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【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】

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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/16(日) 14:03:02
みんなで議論して問題を解きましょう。

ちなみに私は今は問２を解いています。まだ解けてません。
0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/25(火) 00:42:32
こんなのできたんですね。
私も解いていますが、問題１（２）が難しくて煮詰まっています。
問題２は（たぶんですが）解けました。
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/26(水) 01:01:39
問２しかやってないが難しい。
白黒変換の前後で不変なものでかつ数列を決定づけるようなものを見つける
方針でやっているが全然わからん。
しかも悲しいことに最近忙しくて腰を据えて取り組む時間があまりないんだよな。
>>2はどういう流れで解いたの？
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/26(水) 11:53:26
あるポイントひとつで解決というパターンゆえ、
流れとか言いづらい。。。
ま、佳　田　真　利。
誰か問１（２）やってる人いないか。
0008１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/28(金) 00:15:47
問題１
たくさんの商品を扱うインターネットのお店があります。1件の注文票で、
同一商品を2個以上注文することはできませんが、多種類の商品を同時
に注文することができます。例えば、1件の注文票で1000種類の商品を
それぞれ1個ずつ注文できます。
ある日、お店で注文票を集計したところ、どの商品の注文も3件以下である
ことがわかりました。ところで、ある事情によりこの日から各商品価格の
10円未満の部分を切り上げ、または、切り下げて、価格を設定し直すことに
なりました。（例えば123円だった商品は120円か130円に変更される。）
お店では、すべての商品の価格を上手に設定し直すことで、すでに受け付け
ているどの注文票についても、その注文票の合計金額が価格の変更前後で
あまり変化しないように試みました。では、問題です。解答はどちらか片方
のみでも構いません。
（１）どのように価格を設定し直しても、ある注文票については、その注文
票の合計金額が15円以上変化してしまうような例をあげてください。
（２）どんな場合でも、うまく価格を設定し直せば、すべての注文票につい
て、各注文票の合計金額の変化が30円以内に収められることを示してください。

ふう・・・疲れた。
0009１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/28(金) 12:08:05
問題１（２）は帰納法で構成できるのか。はたまた全く別のアプローチか。
0010１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/29(土) 00:14:19
問題１は何の単元でちゅか？
0012１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 15:01:07
エレガントじゃないな解答しか届かなかった場合はどうしてるんだろう

って書きたかった
0013１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 15:33:20
出題者が用意した解答を紹介する。
昔はほんとに難しい問題が出題されることもあって、そんなことがたまにあったよ。
0014１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 15:44:56
ノートに書き留めてあった昔の問題を一つ。確か秋山仁の出題で、正解者が一人
いたか、いなかったかだったと思う。

平面上にn角形（凸とは限らない）の形をした図形（例えば、刑務所とみなすことが
できる）がある。平面上の適切な位置に何台かの監視カメラを設置し、刑務所の
内部と外部の両方を監視したい。ただし、カメラの監視できる範囲を次のように定める。
(1)壁に設置されたカメラは壁の内側も監視できる。
(2)カメラの視線は遮る壁がない限り、その位置を中心として360°の範囲を監視できる。
さた、刑務所の形がどんな形をしたn角形であろうとも、平面全体を監視するために、
高々[(n+2)/2]台のカメラを適切な位置に設置しさえすれば十分であることを証明せよ。
0015１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 17:19:31
実際、エレガントな解答なんてそうそう出ない・・・。
ただ、ごくごくたまに浮かんで、それが忘れられない喜びになるっていう・・・。
0016１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 18:51:17
頂点も壁に含まれて、頂点に設置した場合も内外ともに監視できるわけですか
0018１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/31(月) 03:17:26
凸ｎ角形なら一つの頂点に設置すれば内部全体と
その頂点からでる２本の辺の延長方向までは監視可能だから
１つおきの頂点に設置すればよい

、というところまでは簡単に示せるとして。

凹部分を持つ多角形をどう分類するかなのかな。
まずは凹ｎ角形を内部に包括するような凸ｍ角形（ｍ＜ｎ）を
ｍを最小にするようにとるんだろうけど…
0020１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/02/16(水) 22:55:39
12月号 出題２の拡張でつ。

〔問題〕
すべての自然数n, Nについて、次の不等式を示してくださいです。

　Σ[k_1+k_2+････+k_N=n] 1/{[(N-1)k_1 +1][(N-1)k_2 +1]････[(N-1)k_N +1]} ≦ 1,

ここに Σ[････] は、条件を満たすすべての非負整数の組（k_1,k_2,･････,k_N）につい
ての和を意味します。(ζ氏による)
0021１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/02/16(水) 23:10:50
>>20

(略証)
N=1 または n=1 のときは 1 となり、等号が成立。

N>1 のとき
べき級数gを
　g(x) = Σ[k=0,∞) 1/[(N-1)k +1] x^k,
とおくと、問題の式は、g(x)^N および 1/(1-x) の x^n の係数である。
そこで、G(x) = (1-x)^(-1/N) のマクローリン展開を
　Σ[k=0,∞) ζ_k･x^k,
とおく。逐次微分により、
　ζ_0 = 1,
　ζ_1 = 1/N,
　ζ_k / ζ_(k-1) = [N･(k-1)+1]/(Nk) > [(N-1)(k-1)+1]/[(N-1)k+1],　(k>1)
∴　[(N-1)k +1]ζ_k > [(N-1)(k-1)+1]ζ_(k-1) > ･････ > Nζ_1 = ζ_0 = 1,
∴　1/[(N-1)k +1] <ζ_k,
∴　(左辺) = Σ[････] 1/{[(N-1)k_1 +1][(N-1)k_2 +1]･････[(N-1)k_N +1]}
　　< Σ[････] ζ_(k_1)･ζ_(k_2)･････ζ_(k_N) = 1,　(終)
ぬるぽ
0022１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/03/14(月) 01:22:12.66
>>21
　g(x) = (1/x)^{1/(N-1)}･∫[0, x] (1-t)^(-1)･t^{-1 +1/(N-1)}･dt／(N-1)
　　　 = (1/x)^{1/(N-1)}･∫[0, x^{1/(N-1)}] 1/{1 - u^(N-1)} du,
0024１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/14(土) 20:25:50.12
6月号の問題そのものではないでしょ。
関連はありありだけど。
3月号あたりで今井先生が出した問題。
0025１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/24(火) 06:50:02.32
ああ、同じ出題者なのか。
今月の問題は解けたけど、算額の問題との関連がよくわからん。
0026１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/25(水) 00:04:41.20
今月の問題の行列式＝算額の問題の行列式
0027１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/25(水) 12:40:54.35
それはわかってるけど、例えば今月の問題の結果を利用すれば
算額の問題が簡単に解けたりするのかなあと。
0028１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/25(水) 15:40:28.84
原理的には言えるはずだけど、説明しづらいね。
ってか、今月の問題は容易ではない（と思う）があなたすごいね。
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