自分で見つけた食べかすの様な証明を載せていくスレ

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/04(火) 23:36:43

先端や難問は才能のある人に任せて
天才は簡単に解くことができるけど手を付けるのも面倒がるような問題の証明を載せるスレ

**猫は作業** ◆MuKUnGPXAY · 2011/01/04(火) 23:44:09

猫

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/12(水) 22:48:22

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/12(水) 22:49:04

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/12(水) 22:49:47

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/12(水) 22:50:46

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/12(水) 22:51:29

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/12(水) 22:52:09

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/26(水) 19:35:56

age

**１３２人目の素数さん** · 2011/01/26(水) 20:10:14

ｴﾈﾏｸﾞﾗ

**１３２人目の素数さん** · 2011/02/06(日) 22:52:39

sage

**１３２人目の素数さん** · 2011/02/20(日) 01:31:37.39

心配すんな

**１３２人目の素数さん** · 2011/02/26(土) 12:01:53.26

sage

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/04(金) 15:23:22.14

age

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/08(火) 13:39:28.79

参考：東工大　大学院　数学専攻　Ｈ１２年度　
大問「３」
Ｇ：群とし、Ｎ：Ｇの正規部分群、Ｎ～Ｚ（有理整数環）、Ｇ／Ｎ～Ｚ／３Ｚ
のとき、Ｇはアーベル群.

[ｈｒｈ＾（－１）＝ｒ
または
ｈｒｈ＾（－１）＝ｒ＾（－１）。
(ここらへん詳しく書いた方がよいか)
場合わけ
ｈｒｈ＾（－１）＝ｒ＾（－１）
が残っていた。]

ｈｒｈ＾（－１）＝ｒ＾（－１）の場合。
ｈ＾２とｒとｈ＾（－２）の積は
ｈ＾２ｒｈ＾（－２）＝ｒ。
Ｎの元でないｈ＾２とｒは可換。
ｈ＾２とＮで生成される群＜ｈ＾２、Ｎ＞は、同様にして、
Ｇ＝＜ｈ＾２、Ｎ＞。
よって、Ｇは可換。

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/09(水) 10:45:26.13

大問「３」
Ｇ：群とし、Ｎ：Ｇの正規部分群、Ｎ～Ｚ（有理整数環）、Ｇ／Ｎ～Ｚ／３Ｚ
のとき、Ｇはアーベル群であり、さらに
Ｇ～Ｚ、またはＧ～Ｚ　＋　Ｚ／３Ｚ　となる。
＋は群の直積を表す。
-----
「Ｇはアーベル群であると証明されたとして、以下続ける」

Ｇの正規部分群Ｎの生成元をｑとし、ｒ∈Ｇを、Ｎに属さない元とする。
ｒの生成する群＜ｒ＞と正規部分群Ｎからできる群＜ｒ＞Ｎは、Ｇに一致する。

Ｇ／Ｎが位数３の巡回群であるので、
ｒの３乗は、Ｎにぞくする、つまり、
ｒ＾３＝ｑ＾ｎ∈Ｎ、なる自然数ｎがある。
ｎの場合わけ。
[場合わけしなくても、可換群の分解定理を用いればよいかも]
ｎ＝０なら、ｒ＾３＝単位元で、Ｇは、ＺとＺ／３Ｚの直積Ｚ　＋　Ｚ／３Ｚと同型。
詳しくは、ｒの生成する群＜ｒ＞とＮの共通部分が、＜ｒ＞∩Ｎ＝単位元　なので、Ｇは、上の直積と同型

ｎ＝１なら、ｒ＾３＝ｑで、ｒは、群＜ｑ＞＝Ｎを生成するので、Ｇは、Ｚ（有理整数環）と同型。
（問題文中のＮは、ＧをＺと考えて、３Ｚ、すなわち３の倍数全体にあたる。）

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/09(水) 10:51:07.96

ふーん　そんなことが言えるんだ

知らんかった（俺はJ Algebra, Crelleなどに総勢３０本の論文を掲載している代数学者）

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/09(水) 12:52:09.21

証明じゃないけど

(a-b)^2=(b-a)^2

だよなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/09(水) 17:12:09.72

>>16
ｎはmod 3で場合わけ

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/10(木) 08:32:11.48

16のつづき
Ｎ＝２を示して、
＞＞１９
のように、ｎはmod 3で場合わけ（への拡張、書き直し）は、各自で。

Ｇはアーベル群で、ｑ、ｒで生成されるので、演算を加法的に書き、Ｇの要素ｑとｒ
の演算（Ｇでの”積”）を、ｑ＋ｒとしるす。

ｎ＝２。
ｑとｒの条件式は、３ｒ－２ｑ＝０
有理整数環Ｚの二つの直積Ｚ＋Ｚ　（もちろん加法群として）は
ｕ＝（３、－２）
ｖ＝（－１、１）
として、整数倍で生成され、ｕ、ｖは有理数体Ｑ上一次独立である。
Ｚ＋Ｚ＝Ｚｕ＋Ｚｖ。
写像ψ
ψ：Ｚ＋Ｚ　　→　Ｇ
（i,j） →　iｒ＋jｑ
は、群準同型で全射。
ｕで生成される群ＺｕはＺｕ⊂Ｋｅｒψであり、Ｚ＋Ｚ／Ｚｕ　→　Ｚ＋Ｚ／Ｋｅｒψ　→Ｇは、群準同型で
全射。
Ｚ＋Ｚを部分群Ｚｕで割った群Ｚ＋Ｚ／Ｚｕは、
Ｚ＋Ｚ／Ｚｕ～　Ｚｖ　（同型）
なので、ｖで生成される群ＺｖについてＺｖ→Ｇは、群準同型で全射。
よって、Ｇは無限巡回群。

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/11(金) 12:28:32.47

参考：東北大学大学院情報科学研究科　数学教室　２００１年９月　実施

大問４

ｆ（ｘ）＝ｘ＾６＋ｘ＾５＋・・・＋Ｘ＋１
とする。ζ：これは方程式ｆ（ｘ）＝０の解である複素数の一つ。

（１）α＝ζ＋ζ＾(－１)は、g(Y)=Y^3+Y^2-2Y-1=0の解である。
さらに、g(Y)は整数係数の多項式として既約である。
なお、ζ＾(－１)はζの逆数。
（２）β＝ζ＋ζ＾２＋ζ＾４の満足する整数係数の２次方程式は？
（３）Ｑ（ζ）に√（－７）は含まれるが、√７はふくまれない。
ーーー
（１）（２）を用いて（３）を解く。
ーーー
（３）β∈Ｑ（ζ）より
（２）でもとめた２次方程式を解いて、
√（－７）∈Ｑ（ζ）。
仮に、√７∈Ｑ（ζ）とすると、√（－１）∈Ｑ（ζ）、
Ｑ（√７、√（－１））⊂Ｑ（ζ）。
拡大次数　[Ｑ（√（－１）、√７）：Ｑ]＝４。
これは、拡大次数　[Ｑ（ζ）：Ｑ]を考え合わせると、
矛盾する。
よって、√７はＱ（ζ）にふくまれない。

**１３２人目の素数さん** · 2011/03/30(水) 18:14:05.69

参考：東北大学大学院理学研究科数学専攻Ｈ１６年度２次募集　入試問題
大問 1 [群論の問い]
H,Kは有限群Ｇの部分群で、
Ｋ　⊂　Ｈ、（Ｇ：Ｈ）＝（Ｈ：Ｋ）＝２
を満たし、ＫはＧの正規部分群ではないとする。
このとき、（１）～（３）を示せ。
（１）ＨはＧの正規部分群。
（２）Ｇの元ｘがＨに属さないなら、Ｋ≠ｘ＾（－１）Ｋｘ。
（３）略
ーーーーー
（１）　群Ｇの元ｇで、ｇがＨに属さないとすると、ｇＨ　∩　Ｈ　＝　空集合、
　[Ｇ：Ｈ]＝２より、Ｇの剰余類分解　は、Ｇ＝ｇＨ　Ｕ　Ｈ。
　[一つの問いとして独立しているので、詳しく書いた方がヨイカ　]
また、ｇＨ　∩　Ｈ　＝　空集合、[Ｇ：Ｈ]＝２より、Ｇ＝Ｈｇ　Ｕ　Ｈ。
よって、群Ｇの元ｇで、Ｈに属さないｇについてｇＨ＝　Ｈｇ。
部分群Ｈの元ｈについて、明らかに、ｈＨ＝　Ｈｈ。
まとめて、群Ｇの元ｇにたいし、ｇＨ＝　Ｈｇとなり、ＨはＧの正規部分群。

**１３２人目の素数さん** · 2011/04/16(土) 19:57:25.78

参考：大阪大学　大学院理学研究科　数学教室　Ｈ１８年度。
大問１
Ｉ⊂Ｚ[x]なる素イデアルとする。
（１）Ｉ∩Ｚ＝０のとき、ＩＱ[x]∩Ｚ[x]＝Ｉが成立つ。
（２）Ｉ∩Ｚ＝０のとき、Ｉは単項イデアルである。
（３）略

－－－－
（１）
ＩＱ[x]∩Ｚ[x]⊂Ｉを示す。逆の包含は明らか。

**１３２人目の素数さん** · 2011/04/24(日) 13:55:46.05

>>23
ＩＱ[x]∩Ｚ[x]の元を、
整数係数多項式　ｂ_１ｂ_２、
ｂ_１∈Ｉ、ｂ_２∈Ｑ[x]、
このように、ｂ_１とｂ_２の積に表す。
ｂ_１とｂ_２を、（整数係数）原始多項式と定数（ＺまたはＱの）の積に表して、
ｂ_２＝ｃ_３ｂ_３、ｂ_３：原始多項式、ｃ_３：有理数、
ｂ_１＝ｃ_１γ_１、γ_１：原始多項式、ｃ_１：整数。
ｂ_１ｂ_２＝ｃ_１ｃ_３γ_１ｂ_３、
なる整数係数多項式について、
γ_１とｂ_３の積γ_１ｂ_３が原始多項式であるので、ｃ_１ｃ_３は整数。

**１３２人目の素数さん** · 2011/04/26(火) 10:30:30.00

>24
Ｉが素イデアルより、ｃ_１∈Ｉ、または、γ_１∈Ｉ。
整数ｃ_１∈Ｉとすると、Ｉ∩Ｚ＝０より、矛盾するので、γ_１∈Ｉだけがなりたつ。
ＩはＺ[x]のイデアルだから、ｃ_１ｃ_３γ_１∈Ｉ、ｂ_１ｂ_２＝ｃ_１ｃ_３γ_１ｂ_３∈Ｉ。
ＩＱ[x]∩Ｚ[x]⊂Ｉが示された。

**１３２人目の素数さん** · 2011/05/03(火) 12:00:44.65

sage

**１３２人目の素数さん** · 2011/05/11(水) 16:41:18.90

東北大学大学院情報科学研究科数学教室 2011年3月実施
第１０問以下の性質をもつ有限群が存在するときは説明を付してその例を一つ挙げ、
存在しない場合はその証明を与えよ。
（１）巡回群でない可換群
（２）位数が同じで同型でない二つの群
（３）単位元以外の元の位数が２の非可換群
（４）正規部分群でない指数２の部分群をもつ群
解
（１）二つの、位数２の群からなる直積。これは巡回群ではない
（２）二つの、位数２の群の直積と、位数４の群。どちらも位数は４．

**１３２人目の素数さん** · 2011/05/16(月) 17:57:29.05

>>27
（３）
単位元以外の元の位数が２の有限群は可換である。

**１３２人目の素数さん** · 2011/06/02(木) 19:41:35.03

え

**あんでぃは非存在** ◆AdkZFxa49I · 2011/06/06(月) 13:29:32.84

あんでぃ

ゆ ◆KkNV/VOqcw · 2011/07/06(水) 23:50:46.47

笑えるワナ。

**あんでぃ** · 2011/07/07(木) 09:44:45.80

東北　やさしすぎるｗ
学部2年レベルｗ

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/07(木) 16:35:33.81

確かに易しいな。

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/10(日) 00:38:27.12

でも、お前等虚偽院生ですらないからな。
タダの嘘つきｗ

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/25(月) 20:53:39.65

三角形の全ての内角の和が180度であることの証明

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/25(月) 22:35:00.66

２が３より小さい証明

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/11(木) 09:44:38.55

a^2≧0またはa^2<0の証明

◆YeNleXj6MwwY · 2011/08/15(月) 10:23:01.01

　|>､＿_ ／|ﾌ
　〉｡,　o　く　/＼
　 b ～　O ヽ〉 /
　（>　＜ノ ∨
　　（､＿（、ノ
　　￣　￣

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/31(水) 12:53:20.75

2桁のナルシスト数が存在しないことの証明

2桁のナルシスト数を10x+yとおく。(xやyは1から9の自然数)
すると、 10x+y=x^2+y^2
変形して x(10-x)=y(y-1) :①

(ⅰ) xが奇数のとき
x(10-x)は奇数なので、y(y-1)が偶数である前提より、①は解なし。

(ⅱ) xが偶数のとき
x(10-x)は4の倍数となるので、yとy-1のいずれかは奇数である前提より、y=4,5,8,9。
∴ x(10-x)=12,20,56,72
しかし、12,20,56,72のいずれもx(10-x)では表せないので、①は解なし。

(ⅰ)(ⅱ)より ①を満たすxやyは存在しない。 Q.E.D.

**１３２人目の素数さん** · 2011/09/03(土) 03:32:23.08

よく見ろ、上がってる東北大のは数学専攻じゃなく情報系だぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2011/09/03(土) 03:50:35.05

有限の仮定を落としてもなりたつよ。＞＞２８

**１３２人目の素数さん** · 2011/11/19(土) 17:07:37.95

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

**１３２人目の素数さん** · 2011/11/19(土) 17:08:15.85

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

**１３２人目の素数さん** · 2011/11/19(土) 17:09:24.84

魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険知ったかブッタの日本人
失敗作

テロ資料を忘れずに

**１３２人目の素数さん** · 2011/12/06(火) 07:31:10.17

ブールだいすう
(p∧q)∨(q∧r)∨(r∧p)＝(p∨q)∧(q∨r)∧(r∨p)
証明は忘れた

**１３２人目の素数さん** · 2011/12/09(金) 15:23:25.31

>>45

検算してみた

p q r
0 0 0 ---- ---- ----
0 0 1 ---- ---- ----
0 1 0 ---- ---- ----
0 1 1 q∧r ---- ----(左辺)
1 0 0 ---- ---- ----
1 0 1 r∧p ---- ----(左辺)
1 1 0 p∧q ---- ----(左辺)
1 1 1 p∧q q∧r r∧p(左辺)

p q r
0 0 0 ---- ---- ----
0 0 1 ---- q∨r r∧p
0 1 0 p∧q q∧r ----
0 1 1 p∧q q∧r r∧p(右辺)
1 0 0 p∧q ---- r∧p
1 0 1 p∧q q∧r r∧p(右辺)
1 1 0 p∧q q∧r r∧p(右辺)
1 1 1 p∧q q∧r r∧p(右辺)

あ、ホントだttた

**１３２人目の素数さん** · 2012/01/03(火) 12:57:23.28

＞＞
代数的閉体kを係数とする多項式F\in k[X_1,...,X_n]が
互いに割り切らない規約多項式の積に分解されているとする。
F=F_1^{e_1}...F_m^{e_m},e_I>0.
このとき、V(F)の既訳成分への分解と、V(F)のイデアルは
V(F)=V(F_1)U...UV(F_m), I(V(F))=(F_1...F_m).

ここでV(F)はFの零点の集合。

**１３２人目の素数さん** · 2012/02/05(日) 21:52:58.15

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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**１３２人目の素数さん** · 2012/02/23(木) 21:03:12.28

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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/03(土) 22:45:41.29

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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/04(日) 11:16:15.53

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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/06(火) 22:54:01.75

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/06(火) 23:28:45.42

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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/07(水) 12:49:09.97

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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/07(水) 21:23:17.87

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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/10(土) 16:33:38.44

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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/10(土) 21:25:44.76

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**１３２人目の素数さん** · 2012/03/10(土) 23:45:34.50

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**猫vs運営** ◆MuKUnGPXAY · 2012/03/11(日) 02:03:07.88

猫

**１３２人目の素数さん** · 2012/03/13(火) 20:13:11.86

自分で考えた厨房でもできる証明問題

二次関数y=ax^2上にx座標がk(>0)の点Aをとる。
点Aとy軸について対象な位置に点Bをとる。
原点をOとするとき、△OABの面積は|a|k^3で表されることを証明せよ。