340 名前：日高[] 投稿日：2021/02/21(日) 19:58:15.79 ID:zINpMgMG [83/95]
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
x^2+y^2=(x+2)^2に、y=4を代入する。
ピタゴラス数x=3、y=4、z=5を得る。

341 名前：日高[] 投稿日：2021/02/21(日) 19:59:26.79 ID:zINpMgMG [84/95]
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
x^2+y^2=(x+1)^2…(A)
x^2+y^2=(x+√3)^2…(B)
(B)の解は、(A)の解の√3倍となる。
(A),(B)とも、ピタゴラス数x=3、y=4、z=5を得る。

351 名前：日高[] 投稿日：2021/02/21(日) 21:04:37.37 ID:zINpMgMG [89/95]
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、x,zは無理数となる。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
(4)はx,zを有理数とすると、yは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

352 名前：日高[] 投稿日：2021/02/21(日) 21:05:23.41 ID:zINpMgMG [90/95]
(3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nとなる。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w^n)^n…(A)となるので、
s+n^{1/(n-1)}/w^n=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w^n=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなるので、(B)に代入すると、
(s^n+t^n)^(1/n)=u、s^n+t^n=u^n…(C)となる。
(C)は、(4)のx,y,zが有理数の場合と、同じとなるが、(4)のx,y,zは、有理数とならない。