>>394を部分積分して
∫[0,n]((1-x/n)^n-1)/x=-Σ[1,n]1/k

これの1/xだけ1〜nまで積分すれば
∫[0,1]((1-x/n)^n-1)/x+∫[1,n]((1-x/n)^n/x=logn-Σ[1,n]1/k

で極限とる、じゃダメなん？