【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011.2】
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みんなで議論して問題を解きましょう。
ちなみに私は今は問2を解いています。まだ解けてません。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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漸化式
a(m,k) = 2a(m-1,k) + 2a(m-1,k-1)
で定義すると、
a(n-1,1) = {2^(n-1)}Σ[i=1,n] a(0,i)C[n-1,i-1],
ですな。
〔問題〕
C[n-1,1] C[n-1,2] ・・・・ C[n-1,n-2] がすべて素数pの倍数となる
ようなn(≧2)を求む。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| l^,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
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| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/ 〔定義〕
次のいずれかを満足する△ABC をナゴヤ三角形と云うらしい。
(1) ∠A = 60゚, ∠B < ∠C.
(2) aa = bb -bc +cc, b<c<2b.
例 (7,5,8) (13,8,15) (19,16,21) (31,24,35) 〔問題〕
(a,b,c) をナゴヤ三角形の3辺とし、 >>162
数列 x[n] を
x[1] = c-b,
x[2] = b,
x[3] = a,
x[n] = {x[n-1]^2 − x[n-2]^2}/x[n-3], (n>3)
によって定める。このとき、
| x[n] | < 2a/√3 を示せ。
フィボナッチスレ − 078-079
casphy - 高校数学 - 不等式2 - 002,006-007 〔定義〕
次のいずれかを満足する△ABCを直角三角形と云うらしい。
(1) ∠A = 90゚, ∠B > ∠C
(2) aa = bb + cc, a>b>c
例 ((cc+1)/2, (cc-1)/2, c) = (5,4,3) (13,12,5)(25,24,7) (41,40,9)
一般に (a,b,c) = (mm+nn, 2mn, mm-nn) 等と書ける。
〔類題〕
(a,b,c)を直角三角形の3辺とし、数列 x[n] を
x[1] = c,
x[2] = b,
x[3] = a,
x[n] = {x[n-1]^2 − x[n-2]^2}/x[n-3], (n>3)
によって定める。このとき、
|x[n]| < a を示せ。 2月号の出題から....
〔問題〕
nは2以上の自然数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(1) 0以外にベキ零元はない。
ベキ零元: ある自然数m>1 について x^m = 0 となるx
(2) x∈R ならば、x^(n-1) はベキ等である。
(3) aa=-a ならば、Rの任意の元yについて ay=ya.
(4) aがベキ等(aa=a) ならば、Rの任意の元yについて ay=ya. 〔問題〕
nは2以上の偶数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(6) x∈R ⇒ x+x=0
(7) x∈R ならば、
e、x+x^2+・・・+x^(n-2)、x^(n-1)、x^n+x^(n+1)+・・・・+x^(2n-3)、x^(2n-2)、・・・・
はベキ等である。 環R では
・加減算は普通にできます。
・(a≠0でも)乗法の逆元1/aがあるとは限りません。
・零因子があり得ます。 x+x=0 であっても x=0 とは言えません。
・乗法の交換法則(xy=yx)が成り立つとは限りません。(可換環を除く) >>165
(1) m>0, n-1>0 に対して、k(n-1)+1 > m となるような自然数kが存在する。(← アルキメデスの原理)
ある m>0 に対して x^m = 0 ならば、
x = x^n = x^(2n-1) = ・・・・・ = x^{k(n-1)+1} = (x^m)・x^(自然数) = 0,
(2) {x^(n-1)}^2 = (x^n)x^(n-2) = x・x^(n-2) = x^(n-1),
(3) (ay+aya)^2 = {a(y+ya)}^2 = ay(a+aa)(y+ya) = ay0(y+ya) = 0,
∴ ay+aya = 0,
(ya+aya)^2 = {(y+ay)a}^2 = (y+ay)(a+aa)ya = (y+ay)0ya = 0,
∴ ya+aya = 0,
∴ ay = -(aya) = ya.
(4) (ay-aya)^2 = {a(y-ya)}^2 = ay(a-aa)(y-ya) = ay0(y-ya) = 0,
∴ ay-aya = 0,
(ya-aya)^2 = {(y-ay)a}^2 = (y-ay)(a-aa)ya = (y-ay)0ya = 0,
∴ ya-aya = 0,
∴ ay = aya = ya. * AYAYA はアップフロントグループの登録商標です。(第4995372号) >>166
(6) 結合法則より
xx + (-x)x = {x+(-x)}x = 0x = 0,
(-x)(-x) + (-x)x = (-x){(-x)+x} = (-x)0 = 0,
∴ xx = -{(-x)x} = (-x)(-x),
これを n/2 回乗ずると、 (← nは偶数)
x^n = (-x)^n,
∴ x = -x, (← 題意より)
∴ x+x = 0. 今月の一問目が題意意味不なんだけど、
三角形の板が積める条件は何なの? 〔問題〕
nは2以上の偶数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(8) n=4 ならば、x+xx はベキ等.
(9) n=6 ならば、x^5 = x^3 = xx,
xx = x.(べき等) >>175
キャスフィーの解答から....
(8)
(x+xx)^2 = xx + (x^3 +x^3) + x^4
= xx + x^4 (6)
= xx + x (題意)
(9) 上と同様にして
0 = (x+xx) - x - xx
= (x+xx)^6 - x^6 - (xx)^6
= (x^4)(xx)^2 + (x^2)(xx)^4 (奇数係数のみ残す)
= (x^6)xx + (x^6)(x^4)
= x^3 + x^5,
x^3 = -(x^5) = x^7 = x(x^6) = x^2,
∴ x^2 = x^3 = x^4 = x^5 = x^6 = x. (ベキ等環) 環Rのすべての元xが、x^n=x (n>1) を満たすとき(nはxに依存することもある)
Rの素イデアルはすべて極大イデアルでつか? >>177
背理法による。
Rの素イデアルであって、極大イデアルで無いものPがあったと仮定する。
P⊂M なる極大イデアルMが存在する。(M−P≠φ)
x ∈M−Pを任意にとると、x^n = x, (n>1)
∴ x・(1 - x^{n-1}) = x - x^n = 0 ∈P.
Pは素イデアルだったから、1 - x^{n-1} ∈P.
∴ 1∈P となり矛盾する。
∴ Rの素イデアルはすべて極大イデアル。(終) 〔問題〕
nは2以上の自然数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(10) Rは可換環である。
つまり、環Rのすべての元x,yについて xy = yx.
〔参考文献〕
Nathan Jacobson: Annals of Math., 2nd series, 46(4), p.695-707 (1945 Oct.)
"Structure theory of alebraic algebras of bounded degree"
〔環の構造定理〕
(0以外の)ベキ零元をもたない有限環は可換である。 今月の4点の問題、簡単すぎね?
2秒で解けたんだけど、俺何か勘違いしてる? >>180
本当に簡単だったw
「一見当たり前だけど証明は難しい」というのでもなく、
証明も多分一行で済む。 >>180-181
3点の距離について△不等式が成り立つ。
直角凾ノ対して3平方の定理が成り立つ。
平面Pに関して反対側にある2点を結ぶ線分は、平面Pと交わる。
平面Pに関して同じ側にある2点を結ぶ線分は、平面Pと交わらない。
を使ってみる。
(角、ベクトル、内積なんてのは使わない) 線分CDに両端で直交する平面を考えてみるとか
ベクトルABとCDの内積を考えてみるとか >>179
(10)
n=3 のとき、
xx はべき等(2)、よって可換(4)。
xy = (xy)^3 = x(yx)^2 y = ・・・・
= y(xy)^2 x = (yx)^3 = yx,
n=4のとき、x+xx はべき等であり(8)、中心に含まれる(4)。
xy+yx = (x+y)^2 - xx - yy
= {(x+y)^2 + (x+y)} - (xx+x) - (yy+y),
は中心に含まれる。
x(xy+yx) = (xy+yx)x,
xxy = yxx,
x→xx として
(x^4)y = y(x^4)
題意により
xy = yx,
n=6 のとき、
x はべき等(9)、よって可換(4)。 >>179
(10)
n=3のとき、
xx はべき等(2)、よって可換(4)。
xy = (xy)^3 (←題意)
= xy(xy)^2 = x(xy)^2 y
= xx yx yy = xx(y^3)x
= (y^3)(x^3)
= yx, (←題意)
・参考書
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社(1977) No.72
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社(1978) No.60 (2)
今月の問2、さっぱり意味がわかんねーぞー
と思ったら、やはりみんな分かってないんだなw
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=45526 ブリタニアにリア王がいると聞いて船できました。(W.Shakespeare) >>189
〔出題1〕
円分多項式で、{0, ±1} 以外の係数をもつ最低次のものは? >>190
〔定理4.6〕
nが高々2つの奇素因数しか持たないとき、Φ_n(x) の係数は &#8722;1, 0, 1 のいずれかである。
http://jmoss.jp/minefy.pdf >>191
まづはnが3つの奇素数の積のときを考えよう... 8月号の2問目、方針すら浮かばんわ ('A`)ブリッ! (1)も(2)もできたけど、両方とも頑張って計算してくださいねって感じかな
エレガントな解答なんてあるとは思えないが問題の背景は気になる そういや昔、円順列か何か組合せの問題を出題して、その翌月に元ネタの論文書いた人が、
まだ論文が発表されていないから、勝手に載せんなボケってストップがかかったやつ
あの解答はもう掲載されたの? 毎月、楽しみにしている回答者
??代 : ぬるぽ
60代 : ζ氏
80代 : クスコ
誰か面白い名前で常連になってくれよ。 554 自分:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2014/10/22(水) 05:27:24.31
エレガントな解答を求むの計算問題は易しい。
いろんな解法を考える楽しみはあるが、解くだけなら楽勝。最近だと、
6月号のnCrを含むΣ計算、
7月号のf(n+1)-f(n)のΣ計算、
11月号(今月号)の2×2行列のn乗計算
簡単じゃボケ!と怒らずに、6月号のnCrの和なら組合せ論的解釈を考えるとか、
いろいろ楽しみ方はあるが、解答を見ると出題者も分からなかったと書いてあった。
解答者に解法を聞いておいしい汁をすすろうなどというクズ出題者もいるようだが・・・
555 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2014/10/22(水) 12:28:46.18
わはは、図星だ >>202
解なしだよな?「発散しない=収束する」と解釈すると。 >>203
念のため書籍で確認したが、『有限値に収束しない』 場合を 『発散』 と定義しているので、『発散しない』=『有限値に収束』のはず。
出題者は 『発散』=『無限大に発散する』 と考えていて、おそらく 『発散しない』=『有限値に収束する』+『有限値を振動する』 のつもりで出題したのかも? >>202-203
結局、問題文は合ってたの?
エロイ人、だれか確認してクレヨン。 ニッコリ賢者の問題の解答納得いく?見落としがあるような気がするんだけど。 >>209
まだ読んでない。
エレガントは今月号も簡単な計算問題が1問あるけど、もしかして応募者を増やすための餌かな? >>209
問題が理解できなかった時点で俺はダメポ… 俺も思ったw
そもそもの難易度設定も含めて出題ミスだったと思う 罪状
(1) 己の用語の理解不足による出題ミス
(2) 出題難易度のミス 要するに数学科出身じゃないと、用語とかにいい加減なんだろ。
>>205 連投失礼。
問1は(1),(2)ともに条件を探す作業に時間がかかる。
解答自体は長くならない。
エレガント解答がきっとありそうな良問。
問2は(1)はなんとかなる。(2)はかなり大変。
試行錯誤がいらない解答方法は見つからなかった。 問2(1)は20秒で解けたw
(2)はこの辺がネタもとかな。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1809-02.pdf
問題を縮小することには成功したが、決まった手順は見つけられず。 行列の問題は、大数で矢ヶ部が2回に亘って記事を書いてたな。 行列は知ってる人には簡単だったってこと?であれば良問って言ったの撤回。 追加
検索したら、大学への数学1999年10月号 「急がば考えろ」 もそうらしいが、古いので持っていない。
さすがに地元図書館には大学への数学のバックナンバーは置いてないし、
出版社のweb販売にも2013年4月号以降しか売られていないから、だれかくれ。 コラムのタイトルがそのものずばりだね。真相が気になる。
大学への数学から丸々引っ張ってたらがっかりだ。 >>227
出題者の模範解答が記事どおりだったら笑える。 今月の積分の問題、誰でも思いつきそうなある操作一発で解けるんだけど、
それじゃ駄目なのかな。更にエレガントな方法を探せってことか? 出題ミスだと思うけどどうだろうね
結局出てくる積分値にエレガントな表現も何もないし >>229
易しすぎる問題はつまらない。
楽しいと思う人はよっぽどの数学好きでないかと。
思わせぶりなコメントがあってもとっとと答案書いて終わらせて、
エレガントな解答なんぞ追い求めないことにしてる。
それじゃコーナーの趣旨に反するのかもしれんけど。
昨年の『分散はなぜ2乗するのか?』なんて、
問題にすらなってないのもあったな。
あれは数学じゃなくて数学史じゃないかと思った。 出題ミスに対して、言い訳めいたこと言って逃げたり、
ひどい解答しか用意できていないのに出題して、読者にエレガントな解答を期待したり、
簡単すぎて出題するほどのものでもなかったり、よく知られた有名な問題だったり、…
学力の低さ・プライドのなさ、一言で言えば恥知らずな出題者を嘆きながら読む雑誌になりさがったな。 >>229-230
とくに考えもなしに置き換えたら、あっさり答えが出た。この問題って何かあるの?
てもとにある微積分の入門書を開いたら殆ど同じ問題があった。 誰でも出題者になれるのですか?
今までの出題者には、大学の助手〜教授、大学院生もいたような、あと予備校講師(安田亨)も出題してたけど…。 (ヒント:異なる表現がありますが、エレガントな表現で解答を)
と書かれてあるけど、普通に解いて簡単な答えになって不安になった。 縺昴s縺ェ縺薙s縺ェ縺ァ縺溘∪縺ォ繧ィ繝ャ繧ャ繝ウ繝医↑蜃コ鬘後′縺ゅk縺ィ螫峨@縺上↑繧九�
蜴サ蟷エ縺ョ閾ェ蛻・・縺頑ー励↓蜈・繧翫・縲�
遨コ髢謎ク翫・5轤ケ繧偵←縺ョ3轤ケ繧ら峩隗剃ク芽ァ貞ス「縺ォ縺ェ繧九h縺・↓
驟咲スョ縺吶k縺ョ縺ッ荳榊庄閭ス縺ァ縺ゅk縺薙→繧堤、コ縺帙�
縺」縺ヲ繧・▽縲ょ撫鬘梧枚繧�1繧サ繝ウ繝・Φ繧ケ縺ォ蜿弱∪縺」縺ヲ縺ヲ邏謨オ縲� Oh..荒らしてしまった。書き直そう・・。
>>232
そんなわけでたまにエレガントな出題があるとうれしくなる。
俺の去年のお気に入りは、
『空間上の5点をどの3点も直角三角形になるように配置することは不可能であることを示せ。』
ってやつ。
問題が1センテンスに収まってて素敵だと思った。
誰でも内容を理解できるし、中学生の知識で解けるというのもすばらしい。 >>236
文字化けか?それとも何語で書いているのだ?何でこんなことになるんだ? >>238
タブレットから書き込んだらこうなった。ゆるせ >>209
> ニッコリ賢者の問題の解答納得いく?見落としがあるような気がするんだけど。
結局この件どうなったの?
俺もこの解答は納得いかなかったのだが、その後もどこが間違いか突きとめられていないんで知ってたら教えて >>240
誌面が正しいと主張する人間と議論したいんだけど現れないね。
誌面の解答は、
最初にAがニッコリした時点で"AとBが隣接しない"ことも公知になる。
(隣接した場合はCの負けが確定するため。)
という点を見落としているように思う。
この点をしっかり考慮するとニッコリの最大回数は9ではなく3になる。
しかしζ氏もM谷氏も正解者として掲載され、自分にまったく自信が持てないw
だれか俺を論破してくれ。 >>241
俺は常連というほどではないが、エレガントはよく出している。
けど、あの問題自体が理解できなかったのでパス。
他の賢い読者に聞いてくれい。 今月のエレガントって幼児向けパズル?
だんだん質が落ちてきてるな。
ネタ切れか?
ああ? 1問目のブロックを積むヤツは分からん
2問目の2色のハノイの塔は、小学生の頃に自分で考えて紙で作って遊んだことがある
答案書くのが面倒だから今月は送らないな。 ブロックの問題は、ちょっと変換するととある分野で有名な難問で、
かなり複雑な手順で解く論文は出ている。雑誌の投稿問題にする
レベルじゃねーぞ。
簡単な解法を見つけたら、論文に出しても良いぐらいじゃないか。まあ、
俺は今あの分野から離れているから、最近の動向を知らないけど。 >>246
> ブロックの問題は、ちょっと変換するととある分野で有名な難問で、
> かなり複雑な手順で解く論文は出ている。雑誌の投稿問題にする
> レベルじゃねーぞ。
出題者にも色々いるからな。
アイディアを拝借するために出題したんじゃないの? 常連クスコさんの「クスコ」って産婦人科の医師が使うあれのこと? >>253
ζ氏はサラリーマン…、という仮説より検証しやすい気がする ζ氏はブルバギのような集合体…、という仮説を立てたこともある そろそろ数セミの発売日か?今月はマシな問題だしてくれよな。 第1問の不等式の証明は何とかなりそうな気がする。まだ何にも考えていないがなー。
第2問は、問題を忘れた。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています