「物理数学の直感的方法」とかいう本

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/04/08(日) 10:39:14.09

読んだ人いる？
結構わかりやすかった。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 20:00:59.99

でもこれを使った計算テクニックは東大にお任せしたい。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 20:21:44.19

じゃあ最後の第7章「偏微分方程式」を読みます。
「物理数学とは何か」っていうと上で列挙した項目が大体含まれる訳ですが、中でも重要なのが偏微分方程式ですね。これに向かって進む感じです。

・偏微分方程式
用語の説明。線型方程式の解の重ね合わせの原理についても書かれています。双曲型・楕円型・放物型に分かれます。
双曲型：波動方程式
放物型：熱伝導方程式
楕円型：ラプラス方程式
標準形。

・波動方程式
ダランベールの解。左に進む波と右に進む波を重ね合わせる。ストークスの波動公式。初期値問題。コーシー問題。境界値問題。変数分離。固有モード。節。基音と倍音。初期値境界値問題は混合問題という。
・熱伝導方程式
変数分離法。線型結合(解の重ね合わせ)。
・無限区間での波動方程式
有界条件。ダランベールの解からストークスの波動公式だったのが、フーリエ級数からストークスの波動公式になった。両方とも重要ですね。
・無限に長い熱伝導方程式
変数分離法。有界条件。積分順序の交換という危険なことをやっているが有界かつ絶対積分可能なので正当化されます。パラメーターに関する積分を使うので公式集が必要→計算ノートに解説がある親切ぶり。
・波動方程式
矩形板の横振動。変数分離法。固有関数。固有値。節線。縮退しない。多様な振動パターン。2重フーリエ級数。色々用語が出てきましたが難しくはないですね。
・ラプラス方程式とポアソン方程式
熱伝導方程式。斉次形がラプラス方程式で、非斉次形がポアソン方程式です。電荷分布と電位の関係。ガウスの定理。グリーンの定理。φの連続性。一意性。グリーンの公式。ヘルムホルツ方程式。極座標。円柱座標。ルジャンドル関数。ベッセル関数などの特殊関数。
・太鼓の振動
極座標を使う。n次のベッセル関数。イメージ化する。

古典物理の方法・物理数学の到達点の一つとしてうまくできてますね。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 20:32:11.55

最後まで来ました。

はじめに・・・物理では数学を用いることが必要。専門書を読んでも即効性がない。概念のイメージが沸くように気を配った。練習問題は自力で解くこと。より高度の専門書に進む。

更に勉強するために・・・複素関数論。特殊関数。公式集も持っていると便利。

公式集・・・三角関数。双曲線関数。微分法。積分法。パラメーターに関する定積分。テイラー展開。ベクトル解析。極座標系。円柱座標。ヤコビアン。合成関数の偏微分。積分定理(平面におけるグリーンの定理・ガウスの定理・ストークスの定理)。
忘れた時に使えますね。

**わしにはわかりませ～ん** · 2018/05/28(月) 20:35:51.64

https://www.youtube.com/watch?v=Y5J33LdXK58

おい、お前ら

どうしてこんなにバカなことやれたんだ・

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 20:45:34.80

超速読で全部の復習を終わらせました笑
スッキリしていて簡単で読みやすい癖のない本だと思った。

**わしにはわかりませ～ん** · 2018/05/28(月) 20:50:09.29

世界の愚かな権力者どもよ。聞け！　　これ等の放射能＝死の灰はお前らの国も襲

う。言っている意味わかるか。愚かだからわからないな。自分たちも似たようなこと

してるからな。やめろとは言えないよな。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 21:04:03.51

残業をおかしいと思わない臣民が選んだ政府だ。こうなっても自業自得と言えるかな。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 21:07:43.21

日本の国はまともな国ではない。な、あのバカ役所。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 21:14:15.81

わしの家の爺様は今の権力者の先輩じゃ。わしの爺様を敬え。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 21:16:43.93

日本の経営者はここまでバカなのかと言ってる。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 21:19:55.50

>>108

いや失礼。バカなのはあの住宅課だよ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 21:32:42.20

いまでも原発を造るという馬鹿に問いたい。出来た放射能はどうするんだ。将来のチミたちの

子供孫に何とかしてもらうだと。まあわしには子や孫はいないからわしが言うならわかるんだが。

エッ　なら黙ってろ。だって、そうだな。　なんせここはわしには外国だ。　

　
なら

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/28(月) 22:16:02.62

つ　コスモクリーナー

**わしにはわかりませ～ん** · 2018/05/29(火) 05:09:06.93

ニュートンが何でにゅうとん力学を建設出来たのか。微積分を発明したからだ。

運動量やenergyなどの関係を的確につかむためには微積分学の知識が必要だ。

わしも●●論の発明をやった。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 05:13:47.60

https://www.youtube.com/watch?v=-vM0OXmYiF4

ほら臣民ども。聞け！特にイガラシ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 05:23:23.57

だがにゅうとんはかれのプリンキピア（しぜん哲学の数学的原理）には微積分を使っていない。

というのは、当時の数学者がやかましく攻撃するだろうと思い、たぶんまず微積で結果を導き出し

それを幾何学的に証明したんだろうね。だから極めて複雑で難解で何でこんな考えが出来るんだという

事になったんだろう。わしはそんなことはしないよ。

**わしにはわかりませ～ん** · 2018/05/29(火) 05:59:52.99

なぜなら●●論は数学の基礎でもあるからな。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 19:50:42.73

このスレにはε-δ論法が好きな人がいるみたいなので
俺も影響されて解析の本を読むことにしました。
「ルベーグ積分入門」です。

第1章「序説」から読みます。
微分積分学の復習。お話です。原始関数を求めることを積分するという。連続函数であること。
・連続関数の原始関数
不連続点があると駄目な場合がある。縦線図形。
連続関数ならば原始関数を持つ。
・連続関数の定積分
近似和。微分積分学の基本定理。
・リーマン積分
連続であることは実は必要ではない。有界であることは必要。微分学の平均値の定理。項別積分可能性が面倒くさいのがリーマン積分の欠点なのですね。言葉で言うと「一様収束すれば良い」と簡単なのですが。
しかし一様収束性というのは関数列にとってかなり厳しい条件です。
・ルベーグ積分
有界性が必ずしも必要でない。リーマン積分の値と一致する便利さ。変動の大きさ。ルベーグ積分は横軸での分点分割の代わりに縦軸での分点分割から出発する。
リーマン積分の不都合がルベーグ積分によって完全に除去できたわけではない。ルベーグ積分は一様収束じゃなくても有界ならば良い。
・ルベーグ積分の抽象化
多変数についても同様に定義できる。測度論。ルベーグ積分スティルチェス積分。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 20:04:16.71

第2章「実数・点集合・関数」を読むね。

この本は第2章までが微分積分学の復習になってます。ルベーグ積分は第3章から始まるのです。
・集合
閉区間と開区間。右半開区間と左半開区間。便利なので使おうと思う。
・実数
有界とか上界とか上限の話。基礎ができてると、この辺で止まらずに済みます。稠密な集合。
・関数と写像
言葉の確認だけです。
・逆写像と一対一の対応
全射・単射・全単射。恒等写像。
・可付番集合
集合についてはより深く考察しておきます。
・可付番集合の色々
直積集合。
・集合の結びと交わり
こんなことまで？と思いますが基礎を振り返ってくれるのは実はありがたいことですね。すっ飛ばして進むよりも安心です。
・開集合
空集合も開集合である。内核。
・開集合の構造
直和。結び。補集合。閉集合。集合についての演算。触点。
・無限大の記号
ルベーグ積分では実数に準じた性格を与える、
・数列の極限値
無限大も混ぜておく。最大極限値と最小極限値。

軽くでも復習から入ると少し楽ですね。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 20:06:26.96

数学の勉強法に「書いて覚える。書いて理解する」というのがあります。俺がここに書いてるのもその一環です。メモ程度でも書き出すことによって頭の中がスッキリすることがあります。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 20:32:47.11

第3章「ルベーグ測度」を読むね。
・測度の問題
長さという言葉の代わりに測度という言葉を使う。抽象化する。直和。無限大も含めた演算になることに注意する。理想は実現しないので次善の策を講じる。なるべく広い範囲に測度を定義したい→外測度。
平面においては面積、空間においては体積。
・外測度。測度を緩やかにする。直和が要求されない。
・ボレル‐ルベーグの被覆定理
これは重要な定理。開被覆。有限被覆。ハイネ‐ボレルの定理ともいう。有限被覆可能。区間縮小法。
・区間についての諸定理
半開区間とは断りなく右半開区間を意味するものとする。
・外測度の定義。半開区間の列による被覆。
・可測集合。ルベーグ可測。
・可測な集合の例。普通の集合(区間)は可測。
・可測集合族。可測集合全部からなる集合を可測集合族という。加法的集合族。ボレル集合族。ボレル集合。
・測度。ルベーグ測度。
・測度についての諸定理
・等測包。等測包はいつでも存在する。
・零集合。零集合の部分集合は零集合である。カントールの零集合(三進集合)。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 20:42:18.57

もしかして、吉田伸生のルベーグ積分入門を読んでる？
もしそうなら、このクソスレでやるべき内容ではないと思うぞｗ

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 20:54:39.00

>>122
違いますよ、吉田洋一の文庫本です(元は新数学シリーズ)。リーマン積分とルベーグ積分の関係とかが他の本よりも詳しく書いてあって面白いです。
証明と反例のバランスもいい。知識が身につきますね(ルベーグ積分だからといって何でも「積分可能」というわけではないので)。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/29(火) 22:11:59.19

伊藤ルベーグかと思った

**わしにはわかりませ～ん** · 2018/05/30(水) 02:55:35.31

数学の土台は集合論にある。がその集合の元という概念は、わが●●論の存在の概念

定義によって基礎づけられるのだ。生命の概念も、生命を存在として現象から切り出

せれば生命として扱える。存在として切り出された表現には●●論の表現の運動法則

が適用が出来て統一的に扱える・・・・万有方程式論なのだ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 03:08:18.28

ネバーエンディングストーリー　で、王女幼心の君が言う。私に名前を付けてください。

そうすれば、この国ファンタージエンはよみがえるのです。

そうだ。それに名前を付ければそれは存在化する。連続する自然現象からその一部

を存在として切り出せたのだ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 07:46:08.50

集合はもう古い。

**わしにはわかりませ～ん** · 2018/05/30(水) 08:05:51.10

おはよ。人類とは大衆のことである。我ら少数の例えば天才は例外であって、例外は

何にでもあって、決して人類を代表はしていない。だから人類のために、とは大衆の

為にということだな。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 08:19:18.22

Ⅰ、存在は区別できる。

Ⅱ、存在は保存する。
　
Ⅲ、存在は作用する。

という存在の三つの条件は

デカルトと同じく、まず何よりも存在すると認めた「私」から導き出したのだ。決して適当に

思いついたのではない。また保存は、統計力学のLiouvillの定理を思い出してほしいね。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 08:25:08.31

Ⅲ、存在は作用する。は、存在は他の存在に作用するだな。つまり数学の類を作る。

われわれは存在の類の造る宇宙に属してるのさ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 08:46:13.44

人類とは大衆のことである。　ということは人類のために、ということは、どこにでもいる

大衆のために、であって、当然大衆は人類のことを無視できない・・・世界連邦だな。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 11:02:01.29

http://www.vwcdexpo.com/office-whitening/

**わしにはわかりませ～ん** · 2018/05/30(水) 14:26:22.54

無の分解がプラスとマイナスの存在に分かれるという意味は、プラスとマイナスの間

に区別する空間が必要だ。ということで、からその空間は、存在の条件の一つ

Ⅲ、存在は他の存在に作用する。から、始めの状態　作用受けてる状態　結果の

状態、の三つの状態が　空間には必要だが、これが空間は3次元である理由だな。

また、区別は、始めにプラス、次に、マイナス　という時間もある。またこれら時間

空間が共通の保存量で結ばれてる。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 14:29:35.84

まあ詳しくは、近く、わしが自宅サーバで●●論の原理を自作本で安く販売するから。こうご期待。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 17:36:20.09

今日は第4章「可測関数」を読むよ。
可測関数というのはルベーグ積分可能な範囲の関数のことだよね。
・連続関数
有限な関数。連続性にはε‐δ論法が使われるよ。
って言うか本書の全編に渡ってε‐δ論法が使われているから、苦手な人は読むといいかもね(苦手だと読めないか)。
・可測関数
可測集合で連続な関数は可測関数である。殆ど至る所成立する。下に半連続。
・可測関数の加減乗除
可測性に関しても線型性が成り立つよ。
・可測関数列
最大極限関数。最小極限関数。
エゴロフの定理→一様収束可能に関する定理。
・単関数
有限集合。正値関数。増加関数列。単調関数列。
この辺はリーマン積分の議論と平行ですね。
・単関数と特性関数
可測関数と可測集合の関係のキー。
・ルジンの定理
有限な可測関数からの連続性定理です。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 17:57:49.80

次にいよいよ最大の山場である第5章「ルベーグ積分」を読みますね。

・正値関数の積分
まずは可測な正値関数についてのみ議論します。近似和。
平行移動可能性を証明して負値に広げます。
・正値関数の積分の性質
・単関数列の項別積分
項別積分定理がリーマン積分だと面倒なのですが、この定理によって解消されます。ルベーグ積分が有り難がられる理由ですね。
・積分可能な関数
積分確定。積分可能。リーマン積分可能でない関数(ちょいと異常な関数)に対してもルベーグ積分は出来ちゃうんです。まるで実数と複素数の関係のようですね。
・項別積分定理
正値関数から進めてきていよいよ一般の項別積分定理の証明です。ファトゥの定理。ルベーグの項別積分定理。有界性。殆ど至る所で定義されている。ほんとすごい。
・不定積分
集合関数。点関数。このレベルに来ると微分と積分の関係が単なる逆演算でなくなるので面白いです。
・ルベーグ積分とリーマン積分
有限な連続関数ならばリーマン積分可能である。逆は成り立たない。幾つも例が出てきました。
・積分と原始関数
微分可能→有限な連続関数。ルベーグの項別積分定理。
・積分の定義
不足和と過剰和。または縦線集合を使った別の定義。
ルベーグ積分というのは同等な理論構成がたくさん作れて、各々の数学者が「エレガントな理論構成」を競うことの出来る場となっている。
微積分やルベーグ積分論において自分で理論構成できるように頑張ります。
ここまでで登頂に成功しました。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 18:19:20.44

前人未踏の山ではないので、ちゃんとした登りやすい登山道が整備されていました。それ相応の道具立てで登れます。

しかし危険なルートも存在します。ということで続けて第6章「微分法と積分法」を読むね。
不定積分。導関数を不定積分する問題。
解答は「fが微分可能でf'が有界ならば、OK」。
・ビタリの被覆定理
丁寧に説明してくれますが正確に理解するためにはε‐δ論法以外に前もってコンパクト集合に関する知識も必要ですね。
・ディ二の導来数
微分の定義の式のsupのδ→0の極限です。
・増加関数と微分法
増加関数は殆ど至る所で微分可能である。また減少関数も殆ど至る所で微分可能である。ビタリ式被覆。
・増加関数の導関数の積分
「微分したあと積分すれば元に戻るんじゃん？」とか思ってはいけません笑。特異関数が存在しますので。
ルベーグ積分は積分可能条件が緩いので、逆に後戻り(微分法)は「良い性質」を持たない限り保証されないのです。
・不定積分と微分法
・有界変動関数
全変動。増加関数。
・絶対連続な関数
普通の連続関数では条件が足りない。絶対連続の定義。またε‐δ論法が出てきました笑
最初の頃にいっぱい出てくるので誰でも慣れますね。
絶対連続→有界変動。ルベーグ分解の定理。絶対連続関数(不定積分)+特異関数に分解される。納得の行く結論が簡単に出ました。
・原始関数と不定積分
連続な正値増加関数。ルベーグの項別積分定理。差も増加関数。
いやー大変でしたね。でも論理的構成の力強さを実感します。「ルベーグ積分は導関数がいつでも積分可能であるような積分ではない」ということです。ちょっとだけ残念ですね。ダンジョン積分やペロン積分において解決されるということです。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 18:36:50.92

まず1章と2章で微積分の復習をして、
3章4章5章でルベーグ積分を語り(ここが山場)、
6章と7章で応用に進み、
8章9章10章で理論の総まとめをする。
全体の構成がよく考えられていて「今何をやっているのか」がわかりやすい良い本ですね。
じゃあ今日の最後は第7章「多変数の関数の積分」ですよ。
と言っても一般のnでやらずにn=2でやります。不満を持つ人もいそうですね。

微積分にしてもそうだけど急な一般化は無駄が多い気がする。自分で例を作りながら読めばいいわけだけど、具体的な次元に抑えた本も多くの人にとって有用です。

定義域が数直線上から平面になっただけで格段の難しさになります。で、また集合から始めます。開集合と閉集合。
・R^2における測度と外測度
有界な集合。ボレル・ルベーグの被覆定理。
・ 2変数関数のルベーグ積分
この辺は多変数関数の微積分をやってないと類推が効きませんよ。
・フビニの定理
この定理も有用ですね。ルベーグの項別積分定理。殆ど全てのxに対して。
・連続写像
写像の連続性。近傍。開集合。位相変換。合同変換。回転と平行移動の合成です。前にやりましたね。
・合同な点集合と外測度
合同の定義。スッキリとに直感的に分かりやすい定義です。
・縦線集合と積分
正値関数。可測性。縦線集合を元にルベーグ積分を定義しても同じものが出来上がる。定積分と縦線集合の結びつき。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 19:03:56.57

ε‐δ論法の次は集合論ですか笑
ルベーグ積分が終わったら集合論の復習もしたくなりました。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 19:54:26.99

>>139
コテつけろよ

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 19:59:27.55

>>125
徳伸一（中央大学二部物理科卒）

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 22:16:02.37

>>112

https://www.youtube.com/watch?v=KgM4_nOEqAg

バカな連中だよ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/30(水) 22:46:36.99

今どき、ε‐δ論法なんて古臭いことやるやついないだろ。www

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/31(木) 17:08:39.06

今の時代はやっぱ超準解析ですよね

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/31(木) 17:27:33.78

超準解析も苔が生してきたからな

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/05/31(木) 17:28:56.81

コテ付けました。
じゃあ第8章「測度空間」読むよ。
今までのまとめに入ります。
・ルベーグ・スティルチェス積分
振り返ってみるとルベーグ積分の条件のうち除外出来そうな条件があった。そこで4つの条件のうち2つを除いて他の積分を定義します。
ルベーグ・スティルチェス測度(b-aじゃなくてg(b)-g(a)でもよしとする測度)。g外測度を定義する。集合関数。
・Inのノルムについての定理。
・可測集合と測度
可測の意味。g測度。等測包。条件を減らして、より一般的な積分が、全く同じ論法で作られました。面白いですよね。
・ルベーグ・スティルチェス積分
必ずしも成立しない定理もある。これは言われれば当然ですが、概念を拡張するときに中々気づきにくいものです。
この積分は確率論で大切な役目を演ずる。
・測度空間
可測集合族、集合関数、可測関数の流れ。
で、ここでさらに思い至るのが、RがR^nに拡張されたので、実はR以外にも拡張できるかも？ということです。
加法的集合族。可測集合。可測空間。測度空間の要素を測度という。例によって合理的な定義は概念がひっくり返ってますね。等測包。零集合。積分可能。完備測度空間。有界。準有界な測度空間。準有界。
・完備測度空間
零集合と完備。ボレル集合。完備化の方法。加法的集合族。
・外測度の構成
天下りに定義してきたことの内幕。これによって自分でも再構成できるようになりますね。
数学では「なんでこういう定義なんだろう」と思うことが出てきますが、大抵色々やった後の辻褄合わせであるようです。つまり最後まで一通り全部見てみれば自ずから分かる事も多いと言えます。
・可測集合と測度の設定
測度。零集合。完備。Iが可測であることの証明とここで扱う測度空間が準有界であることの証明。
等測包。正則な外測度。

この章で、大きな理論においては必ずしも目一杯概念の拡張が行われているわけではなく、美味しい性質を含みつつ拡張していることがよく分かりますね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/05/31(木) 17:45:40.64

お次は第9章「測度空間における集合関数」です。
大抵のルベーグ積分の本に書いてある重要定理の証明です。

・加法的集合関数
測度空間における測度でなくても2条件を満たしている集合が存在する。
無意味な算法が現れることを防ぐため一方は上に有界、他方は下に有界としておく。有り得ない場合や無意味な場合を除外するための定義は、数学を構成する上で身につけておくべきテクニックですよね。
・ジョルダン分解
正集合と負集合。ハーン分解。役に立つ補題です。ジョルダン分解。有界な加法的集合関数。
・絶対連続な集合関数
特異。不定積分はμに関して絶対連続な加法的集合関数である。背理法で示す。ハーン分解を使う。μとνは互いに特異。
・ラドン・ニコディムの定理
これですね。加法的集合関数νは不定積分として表し得る。
証明では最初からνが測度であるとして良い。ルベーグ分解。

場合分けの際、「以下同様に」とやらずに、繰り返しを厭わず証明してみると演習問題をやる以上の効果がありますね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/05/31(木) 18:05:46.30

最後の第10章「直積測度空間とフビニの定理」を読みます。
フビニの定理は微分積分学でも出てきますね。このような有用な定理を、概念の拡張においても成り立たせることが数学では重要です。

・直積測度空間
直積というのは普通の直積のことです。つまり(x, y)。
区間。可測区間。有限個の直和。可測集合族。完備測度空間。これのセットで完備直積測度空間。加法的集合族。
ボレル集合族の時と同じ流れで最小直積可測空間を定めることができる。その後、最小直積測度空間を作る。
切り口。可測関数。

・完備直積測度空間
可測集合。加法的集合族。可測集合族。測度。等測包。
・測度の積分表示
完備測度空間であることを仮定する。正値関数。
記号 {X, M, μ} のことを単に X と呼ぶ。ルベーグの項別積分定理。等測包。可測な正値関数。零集合に属さない要素。それぞれが準有界ならば直積も準有界になる。
・フビニの定理
例外零集合。この集合の上でも累次積分に置き換えることが可能であることが証明できます。
・最小直積測度空間
別証です。誰もが思いつく2つの道の双方で進んでくれるとスッキリします。成分測度空間。所々箇条書きされていて条件の把握が容易になってます。いいですね。
ルベーグの項別積分定理。有界。単調族。集合による同値の証明。
フビニの定理の証明が終わりました。基礎がはっきり分かると安心して積分を計算できますね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/05/31(木) 18:25:43.69

付録「反例その他」を読みます。
直感では思いつきにくい反例は覚えておくと良いと思います。以下で○は正しい命題、×は例外のある命題です。

○積分可能→有界
×リーマン積分可能→不連続点で微分不可能
×有界で原始関数を持つ→リーマン積分可能
ボルテラの反例。自己稠密。完全集合。
×リーマン積分可能で関数列の極限値が有界→積分可能
ディリクレの関数。
○可測でない集合の例
×ルベーグ可測な集合→ボレル集合
連続な狭義増加関数。中間値の定理。カントールの零集合。ボレル・ルベーグの被覆定理。
×ルベーグ積分可能な関数同士の積はルベーグ積分可能
×積分と極限の順序交換
×fが微分可能→f' はルベーグ積分可能
×「連続写像f：R^2→R^2かつG は開集合」→f (G)は開集合
○p進記法。ガウスの記号。

成り立たない場合の「証明」は反例を挙げれば済むので反例が集めてあると便利そうですね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/05/31(木) 18:33:03.80

「前書き」を読みます。
ルベーグ積分とはどんなものか。具体的なところから抽象的なところに進むように書いた。

「解説」も読みました。
『零の発見』の著者。理論構成の巧みさ。エッセイストとしての筆力。参考文献まで読むように。

ということで「参考文献」に進みます。
伊藤清三『ルベーグ積分入門』が挙げてありますね。ハール測度。拡張された積分についての議論が載っている本の紹介もあります。(終)

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/05/31(木) 18:37:40.08

専門書の体裁ではなく、普通の文庫本でこのような内容が読めるとは日本はいい国ですね。大昔の本よりも活字が読みやすいと思います。
名著はなるべく絶版にしないで出版し続けてほしいとは思いますけど。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/31(木) 20:48:29.37

直観的方法読んでた人と違う人？

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 20:37:01.06

>>152
同一人物です。

さて今日から「関数解析(岡本・中村)」を読むよ。この本は薄いです。まずは第1章「ノルム空間とバナッハ空間」です。

複素ベクトル空間で考える。部分空間。線型独立。線型写像。ノルムの定義。斉次性、三角形不等式。ノルム空間。収束性。連続性。三角不等式。コーシー列。
一般的なノルム空間では必ずしも成立しない。完備。

バナッハ空間とは完備なノルム空間のこと。コーシー列が収束すること。無限次元ベクトル空間。有界な無限数列。
関数空間の演算の定義の仕方。

・有界作用素
線型作用素。有界性の定義。Cの下限を作用素ノルム。
三角不等式。有界性と連続性。
有限次元複素ベクトル空間の有界線型作用素は行列と同じ。

・レゾルベントとスペクトル
解ける時、レゾルベント集合に入るという。
全射、単射、有界な逆作用素が存在すること。
解けない時、スペクトルに入るという。
ノイマン級数展開。等比級数の和の公式と同じ。スペクトルは閉集合。レゾルベントはzに関して正則であり、無限回微分出来る。正則。
初等的な複素関数論の理論が殆どそのまま成立する。コーシーの定理。コーシーの積分公式。コーシー・アダマールの公式など。
第1レゾルベント方程式。スペクトル半径。劣加法性。テイラー展開。コーシー・アダマールの公式。絶対収束。

・ルベーグ空間L^p
有界性。ノルムの定義。いわゆるp乗ノルム。本質的有界。
完全に同じでなくとも殆ど至る所で同じならば同じと見做すので、厳密に言うと関数の集合ではなく関数の同値類の集合ということになる。
ルベーグ空間はバナッハ空間である。ヘルダーの不等式。ミンコフスキーの不等式。完備性。この性質はリーマン積分可能な関数の範囲では成立しない。L^pくのバリエーション。

定義がいっぱい出てきましたね。これらはそんなに特別なものはなく自然に理解できるものばかりです。ルベーグ積分の時に出てきた測度空間もバナッハ空間に含まれています。
ヘルダーとミンコフスキー、有名不等式が出てきましたね。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/01(金) 21:13:14.13

>>153
＞同一人物です。
だったら数学寄りのルベーグ積分関数解析の本より
量子論に寄り添ったルベーグ積分関数解析の本でも見繕って読んだ方がこのスレの表題に沿ってるんじゃないの？。

なんか急に理工系の教養レベルで最低限やっといた方がいい数学というより普通に純粋数学寄りの本読むスレにしたのはなんで？

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 21:17:06.27

続いて第2章「ヒルベルト空間」です。
・定義
内積の満たすべき条件。双線型形式。シュワルツの不等式。三角不等式。内積空間。ヒルベルト空間とは完備な内積空間のこと。角度の定義。中線定理。分極公式。
エルミート空間。L^2空間。相加相乗平均の不等式。完備性。数列。2乗可積分関数。量子力学で出てきますね。

・正規直交基底
完全正規直交系。この収束性には興味ありますね。
ベッセルの不等式。パーセバルの等式。コイツらはいつもセットで登場しますね。
・基底の存在
可分性の仮定。これは思われるほど厳しい条件ではない。稠密な可算集合。可測部分集合。可算でないこと。対角線論法。
可分なヒルベルト空間には正規直交基底が存在する。シュミットの直交化法。線型代数学でやりますね。最小のものを取り出す。
・例
フーリエ関数系。真っ先に思い起こすと思います。平均収束。
ルジャンドル関数系。単項式の列の、シュミットの直交化法によって得られる。部分積分。ワイヤストラスの多項式近似定理。
エルミート関数系。エルミート多項式。ストーン・ワイヤストラスの定理。
ウェーブレット基底。平行移動とスケール変換。高速な数値計算が可能となる。
ハール関数系。正規性と直交性。ウェーブレットによる展開の収束は強い収束では有り得ない。
滑らかな急減少関数。フーリエ変換。多重解像度解析。
・共役空間とリースの表現定理
双対空間。線型汎関数。シュワルツの不等式。リースの表現定理。射影定理。ベッセルの不等式。直交性。直交射影。直交成分。共役線型。等長写像。

・ヒルベルト空間上の有界作用素
共役作用素。自己共役。ユニタリー作用素。逆作用素。自己共役な有界作用素を対称ともいう。
有界でない場合は違った意味を持つことに注意です。非負。自己共役部分と反自己共役部分。固有値。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 21:17:36.30

自己共役作用素の全ての固有値は実数である。もっと強く、自己共役作用素のスペクトルは全てRに含まれる、が言える。シュワルツの不等式。稠密な部分空間。
像。核(カーネル)。

・例
掛け算作用素。スペクトル半径。共役作用素。自己共役。ユニタリー性。
積分作用素。測度空間。可測関数。積分核。積分作用素。有界性。シュワルツの不等式。稠密。
積分作用素の固有値の性質を調べることは大変難しい。微分作用素のスペクトル解析は積分作用素の解析に帰着されることが多い。

距離の話以外は「ほぼ完全に線型代数学の話」なので分かりやすいですね。頭の中がスッキリします。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 21:22:14.82

>>154
このスレでコテを名乗っている人が「ε‐δ論法とか集合論とか」を持ち出してきて、他に書き込む人がいないのでその人に合わせて(感化されて)、解析の本を読んでいます。

たしかに教養レベルの数学ではないですけどね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 21:24:11.86

>>154
量子力学に利用する関数解析の本も次に読む予定です。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 21:31:58.27

と言うよりも、そもそもこの本自体が「応用系の本」です。
「まえがき」を読みますね。

本書は具体例から学ぶ、ユーザーのための関数解析の教科書。応用家のための入門書。
本書の目的は「関数解析が数理物理学や応用数学でどのように役立っているか」を解説すること。
ユーザーのための関数解析入門。
応用では流体力学や数値解析学から例をとる。
ページ数の関係でシュレーディンガー方程式からの例はとれなかった。

となっています。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 22:35:40.15

第3章「スペクトル定理」に行くよ。
この章も線型代数学と類似してます。
って言うかそもそもの成り立ちからして関数解析学≒線型代数学ですけどね。

・自己共役作用素の関数
連続関数。作用素の演算。ワイヤストラスの多項式近似定理。稠密な部分空間。スペクトル写像定理。可逆。有界線型作用素。非負作用素。
・直交射影
射影かつ自己共役を直交射影という。直交補空間。閉包。最小の閉部分空間。射影定理。直交分解。有界線型写像の核は一般に閉部分空間である。
・スペクトル射影
リース・マルコフの定理。コンパクト部分集合。有界線型写像。線型汎関数。非負。有限ボレル測度。スペクトル測度。分極公式。
非常に美しいですね。
有界ボレル可測。双線型形式。有界双線型形式。ヒルベルト空間上では有界作用素と一対一に対応する。リースの表現定理。単調増大。右連続。スペクトル射影。ルベーグの収束定理。コーシー列。一様有界。
・スペクトル分解
スティルチェス測度。ルベーグ・スティルチェス測度。
ここは「ルベーグ積分」でやったばかりです。右連続単調非減少関数。加法的集合関数。符号付有限測度。スペクトル分解定理。弱位相での積分。有界変動。
自己共役作用素の性質。
行列の固有値で学習する直和分解の一般化です。
有限次元の行列の話が、いかに都合の良い簡単な空間の上で定義されているかが分かりますね。
・スペクトルの分類
点スペクトル。連続スペクトル。絶対連続スペクトルと特異連続スペクトル。ラドン・ニコディム分解。離散スペクトルと本質的スペクトル。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 23:01:14.85

続きです。
測度論の復習。絶対連続。特異。離散的。特異連続。互いに直交していると考えて良い。これは視覚的にも分かりやすいし、有用な定理ですね。
絶対連続部分空間。特異連続部分空間。点スペクトル部分空間。ディラックのδ関数。点測度。階段関数。スティルチェス測度。固有ベクトルの線型和。
絶対連続スペクトル。特異連続スペクトル。点スペクトル。定義の交錯に注意(歴史的理由による)。
連続スペクトルと連続スペクトル部分。本質的スペクトル。離散スペクトル。極限点。孤立点。
・例
離散的シュレーディンガー作用素。エルミート行列。有界な自己共役作用素。対角化。直交射影。有限個の不連続点。
無限対角行列。スペクトルは点スペクトルのみ。閉包。可算だが閉とは限らない。

という事で、残念ながら「全てをアナロジーで理解する」ことは許されません。無限行列の場合は極めて簡単に見えるものでも奇妙なスペクトルを持ち得るのです。

スペクトル分解。掛け算作用素。逆関数の存在。狭義単調増大。カントール集合。微分作用素は有界作用素にならない。差分作用素。平行移動。ユニタリー作用素。
微分のアナロジー、隣接作用素。
ラプラシアンのアナロジー、差分ラプラシアン。
自己共役。

フーリエ級数展開。ユニタリー写像。逆写像。掛け算作用素。フーリエ級数展開は差分作用素のスペクトル分解。
掛け算作用素または無限対角行列。格子上のアナロジー。

物性論で重要な役割。数学的散乱理論。集積点。概周期数列。概マチウ作用素。ハーパー作用素。カントール集合。
・掛け算型のスペクトル定理
ユニタリー変換によって掛け算作用素に変換される自己共役作用素。証明は難しいが使い方は簡単で有用な定理です。

固有値の概念の拡張が行われました。概念を拡張すると、戻った時に元のものが非常に簡単に見えて嬉しいですよね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 23:06:14.17

ちょっと休憩します。

物理数学と言ってもかなり多様で、自分的には物理寄りより数学寄りの方が面白いんですけど、自分のイメージを数式抜きに伝えるのは難しく、「項目の羅列」になってしまうのは残念です。

まあそもそもの初めから、別に見ていて面白いものでもないだろうし俺は俺でこのまま続けていきますね。コテ付けましたんで扱いはご自由にしてください。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/01(金) 23:28:49.25

オレは幾何寄りなんだよなあ
幾何＝物理学とすら思ってる

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/01(金) 23:47:35.31

>>163
なるほどです。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 00:34:15.15

第4章「コンパクト作用素」を読みます。
エルミート行列の対角化は拡張できたが、ジョルダン標準形まではできない。有限次元行列のアナロジーとしてコンパクト作用素というものを定義する。
相対コンパクト。閉包。単位球。弱収束の定義。強収束。ノルムの意味での収束。リースの表現定理。可分なヒルベルト空間。リース・シャウダーの定理。有界な無限点列。
対角線論法。稠密な可算集合。ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理。

・基本的性質
コンパクト作用素と有界作用素の積はコンパクト作用素である。共役空間。有限階数の作用素。これはコンパクトである。これの極限はコンパクト作用素である。稠密。背理法で矛盾を導きます。弱収束列を強収束列に写す。
ヒルベルト・シュミット型の積分作用素。シュワルツの不等式で有界性を示す。
・コンパクト作用素のスペクトル論
準同型定理。

この辺、本当に解析と代数のクロスオーバーですよね。
リース・シャウダーの定理。ノイマン級数展開。正則関数の零点。フレドホルムの交代定理。kernelとrange。閉部分空間。ヒルベルト・シュミットの展開定理。

数学的に量子力学を理解するには欠かせませんね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 01:10:29.97

第5章「線型作用素」です。
ここまでは基礎なので段階を踏んで、教科書的に書かれています。

有界ではない場合に拡張する。定義域。稠密な部分空間。グラフ。閉作用素。グラフノルム。完備。閉包。前閉。有界の場合と違って空集合になる場合も有り得る。しかしレゾルベント方程式は成り立つ。
殆ど至る所有限の値を持つ関数を普通は考える。微分作用素は非有界作用素。微分作用素は閉作用素ではない。
・共役空間とハーン・バナッハの拡張定理
セミノルムの定義。ツォルンの補題。選択公理。ノルム空間。共役空間が十分大きいこと。反射的。反射的なノルム空間は必ずバナッハ空間である。
反射的でない空間は有限次元からのアナロジーが効かないことが多い。

あーあ…といった感じですが、全部が全部「単なる類推の産物」では新しい学問を作ったことになりませんよね。線型代数学ではない何かを含むから関数解析学なんだと思います。
・一様有界性の原理
粗である。空でない開集合を含まない。ベールのカテゴリー定理。一様有界性の原理。凸集合。有界性は弱収束の定義から従う。開写像定理。閉グラフ定理。有界とは限らない→実は有界になる。射影。

・共役作用素
線型部分空間。閉作用素。コーシー列。完備性。閉拡張。稠密。前閉。内積。直交補空間。ユニタリー。余核。cokernel。有界の場合とは違って、自己共役と対称は異なる意味を持つ。
自己共役の方が意味が強い。対称作用素。本質的自己共役。エルミート作用素。唯一つの自己共役拡張。閉対称作用素。閉グラフ定理。有界。円板。ノイマン級数展開。上半平面。下半平面。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 01:11:14.85

続き。

この辺は複素解析の理論とクロスオーバーしてますね。
・スペクトル分解
単位の分解。ケイリー変換。ユニタリー作用素のスペクトル分解定理。ワイヤストラスの多項式近似定理。ストーン・ワイヤストラスの定理。多項式。連続性。一意的。有界な場合と同様。
一点コンパクト化。リース・マルコフの定理。スペクトル測度。有限ボレル測度。スペクトル射影。直交射影の族。単位の分解。ボレル可測関数。実数値関数。自己共役作用素。
強連続1径数ユニタリー群。強連続性。ルベーグの収束定理。ストーンの定理。内積。

有界でないものも扱うというのは大変なことで、先人の苦労が偲ばれます。未解決な部分を多く含むそうですが、無限を相手に戦う人類の挑戦に終わりは無いですね。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 01:14:11.81

いきなり非可換幾何での指数定理から頭ごなしに突入するオレに隙はなかった

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 01:37:42.59

今までのまとめに当たる、第6章「注意と補足」を読みます。

・無限次元と有限次元
位相空間が局所コンパクトであるということは、相対コンパクトな開集合だけからなる基本近傍系が存在すること。
無限次元空間では有界閉集合はコンパクトではない。この定理は非常に驚きではないでしょうか。

強収束しない。ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理はこのままでは無限次元空間で使えない…。
弱位相が重要。代わりに「バナッハ空間が反射的ならば任意の有界列から弱収束する部分列が取れる」を使うことになります。
ヒルベルト空間の閉球は弱コンパクトである。有界。下半連続性。ペアノの定理。常微分方程式の解の存在。ブルバキの反例。
ヒルベルト空間の中にさえペアノの定理の反例が作れる。
無限次元であっても、関数がリプシッツ連続ならば解の存在と一意性が成り立つ。

X^＊はXよりも大きくなり得る。Xが可分であっても、その共役空間のX^＊は可分でなくなり得るから。線型閉部分空間。有界線型写像。射影作用素。ヒルベルト空間と同型。
・汎弱収束
有界性。一様有界性の原理。汎弱収束列のノルムは有界。稠密な線型部分空間。
・基底
シャウダー基底。可算ヒルベルト空間。有界線型写像。バナッハ空間。恒等写像。連続線型写像。全単射。閉写像定理。同型写像。ハールの関数列。フレーム。上界と下界。タイト。完全。
線型独立性を要求していないことに注意。パーセバルの等式。反例。自己共役有界線型作用素。フレーム作用素。
・同型
同値。閉グラフ定理。有界線型写像。等長的。
等長的→同型。フーリエ級数に関するパーセバルの等式。真部分空間。有界線型写像。チェザロ和。ヘルダー連続。

無限次元での解析の難しさを示す例がたくさん出てきましたね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 01:43:48.04

>>168
必要な数学を必要な時に学び取れる人っていますよね。
俺はコツコツ「狭くとも深く」いくタイプです
(なかなか深くはいけないですけどタイプとしては)。(終)

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 01:45:48.81

「怠惰な評価」で呼び出すと部分的に計算機プログラミングで無限が扱いやすいそうな

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 11:35:11.57

【元SKE矢方、〝乳癌″】　事故から10年後の2021年頃ピーク、1986-1996に東北で激増、統計また非公開
http://rosie.5ch.net/test/read.cgi/liveplus/1527905048/l50

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 13:17:33.24

第7章「ルベーグ空間とソボレフ空間」を読みます。

この章ではΩは常にユークリッド空間の有界閉集合であり、境界∂Ωの滑らかさを仮定します。
こういう前提を読み飛ばして勝手に「あれ？反例があるぞ。成り立たないぞ」とか思わないようにしたいですよね。
・ルベーグ空間
ノルム空間。ミンコフスキーの不等式。バナッハ空間。完備。ソボレフ空間。偏微分方程式。ヘルダーの不等式。測度が無限大の時は成り立たない。共役指数。
クラークソンの不等式。これは最良の不等式である。

不等式がいっぱい出てきます。不等式マニアにはたまりません。共役空間。ヘルダーの不等式。有界線型汎関数。コンパクト集合。定義関数。殆ど至る所0。一対一有界線型写像。
上への写像。ラドン・ニコディムの定理。連続線型汎関数。強収束。コーシー列。有界かつ連続な関数全体の集合。閉部分空間。ハーン・バナッハの定理。双対空間。
拡張された汎関数。
反射的。可分。単位球。弱コンパクト。狭義凸。一様凸。無限回微分可能。台がΩのコンパクト集合である関数全体の集合。稠密。連続関数。可測関数。変分法の基本定理。

・フーリエ変換とウェーブレット変換
有界連続関数。リーマン・ルベーグの定理。バナッハ空間。有界線型作用素。上への写像ではない。稠密。内積。等長変換。ユニタリー作用素。互いに逆写像。フーリエ逆変換。
恒等写像。留数定理。エルミート関数。ポアソンの和公式。フーリエ級数展開。シャノンの公式。sinc x。

フーリエ変換の基礎がはっきりしてきますね。
・フーリエ変換と合成積
合成積。共役指数。台がコンパクトな時。連続ウェーブレット変換。ヒルベルト空間。定長倍を除けば等長作用素。上への写像ではない。不変。

・ソボレフ空間
広義導関数。一階連続微分可能。

角がある関数はその点で微分不可能ですが、測度0なので広義微分可能になります。すごいですね。
カントール関数は広義微分可能ではない。閉包。真部分集合。定数関数。滑らかな超曲面。線分条件。稠密。ポアンカレの不等式。完備化。可測関数。ヒルベルト空間。完備性。
ソボレフの埋め込み定理。偏微分方程式。殆ど至る所一致する。プランシュレルの定理。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 13:35:27.74

続き。

リプシッツ連続。2次元有界領域。非圧縮非粘性流体のオイラー方程式。ヤングの不等式。稠密性。台がコンパクトである。共役指数。ソボレフの埋め込み定理。コーンの不等式。
ベクトル値関数。ポアンカレの不等式。
流体力学。弾性理論。
・レリッヒ・コンドラショフのコンパクト性定理
変分法や偏微分方程式論において、なくてはならない定理です。埋め込み写像。コンパクト。オルリッチ空間。滑らかな超曲面。完備化。双対空間。有界作用素。
・ディリクレの原理
電位。静電位。境界値問題。変分問題。有界線型作用素。写像の核。調和関数。部分積分。広義導関数。グリーンの公式。ワイルの補題。リーマン。写像定理。強位相。
無限次元空間。局所コンパクト。有界。弱収束。部分列。ポアンカレの不等式。L^2ノルム。下半連続。楕円型偏微分方程式。極小曲面。

偏微分方程式を解くための武器が手に入りましたね。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 16:09:39.36

パーか、絵本の読み聞かせじゃあるまいし

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 16:51:40.08

http://paintingsbychrishaynes.co.uk/

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 17:03:57.43

>数学寄りの方が面白いんですけど、
じゃあ次はリー群にしな

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 17:26:13.41

数学用語を羅列するだけでは読んで理解した証拠にはならない。
演習問題を解いて解答案を出せば理解したことを証明できる。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 17:28:41.17

Kontsevichの実力がどのくらいかしらんが指数定理厨と同じで読んだら理解したと思い込むトンデモだろ

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 17:34:28.46

Maxim Kontsevich
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxim_Kontsevich

になったつもりか。
指数定理厨も真似してwittenのコテつけたら

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 17:46:50.74

第8章「積分方程式と積分変換」を読みます。
・各種の積分方程式
ユークリッド空間の有界開集合とする。第2種フレッドホルム積分方程式。積分核。第1種フレッドホルム積分方程式。コンパクト作用素。有界関数。有界作用素。連続関数。
フレッドホルムの交代定理。ボルテラ型積分方程式。二乗化積分。帰納法。スペクトル半径。
アーベルの積分方程式。オイラーのB関数。積分核は定数関数。

各所で出てくる方程式や関数の取り扱い方の基本か学べます。ウィーナ・ホッフ型積分方程式。
・ヒルベルト変換
コーシーの主値。急減少関数。歪エルミート。等長写像。同型写像。ヒルベルト変換の意味。これによって使い途が明確になりますね。アーベルの級数変形法。特異積分作用素。
双対写像。ポアソン核。正則関数。作用素ノルム。ラプラス変換。メリン変換。ポテンシャル問題。ラプラス逆変換。

これは大変便利で、物理で出てくる特殊関数の一部について、統一的見方が出来ますね。
・ヒルベルト変換を含む偏微分方程式
コンスタンチン・ラックス・マイダ方程式。非圧縮非粘性流体の運動方程式。オイラー方程式。解の爆死モデル。

レビ・チビタ方程式
表面張力係数。クラッパーの解。特殊解。単位円版。
ベンジャミン・小野方程式。二層の流体の界面における波のモデル。
・離散ヒルベルト変換

流体力学からの例が多く、興味深いですね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 17:47:49.55

>>177
次は別の本を読みます。その後で読みますね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 17:48:40.74

>>178
この程度のレベルで、そんなに神経質になるってどうしてですか笑

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 17:49:17.47

>>179
人の文句を言ってないで自分でも読んでみてください笑

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 17:55:16.96

なんか俺の書き込みが皆さん(または一名)のコンプレックスを刺激しているようですね。
刺激を受けたら文句を言うのではなく自分でも勉強すると良いと思います。あくまでも実力で勝負した方が建設的ですよ。
俺はその「指数定理厨」と呼ばれる人とはレベルが違うと思いますけど。

まあ暇人にはあまり付き合っていられないので、この辺で。

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:25:38.52

>>184
1. Semi-norms
1. Semi-norms and Locally Convex Linear Topological Spaces
2. Norms and Quasi-norms
3. Examples of Normed Linear Spaces
4. Examples of Quasi-normed Linear Spaces
5. Pre-Hilbert Spaces
6. Continuity of Linear Operators
7. Bounded Sets and Bornologic Spaces
8. Generalized Functions and Generalized Derivatives
9. B-spaces and P-spaces
10. The Completion
11. Factor Spaces of a i3-space
12. The Partition of Unity
13. Generalized Functions with Compact Support
14. The Direct Product of Generalized Functions

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:27:24.22

>>184
II. Applications of the Baire-Hausdorff Theorem
1. The Uniform Boundedness Theorem and the Resonance Theorem
2. The Vitali-Hahn-Saks Theorem
3. The Ternrwise Differentiability of a Sequence of Generalized Functions
4. The Principle of the Condensation of Singularities
5. The Open Mapping Theorem
6. The Closed Graph Theorem
7. An Application

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 18:29:09.00

第9章「不動点定理」を読みますね。
・ブラウワーの不動点定理
位相空間。有限次元ユークリッド空間。コンパクト凸集合と同相。連続→不動点を持つ。閉球。一価連続写像。中点定理。ブラウワーの不動点定理。写像度。中間値の定理。半径1の閉球。ワイヤストラスの出来。陰関数定理。
・バナッハ空間における不動点定理
シャウダーの不動点定理。バナッハ空間。コンパクト凸集合。連続→不動点を持つ。
閉凸集合。連続かつ相対コンパクト→不動点を持つ。
マズールの定理。最小の閉凸集合。非線型写像の場合は連続性も仮定する。反例。位相同相写像。収束する部分列。非線型偏微分方程式の解の存在証明。
可分なバナッハ空間。凸集合。弱閉かつ弱コンパクト。弱連続→不動点を持つ。
ルレイ・シャウダーの不動点定理
連続なコンパクト写像。
・シンブロットの不動点定理。有限次元。
・クレイン・ルトマンの定理
凸錐。フロベニウスの定理。積分核。ボルテラ積分作用素。正の固有値は存在しない。
・性質
半正値性を持つ。ツォルンの補題。スペクトル半径。狭義正値コンパクト作用素。単純固有値。固有関数、

不動点定理に関するあっさりとした概観ですね。

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:30:33.51

>>184
III. The Orthogonal Projection and F. Riesz' Representation Theorem
1. The Orthogonal Projection
2. "Nearly Orthogonal" Elemonts
3. The Ascoli-Arzela Theorem
4. The Orthogonal Base. Bessel's Inequality and Parseval's Relation
5. E. Schmidt's Orthogonalization
6. F. Riesz' Representation Theorem
7. The Lax-Milgram Theorem
8. A Proof of the Lebesgue-Nikodym Theorem
9. The Aronszajn-Bergman Reproducing Kernel
10. The Negative Norm of P. Lax
11. Local Structures of Generalized Functions

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:32:09.37

>>184
IV. The Hahn-Banach Theorems
1. The Hahn-Banach Extension Theorem in Real Linear Spaces
2. The Generalized Limit
3. Locally Convex, Complete Linear Topological Spaces
4. The Hahn-Banach Extension Theorem in Complex Linear Spaces
5. The Hahn-Banach Extension Theorem in Normed Linear Spaces
6. The Existence of Non-trivial Continuous Linear Functionals
7. Topologies of Linear Maps
8. The Embedding of X in its Bidual Space X
9. Examples of Dual Spaces

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 18:33:17.00

数学用語の羅列合戦www

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:34:03.25

>>184
Y. Strong Convergence and Weak Convergence
1. The Weak Convergence and The Weak* Convergence
2. The Local Sequential Weak Compactness of Reflexive B-spaces. The Uniform Convexity
3. Dunford's Theorem and The Gelfand-Mazur Theorem
4. The Weak and Strong Measurability. Pettis' Theorem
5. Bochner's Integral
Appendix to Chapter V. Weak Topologies and Duality in Locally Convex Linear Topological Spaces
1. Polar Sets
2. Barrel Spaces
3. Semi-reflexivity and Reflexivity
4. The Eberlein-Shmulyan Theorem

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 18:37:08.80

>>186
で、何のテーマで議論しますか？

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:37:25.62

>>184
VI. Fourier Transform and Differential Equations
1. The Fourier Transform of Rapidly Decreasing Functions
2. The Fourier Transform of Tempered Distributions
3. Convolutions
4. The Paley-Wiener Theorems. The One-sided Laplace Transform
5. Titchmarsh's Theorem
6. MikusiiSski's Operational Calculus
7. SolioIcv's Lemma
8. Garding's Inequality
9. Friedrichs' Theorem
10. The Malgrange-Ehrenpreis Theorem
11. Differential Operators with Uniform Strength
12. The Hypoellipticity (Hormander's Theorem)

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:38:18.13

>>193
わかんないの？関数解析だよ

**Hilbert** ◆yiCwSKQBdBz9 · 2018/06/02(土) 18:39:43.34

>>184
VII. Dual Operators
1. Dual Operators
2. Adjoint Operators
3. Symmetric Operators and Self-adjoint Operators
4. Unitary Operators. The Cayley Transform
5. The Closed Range Theorem

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 19:01:56.62

次は応用です。第10章「流体力学への応用」を読むよ。
・ナビエ・ストークス方程式
非圧縮粘性流体に対する運動方程式。圧力。質量密度。動粘性係数。直接作用の力。既知関数。正定数。
オイラー方程式。乱流を含む。3次元初期値・境界値問題。ガウスの定理。境界値。スカラー関数の勾配ベクトル。ベクトル値関数。運動エネルギー。実ヒルベルト空間。閉部分空間。
ポアンカレの不等式。コーシー列。強収束。広義導関数。直交補空間。直交分解。ヘルムホルツ分解。無限次元部分空間。閉包。内積を入れてヒルベルト空間にする。稠密な部分空間。
部分積分。ヤングの不等式。ソボレフの不等式。リースの表現定理。シュワルツの不等式。非線型写像。ポアンカレの不等式。有界線型汎関数。コンパクト作用素。連結成分。
・導き方
質量密度、圧力、エントロピー。非圧縮一様流体。
質量保存則を仮定する。出入りする質量の総和は0。ガウスの定理。コーシーの応力原理。応力場。運動量保存の原理。既知関数。部分積分。流入あるいは流出。局所平衡状態。
連続関数。応力テンソル。ガウスの定理。コーシーの運動方程式。連続体。完全流体。スカラー関数。完全流体の運動方程式。オイラー方程式。応力の接線成分は存在しない。粘性の無視。
・構成方程式
変形速度テンソル。ストークスの流体公理。
基本不変式。対角行列。クラメルの公式。連続関数。直交行列。
・古典的流体力学
応力テンソルと変形速度テンソルの間に線型関係を設定する。これはあくまでも仮説。
コーシー・ポアソン法則。ナビエ・ストークス方程式。動粘性係数。

この章は「全体で1つの例題」ということです。単純な仮定を組み入れただけの方程式なのに内容豊富で、解くことが容易でないナビエ・ストークス方程式は魅力的ですね。

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 19:02:43.20

>>195
だから、関数解析の何について質疑しますか？

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/06/02(土) 19:02:48.85

>>178
＞演習問題を解いて解答案を出せば理解したことを証明できる。

割とそうでもないのが恐ろしいところ
もちろん全く解けなくてもいい、ということではないが

**Kontsevich** ◆4nKrPvCJU2 · 2018/06/02(土) 19:04:08.53

他人と数学の議論をするのは新鮮です。
楽しみですね。