>>275
ありがとう
あなたは冷静で助かる

>ω+1を最初に持ち出してきたのはスレ主さんの方ですよ？
>ω+1とはω∪{ω}={0,1,…,ω}のことで、>>265で「コンパクト化」と言ってるものです。

"ω+1とはω∪{ω}={0,1,…,ω}"は、あくまでノイマン構成によるものですよね（下記）
ノイマン構成のωをωnと書くとして、ωn ={0,1,…}ですね
これはツェルメロの後者関数とは異なりますよ

で、ペアノ公理に戻ると、ペアノ公理では後者関数の自由度がある
ノイマン構成の後者関数 suc(a):=a∪{a}を使うと、ωn={0,1,…}ができる

ところで、ノイマン構成の後者関数 suc(a):=a∪{a}を、空集合φからのカッコ{}のネストの深さを考えると
前者のネスト深さｎに対して、後者のネスト深さｎ+1になる。これは良いですよね

ペアノ公理で、ツェルメロの後者関数 suc(a) := {a} でも、同じように、空集合φからのカッコ{}のネストの深さを考えると
前者のネスト深さｎに対して、後者のネスト深さｎ+1になる

さてノイマン構成で、ωn={0,1,…}が出来たとき、0,1,…の中に、無限のネスト深さの元が存在します
（証明：背理法による。有限のネスト深さの元しかなければ、ωnは有限集合であるから、ωnが無限集合であることに矛盾する）

同様に、ペアノ公理で、ツェルメロの後者関数 suc(a) := {a} を使って、無限集合たる自然数を構成すると、その中に無限のネスト深さの元が存在します
言い換えれば、ツェルメロの後者関数とは、ペアノ公理で空集合φからのカッコ{}のネストの深さで、自然数を構成するときの、もっともシンプルな後者関数だということです

つまり、ペアノ公理を認めるならば、同様に無限集合たる自然数を構成できて、その中に無限のネスト深さの元が存在する
そして、ネスト深さｎの極限として、>>265に定義したaωが構成でき
im n→ω an ＝aω=ω{・・n{n-1{・・1{0{}01}1・・}n-1}n・・}ω＝ω{・・n{n-1{・・1{Φ}1・・}n-1}n・・}ω
です。ペアノ公理を認めるならば、ここまでは良いですよね？

つづく