Archimedesの公理否定0.999…≠1系支持派のジレンマ

1 1/3 √2 e π
ε=(:最小超限順序数ωの逆数)
1=0.999…+ε=0.999…+0.999…*ε+ε^2=0.999…+0.999…*ε+0.999…*ε^2+ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]0.999…*ε^k}-ε^ω
1/3=0.333…+ε/3=0.333…+0.333…*ε+ε^2/3=0.333…+0.333…*ε+0.333…*ε^2+ε^3/3=…
={Σ[k=1,ω-1]0.333…*ε^k}-ε^ω/3
√2=1.414…+√2*ε=1.414…+1.414…*ε+√2*ε^2=1.414…+1.414…*ε+1.414…*ε^2+√2*ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]1.414…*ε^k}-√2*ε^ω
e=2.718…+e*ε=2.718…+2.718…*ε+e*ε^2=2.718…+2.718…*ε+2.718…*ε^2+e*ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]2.718…*ε^k}-e*ε^ω
π=3.141…+π*ε=3.141…+3.141…*ε+π*ε^2=3.141…+3.141…*ε+3.141…*ε^2+π*ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]3.141…*ε^k}-π*ε^ω

結局 0.999…=1-ε と仮定しても
1=0.999…+ε=0.999…+0.999…*ε+ε^2=0.999…+0.999…*ε+0.999…*ε^2+ε^3=…=Σ[k=0,∞]{0.999…*ε^k}
と続いていくのであり、そもそもを言えば此のε累乗項を含めた総和が 0.999… であり、後続桁標示無き … の指示である｡
∴ 此の意味から言っても ε=0 である｡

既に 1/∞≠0 と定める党派方針を取ろうとも無駄である事が示され済みの為、此れ以上の深堀りは無意味｡
此の意味での ∞ 桁小数はどんなに超実数概念や超現実数概念を多重拡張しようとも最終桁が根源的かつ本質的に無い小数｡
いっその事 ∞:=|1/0| としてしまいたい所だが、演算規則が崩れるので、面倒でも逐一逐一の極限操作指定を省けない｡