a[n] := 1/2+1/4+1/8+…+1/2^n = 1 - 1/2^n とおく

「 a[∞] = 1/2+1/4+1/8+… < 1 」と仮定する…①

すると 0 < 1 - a[∞] より、ある固定された自然数Nが存在し

0 < 1/2^N < 1 - a[∞] となる
従って a[∞] ＜ 1 - 1/2^N = a[N]となり
a[∞] < a[N]
となる

よって 1/2+1/4+1/8+… < 1/2+1/4+1/8+…+1/2^N
となり矛盾

よって仮定①「 1/2+1/4+1/8+… < 1 」は誤りである事が判り 1/2+1/4+1/8+… = 1 となる