因数分解によるフェルマーの最終定理の証明
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【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)はp^{1/(p-1)}が無理数なので、x,yに有理数を代入すると、成り立たない。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,yに有理数を代入しても、成り立たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。
(参考)
(3)のx,yが無理数のときは、(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^p、
s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w}^p…(3')とする。(s,tは有理数、wは無理数)
(4)はx、y、(ap)^{1/(p-1)}を有理数とすると成り立たないので、
(3')も(p^{1/(p-1)})/wを有理数とすると成り立たない。 >989
日高は
r^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)を見ると
r^(n-1)=nが基準だと思い込むらしい
a(1/a)=1なので、a=1が基準になります。 >988
> (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。
x=5,y=2√6,z=7もx^2+y^2=(x+2)^2の解です
r=2だけではyの値を限定できないので有理数解を持つ根拠にはなりません
x^2+y^2=(x+2)^2のyに有理数を代入すると、xは必ず有理数になります。
x=5,y=2√6,z=7は、有理数解では、ありません。 >>992
> a(1/a)=1なので、a=1が基準になります。
そういうことを言う割にはs,tが有理数のときに
x=s*p^{1/(p-1)},y=t*p^{1/(p-1)},z=(s+1)*p^{1/(p-1)}が(3)を満たすか
どうかという問題をあんたに聞くとp^{1/(p-1)}で割って
(ap)^{1/(p-1)}=1のときにしようとするからおかしいよね
こちらとしては基準のa=1のままで証明してほしいのに >>993
> x^2+y^2=(x+2)^2のyに有理数を代入すると、xは必ず有理数になります。
> x=5,y=2√6,z=7は、有理数解では、ありません。
>>985の証明のどこにyに有理数を代入すると書いてあるの？
> (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。
としか書いてないが >987
x^3+y^3=(x+2)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
2=(a3)^(1/2)
a^(1/2)=2/(3√3)
yに、(3√3)/2の有理数倍を代入すればよいです。
整数比の解を持たないことがわかります。
x^3+y^3=(x+√3)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
√3=(a3)^(1/2)
a=1
yに、1の有理数倍を代入すればよいです。
有理数解を持たないことがわかります。 (修正52)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はrが無理数なので、有理数解を持たない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)をr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持つ。 >994
> a(1/a)=1なので、a=1が基準になります。
そういうことを言う割にはs,tが有理数のときに
x=s*p^{1/(p-1)},y=t*p^{1/(p-1)},z=(s+1)*p^{1/(p-1)}が(3)を満たすか
どうかという問題をあんたに聞くとp^{1/(p-1)}で割って
(ap)^{1/(p-1)}=1のときにしようとするからおかしいよね
こちらとしては基準のa=1のままで証明してほしいのに
x=s*p^{1/(p-1)},y=t*p^{1/(p-1)},z=(s+1)*p^{1/(p-1)}は、
s^p+t^p=(s+1)^pを解いた形です。
これは、(ap)^{1/(p-1)}=1のときです。
a=1の場合は、s^p+t^p=(s+p^{1/(p-1)})^pとなります。
(3)の形のs^p+t^p=(s+p^{1/(p-1)})^pは、成り立たないので、
(4)の形のs^p+t^p=(s+1)^pも、なりたちません。 このスレッドは１０００を超えました。
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