【月面着陸の方法】特に着陸の機械力学的な証明。

**名無しさん＠お腹いっぱい。** · 2012/05/21(月) 03:25:43.28

アポロとルナ以来見られていない月面への着陸プロセスについて突っ込んで解明するスレッド

**名無しさん＠お腹いっぱい。** · 2012/08/29(水) 08:34:34.66

アポロ着陸船で月面着陸が可能かどうか、簡単なモデルを考えて計算してみた

アポロ司令船は月面上空110kmくらいの所を周回していて、このくらいの高度だと
重力加速度は月面よりも10%ほど小さくなっているが、計算を簡単にするために
月面から司令船の周回軌道まで重力加速度は一定の値gであるとする

まず司令船から分離した着陸船は高度を保ったまま水平方向に逆噴射して速度を落とし、
速度0の状態になったらそこから鉛直下向きに自由落下、そして適切なタイミングで
再度逆噴射して減速し、速度が0になった瞬間に月面に着陸するものとする

逆噴射を開始した瞬間の着陸船の初期質量をMo、着陸船の降下用エンジンの推力をF、初速度をVoとすると、
逆噴射開始からt秒後の着陸船の加速度は進行方向逆向きを正として

a = F/(Mo-rt)

となり、t秒後の速度Vはこれを時間で積分して

V = ∫adt = -(F/r)*ln(Mo/r-t)+(F/r)*ln(Mo/r)-Vo　－①

となる
減速に必要な時間は①をV=0とおいて解くことで

t = (Mo/r)*(1-exp(-r*Vo/F)) －②

と求められるので、減速が完了し自由落下を開始した瞬間の着陸船の質量は

Mo'=Mo*exp(-r*Vo/F)　－③

となる
ここで、降下用エンジンに使われるハイパーゴリック推進剤の比推力は300秒程度であり、
降下用エンジンの推力が44.1kNであることから、1秒間あたりの燃料消費率は44.1*1000/(300*9.8)=15.0kg/sとなる
上空110kmにおける軌道速度は1630m/s、着陸船の総質量は14696kgであるから、Mo=14696、Vo=1630、F=44100、r=15を
③式に代入するとMo'=8441kgとなり、これが自由落下開始時の着陸船の総質量となる
一方、この減速に要する時間は②より417秒となる

**名無しさん＠お腹いっぱい。** · 2012/08/29(水) 08:35:26.75

>>154続き

次に、この質量Mo'の月着陸船が鉛直下向きに自由落下していき速度Vo'に達し、そこから逆噴射して
減速しつつ月面に着陸することを考える
逆噴射開始からt秒後の着陸船の加速度は鉛直上向きを正として

a = F/(Mo'-rt)-g

なので、速度Vはこれを時間で積分して初期条件(t=0のときV=Vo'）を代入することで

V = -(F/r)*ln(Mo'/r-t)-gt+(F/r)*ln(Mo'/r)-Vo' －④

と求められる
④式においてV=0になる時のtをTfとすると、Tfが2回目の逆噴射開始から減速して着陸するまでに要する時間となるが、
この式を代数的に解くのは困難なので、数値計算によりTfの近似値を求めることにする

Tfの近似値が求められたとすると、位置は速度を時間で積分して

x = (F/r)*((Mo'/r-t)*ln(Mo'/r-t)+t-Mo'/r)-(1/2)*gt^2+((F/r)*ln(Mo'/r)-Vo')t+C

となり、t=Tfの時x=0なのでこれを上の式に代入して

C = -(F/r)*((Mo'/r-Tf)*ln(Mo'/r-Tf)+Tf-Mo'/r)+(1/2)*gTf^2-((F/r)*ln(Mo'/r)-Vo')*Tf

と求めることができるので、自由落下開始からt秒後の地表からの高度xはCをCfと書き表すことで

x = (F/r)*((Mo'/r-t)*ln(Mo'/r-t)+t-Mo'/r)-(1/2)*gt^2+((F/r)*ln(Mo'/r)-Vo')t+Cf

として求められ、2回目の逆噴射開始時に必要な高度はこれにt=0を代入することで

h1 = (F/r)*(Mo'/r)*(ln(Mo'/r)-1)+Cf －⑤

となる
つまり、初期値として適当なVo'を設定することでTfとCfが決定し、それによりh1を求められる

**名無しさん＠お腹いっぱい。** · 2012/08/29(水) 08:37:05.04

>>155続き

次に、1回目の減速が終了し鉛直下向きに自由落下が始まった瞬間から2回目の逆噴射開始までに落下する距離を考える
初速度が0で加速度がgであるので、この自由落下プロセスにかかる時間は(Vo'-0)/g = Vo'/g
t秒間落下した時の落下距離はx = (1/2)*gt^2 であるから、自由落下による落下距離は

h2 = (1/2)*g*(Vo'/g)^2 = Vo'^2/(2g) －⑥

よって、着陸船が分離した時の周回高度Hは⑤と⑥より

H = h1+h2 = (F/r)*(Mo'/r)*(ln(Mo'/r)-1)+Cf+Vo'^2/(2g) －⑦

となるので、適当なVo'を設定すればその時のTfを数値計算によって求め、それから⑦によりHを求めることができる
従って、後はHが母船の周回高度に等しくなるようなVo'を求めればよい
実際にF=44100、r=15、Mo'=8441、g=1.62を用いて計算すると、Vo'=504の時④式から数値計算によりTf=119となり、
この時H=109930≒109.9kmとなって母船の周回高度に等しくなることが分かる
従って2回目の減速プロセスに要する時間は119秒であり、1回目の減速に必要な417秒と合わせて536秒分の燃料が必要である
燃料消費率は15kg/sなので、必要な燃料は536*15 = 8040kg
月着陸船の総質量14696kgのうち上昇段の質量は4547kgなので下降段の質量は10149kgとなり、8040kgの燃料は搭載可能であり、
月着陸船の能力であれば高度110kmを周回する母船から分離し逆噴射により月面に着陸することは不可能ではないと考えられる

というわけで、かなり荒っぽいモデルだけどアポロ月着陸船の小さなエンジンでも月に降りることはできそうな感じ
実際の着陸船がどのくらいの燃料を積んでたのかは知らんが