周りを多少でも面倒見る姿勢を見せりゃいいんじゃね？

係員の仕事に不備があってもカバーして、係として一定レベルのアウトプットに仕立てるのが係長の仕事だろ。

後輩のミスを見付けて一緒に直してやる、スケジュールを守れてるか気を配って遅れてたら手伝うとかしてれば、「すぐ係長にしても大丈夫そうだ」ってなるよ、きっと。
それはまさに係長がすべきことで、それをヒラでやれてるんならもう上げようぜ、ってなる。
見てる限り、そういう面倒見の良い人が早めになってるような。

自分の仕事に専念していっぱいになってたんじゃ、「この人を係長にしたとき、係員が急に休んでもカバーできるかな」と不安を感じる
係長になったら、自分がどんだけいっぱいいっぱいでも部下が休んだらカバーせざるを得ないんだから。たとえ物理的に無理でもな。