になるのもここなのかな？
0182１３２人目の素数さん
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2012/02/09(木) 00:36:55.57
>>168のステートメントを示すのに決定性公理は全く関係ない。
決定性公理は「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」を導くというだけ。
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 00:41:05.96
Cantor空間が[0,1]の測度１の部分空間として埋め込める、って有名な定理でないの？
(0,1)と通常のRが同相なんだからそれで終わりじゃんｗ
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 00:42:41.86
あ、失礼、Cantor空間2^ωじゃなくて、Baire空間ω^ωね。
Cantor空間はコンパクトだから無理。
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 00:44:44.93
2^ωにもω^ωにもちゃんと名前があるのに
なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ！
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 00:47:45.18
>なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ！
私がそう名付けたわけじゃない。
記述集合論（測度論その他の研究）では、
そういう言い回しが定着してるんだから仕方ない。
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 00:50:30.25
だからωは一体何を指してるのかと聞いてる
どうして誰も答えてくれないの？
2＾ωって冪集合なの？
0191１３２人目の素数さん
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2012/02/09(木) 01:01:33.27
>>190でググったらただの自然数じゃねえかよ
ωが何かを聞いてんだから自然数だと言えばいいだろうがハゲが
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 01:03:17.80
うるせえ！
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 01:17:05.91
てか、ルベーグとか測度論は勉強したけどこんな話知らんかったがな
基礎論とかが出てくるし
ただの2＾ωとかω^ωとかをカントールだとか偉そうな名前付けてるしｗｗｗ
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 01:20:36.34
「ルベーグ零集合を除いて同相」っていうか「可算個の点を除いて同相」だな。
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 04:07:36.18
>R と R^n は集合論だと同相だけど
>位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
>どう好意的に見てもナンセンス
これって
「(N,+) は高校までは単位元がないけど、
大学じゃ単位元がある、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス」
というのと同じだね。
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 08:26:16.68
記述集合論は測度論その他の研究とは違うので
誤解を呼ぶ書き方は止めてちょ

代数的整数論（可換環の研究）と書くよりもっと酷いくらい
0202１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 18:27:23.16
まあ、あれだ、数オタなんて「数学は定義が・・・」と偉そうに言ってるが
所詮は人間、見慣れない定義がでてきた途端に簡単なことも意味不明になってしまう、
そういう良い例だｗ
0203１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 19:29:46.17
>>202
小平先生も、人の証明を読んで間違いがないことは確認できても、わかったといえないことがある、みたいなことを書いてるし。

慣れてないと、わけわからんことはあるさ。
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 21:15:10.22
RとR^nが同相かどうかは
＞R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
＞結論が同じになるような話
だと言っているという理解で良いですか？

一点付け加えて拡大したら任意の位相空間はコンパクトになる事くらい知ってるでしょう？
（ルベーグ零集合を除いて）全ての位相空間はコンパクト空間だということで良いんですか？

同相かどうかは一点取り除いたり付け加えたりしただけで保たれない性質なんだから
測度論的に意味のある違いが無くても、位相空間としても同じだとか言っちゃダメだと思うよ。
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 22:04:45.31
いや単純に>>172がルベーグ測度の完備性を知らなかっただけじゃない？
見たことあっても、身についていないっていうか。
0207１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 22:30:58.15
2^ωとR^nはどういう風に同一視するんですか？
普通の全単射取るともう滅茶苦茶になって
並進不変（平行移動しても測度は同じ）じゃなくなるからまずいと思う
0208１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 22:49:01.54
まだ分かっていない者もおるようだからオジサンが解説してあげよう。

１、「非可測集合が存在するか否か」という問題は、
(※)空以外の開集合が正測度を持つ完備な測度空間
については「零集合を除いた同相」によって不変。
（ここで「零集合を除いた同相」では、測度自体は変わるが
零集合は零集合にうつることに注意。）

２、従って「非可測集合が存在するか否か」という問題の対象は、
測度空間というより、
(※)の「零集合を除いた同相」という同値関係による同値類と考えるべきである。

３、すると目的の結論は「R と R^n が同じ同値類である」となる。
（R と R^n と、それらの同値類を以下混同する。）

４、これを示す為に、R と R^n の代表元として、
ω^ω と (ω^ω)^n を（2^ω と (2^ω)^n でもいいが）取ろう。
するとこれらは同相だから当然ながら同値である。

これだけのことだ。
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 23:01:12.78
ここの住人は初学者が多いんだから、
★★時と場合によって（考えている問題によって）同一視の仕方を替える★★
っていう抽象的な議論になれていないんじゃなかな。

>>207
並進不変とかってこの場合何も関係ないでしょ？
「並進」の構造はいまは無視していい。
0210１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/09(木) 23:44:11.70
同相がhomeomorphicって上で出てたが
どう考えてもRとR^nは同相=homeomorphicではない
card(R)=card(R^n)と間違えてる初心者君なんだろうな
しっかり勉強するまでROMってろよ
0212１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 00:21:11.03
分かってないのに自信満々でズレまくりのレスが沢山って、
いいねこういうの、２ｃｈらしくて素晴らしい。
0214１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 00:50:50.46
>>208の説明で分からんのなら無理だろうね。
抽象的な数学的議論にもっと慣れてきてから出直してね。
0215１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 00:56:13.85
>>214
だから分かんないから参考文献挙げてって頼んでるんだよ
どの本のどの章あたりとかでいいから
俺の方で勝手に勉強しとくから
無理かどうかはそのあとで決める
取り敢えず目は通してみたい
これお願いしてるんだよ
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 01:58:41.44
>>215
そもそも君がどの程度、測度論を知っているかが分からないと。
それに、色々な結果を使ってるのだから、一つの文献にまとまって書いてあるとも限らない。
せめてどこが分からないから（例えば>>208の１～４の内のどれ、とか）
その部分の参考文献を教えて、と聞くべき。
0217１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 02:44:44.92
同型類が分かったとしても、それに属する個々の元がわかるわけではない。
0218１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 03:08:06.10
>>216
Rと2＾ωが同相のところ
同相が「連続全単射かつ逆写像も連続」ではなさそうだし
その同相の定義とRと2＾ωが同相ってのを確認できる文献
測度論は伊藤清三全部読んだからいいよ
以上よろしくおねがいします
0219１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 03:09:56.74
>>216
間違った
RとR^nが同相、つまり4のところ
0220１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 03:15:23.49
同相は「連続全単射かつ逆写像も連続」以外の意味はないだろｗ
(2ω)^n と 2^ω が同相っていうのが分からんのか？
0223１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/10(金) 03:46:11.40
R=2^ω とか R=ω^ω という（通常とは違う）定義の下で R と R^n が同相って書いてはあるけど、
通常の実数直線の意味で R と R^n が同相だなんて誰も言っていないんだけどね。分かってる？
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