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実数は可算無限であることの証明
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/20(木) 23:46:40.01ID:H3GW72tv
整数部が0である実数は次のように数えられるのはないか。
この論理を否定する論理が知りたいです。
よろしくお願いします。

0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.01
0.11
0.21
0.31
0.41
0.51
0.61
0.71
0.81
0.91
0.02
0.12
0.22
…
0144１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/14(土) 20:39:10.79ID:hK+oDXTT
>>143
略してはいけないところを略しているのではないか？
0145１３２人目の素数さん
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2020/11/14(土) 21:07:35.43ID:MWjdA7m9
>>143 の (中略)

これを個々の数の 構成的定義 という。
　ここで、我々がどんな実数を持っているか、考えてみ
よう。π や e を既知とすれば、+ や √￣ などは計算方
法のわかっている数式であるから、
　2π,　√(π+3e),　√{π + √(π + √π)}
などはどれも立派な定義式で、どれもひとつの実数をあ
らわしている。実数がこのように定義されるべきものと
0146１３２人目の素数さん
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2020/11/14(土) 21:20:36.65ID:+KdBibMw
> 実数がこのように定義されるべきものと
すれば、実数全体の集合 Ｒ とは、このように定義しう
る個々の実数の総体と考えるべきであろう。

前提が間違っていたらどんな結論も導けると言うことだな
0147１３２人目の素数さん
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2020/11/14(土) 21:45:27.34ID:D68Dfh0K
>>143
＞実数全体の集合 Ｒ とは、
＞定義しうる個々の実数の総体
＞と考えるべきであろう。

「べき」があやまり

「定義しうる個々の実数の総体
　と考えてはいけない」
と脳味噌の中身を書き換えるべし

つまり定義できない実数が存在する
と知るべし
0148１３２人目の素数さん
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2020/11/14(土) 22:02:37.35ID:+KdBibMw
>>147
赤塚不二夫のキャラクターみたい
0149１３２人目の素数さん
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2020/11/15(日) 16:08:28.92ID:WOfFn0Se
赤塚不二夫の作品に登場する架空のキャラクター。初出は『もーれつア太郎』。

名前の由来は、黒澤 明の『七人の侍』に登場する村の長老の台詞「やるべし」。
口癖も「べし」。
よくコマの隅におり、その場合はたいてい夜で、「夜は寝るべし」と発言する。
0150１３２人目の素数さん
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2020/11/16(月) 00:58:33.70ID:w9yDNJBM
>>129
自然数は神が作り給うた。他のすべての数は人
為的なものである。
　　　　　　　　　　　　　　　クロネッカー

数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社 (1989)
　p.137,　p.147　囲い記事
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/16(月) 04:53:20.11ID:Siw4YyYY
限定算術の研究を見てると自然数も人為的なものだと考えた方が良いと思う。
0152１３２人目の素数さん
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2020/11/16(月) 08:25:46.87ID:fSt2v3Lr
神を作ったのは人間だから、そうとも言えるかな
0153１３２人目の素数さん
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2020/11/19(木) 06:13:30.39ID:Clp5hM1J
>>143 (続き)

それは次のようにしてわかる。どの実数も、有限の長さ
の文または式で記述されるのであるが それらの文字や式に
使われている記号の種類は有限個と考えてよい。
またかぞえやすくするために、たとえば
　　∞
　　Σ　　　を　　Σ(n=1,∞)　　と
　　n=1
書きかえることにすれば、文や式を「ひとつの記号列」
とみてさしつかえない。ところが、有限個の種類、たと
えば 64種類の記号には、そのひとつひとつに異なった番
号をつけることができるから、ひとつの記号列を、ある
64進法による自然数表示とみることができる。このよ
うにして
　　実数　⇔　記号列　⇔　自然数
という対応づけができる。
　残念ながら、これらの対応は一対一ではなく、また洩
れのない対応でもない。しかしひとつの自然数に対応する
記号列は（桁数字0の処置をうまくしておけば）ただひ
とつであり、ひとつの記号列によって定義される実数は
もしあるとすればただひとつであることがいえる。
0154１３２人目の素数さん
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2020/11/19(木) 06:26:51.04ID:Clp5hM1J
>>141
　　　　　　　　　　　　　　　　　　実数全体の集
合Ｒの中には、その数値を人間業では絶対に求められ
ない実数ｘとか、記号列では名指すことさえできない
実数まで、暗に想定されている。集合Ｒに一部（多く?)
の数学者がどんなに実在感を抱いていようと、それは中
味がガラガラの枠のようなものである。
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/19(木) 12:17:48.57ID:WqVT/EC6
ID:Clp5hM1J
必死チェッカーをかけたら荒らしだった
0156１３２人目の素数さん
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2020/11/19(木) 20:17:38.66ID:TdUgk0Uf
言うて今回の2レスは別に荒して無かろうが
坊主憎けりゃ袈裟まで憎い理念で数学やっては遺憾
0157１３２人目の素数さん
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2020/11/19(木) 22:33:04.17ID:hHzCR2I1
ID:TdUgk0Ufは粋蕎 ◆C2UdlLHDRIという頭のおかしい人
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/21(土) 06:51:58.99ID:H/DINlZq
>>153　(続き)
　この議論のどこがまちがっているのだろうか？　実数
全体が可算個でないことは、とうの昔にカントールによ
って証明されているではないか？　しかし我々の議論に
誤りはない。我々の立場からすれば、カントールの証明
の方に問題がある。
　我々は次のように考える。式
　x = 0．a1'　b2'　c3'　d4'　e5'　……
によって、実数 x が構成的に定義できた というところ
が誤りなのである。
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/21(土) 12:39:51.36ID:49X12uFs
まぁ「実数は非可算無限なのに記号列で表される実数は加算無限個数、表せない実数があるとかいいの？」
って普通の数学科の学生なら誰でも思う疑問だわな
ただそれで「おお、オレは現代すうがの矛盾を発言した」などと思わないだけで
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/22(日) 08:46:35.75ID:aikB/Kqc
>>158　(続き)

(構成的定義によらずに) 実数ｘが原理的に確定すると考
えてもよいではないか？−−そのように考えると、カン
トールの論法が息を吹きかえし、実数は非可算個 (連続
濃度) あることになる。しかしその場合、実数全体の集
合Ｒの中には、その数値を人間業では絶対に求められ
ない実数まで、暗に想定されている。集合Ｒに一部(多く?)
の数学者がどんなに存在感を抱いていようと、それは中
味がガラガラの枠のようなものである。

(出典)
野崎昭弘：『数はほんとうに「ある」のか』
　　　　　〜数学者にとっての数とは〜
　数学セミナー, 1978年 11月号
　数セミ増刊「数の世界」, 日本評論社, p.8-14 (1982)
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/22(日) 16:16:48.11ID:CJha72Yx
>>151
ピダハンには数の概念がない。
彼らは文法にも入れ子構造を持たない。
自己の体験と自己が会うことができる人間の体験のみをみとめる。
つまり繰り返しを認めない文化に住んでいる。
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/22(日) 18:35:43.15ID:ZboqLAsF
>>163
ピダハンって何？
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/22(日) 20:32:38.46ID:qa0hlJK8
>>1 貴殿が🌍地球生命体ならスゴイ

まっ我が星👾では、証明すら不要だ
で、だから、モピロン
>>1 論理の否定の論理は、👾星には
存在しない。
でも、でもでももももモモモ、モピロン
>>1 論理の肯定の論理は、存在する
ソレをココに怪説とする。と、

［0,1）の有限１桁小数は、10個
［0,1）の有限２桁小数は、100個
［0,1）の有限.N桁小数は、10^N個
10^N個もあると多すぎて数えられない
でも、そんなときは常用対数だ。
［0,1）の有限Log(N)桁小数は、N個
有限Log(N)桁小数でもNを無限に飛ばせば、無限小数だ。
∵1〜∞の1/xの積分値は∞らしい
スナワチ、無限小数は高々可算無限個
おそらく、実数も、可算無限個
モピロンである。
でもこの話は、🌍地球生命体には
内緒🤭にしてほしい。
内緒にしない理由はなくもないからだ
by　 👾
0168粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
垢版 |
2020/11/22(日) 20:46:31.04ID:wz4NOKQL
其れを言ってしまったらモピロンじゃのうてバカモンじゃ
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/23(月) 10:51:41.89ID:KVxJxW/3
>>162 (続き)
　　　　　　　　　　　　一方、選択公理などが便利
に使われるようになってから、確実に「ある」といえる
実数の範囲と、多くの数学者が「見えると思っている」
実数の集合Ｒとも、かけ離れてしまった。そのため解
析学では、我々はしばしば、本来「ない」ものまで含め
て語ることになる。それは「ある」ものだけについて
限定して語るよりも、あっさりと述べられることが多い
からで、そのために選択公理は、たしかに便利な道具で
ある。しかし選択公理は少し強力すぎて、本来「ない」
ものまで生みだしてしまい、そのために理論の美しさが
損なわれることもある。

　実数全体の集合Ｒさえこのこのありさまであるから、R
の部分集合の全体 2^R などがいかに茫漠としたものであ
るかは、容易に想像される。
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/23(月) 14:35:14.41ID:VH1uGMNu
>>162
要するに定義可能実数は可算個ということだな
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/23(月) 15:16:35.02ID:5SGQ6tgO
本当は、実数なんて存在しない。ピタゴラスが正しかった
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/23(月) 16:10:00.11ID:S3r/295p
自然数の並べ方すら非可算個あるからな
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/23(月) 16:18:37.63ID:5SGQ6tgO
未だかって、自然数を数えたものは誰もいないのだが
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/23(月) 16:23:25.60ID:S3r/295p
だからクロネッカーも間違ってるよね
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/23(月) 17:56:19.50ID:+WuPrKT1
>>167
＞無限小数は高々可算無限個

アウトｗ

[0,0.999…]の要素である小数を考える
このうち
・ある自然数ｎが存在し、ｎ桁目から先の桁の値が全部0の小数を有限小数
・任意の自然数ｎに対して、ある自然数ｍが存在し、ｍ桁目が0以外となる小数を無限小数
という

有限小数は、自然数と自然な一対一対応がつけられる
いっぽう自然数から有限小数∪無限小数への写像に対して
対角線論法により、写像の像の要素でない小数を見つけることができる
したがって、自然数から無限小数への一対一対応は存在しない

なお、自然数ではなく「１０進数」つまり
「いくらでも大きい桁に０でない値を持つ数」
を考えれば、無限小数との一対一対応はつけられる

しかし上記の「１０進数」は非可算無限である
つまり自然数から「１０進数」への一対一対応は存在しない
0177１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/24(火) 09:56:06.78ID:gnMA9Lzn
●おわりに
　>>153 以下は、テューリングの「計算可能な数」の概
念についての私流の解説である。
　　　　　　　我々におなじみの数 π, e, C, √2 等々のほ
とんどは彼のいう「計算可能な数」であり、私が考える
ところの
　　確実に「ある」といえる実数
はすべて「計算可能」である。
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 21:22:04.83ID:xfjb/py5
〔問題〕
　3次元の空間全体を次のような3つの部分に分割
できるでしょうか？
　すなわち、その１つはx軸に平行などんな直線
とも高々有限個の共通点しか持たず、2つ目はy軸
に平行などんな直線とも高々有限個の共通点しか
持たず、3つ目はz軸に平行などんな直線とも高々
有限個の共通点しか持たない、というような3つの
部分です。

数セミ増刊「数学の問題」第(3)集, 日本評論社 (1988)
　●87

* この問題はカントールの連続体仮説と同等らしい…
　(W.Sierpinski,1951)
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/02(金) 19:32:11.64ID:cCOB5Dag
>>129
>>150
同じ無理数でも
　整係数多項式の根である「代数的数」と、
　解析的に定義された自然対数やｅ
は生まれからして stranger なんだろうな。

ゲルフォント=シュナイダーの定理やベイカーの定理は
このことを端的に示しているかも。
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/03(土) 05:46:11.63ID:3Myjk3kT
クロネッカーはあさはかだったという話だよね
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/03(土) 08:58:52.75ID:0S01gOIV
どこが？
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/17(土) 21:19:49.30ID:Js3VOks3
>>129
大部の「解析教程」の諸結論を導くためには
この収束判定法(コーシー列は収束する)だけを認めれば十分だと。

実数の公理もない時代にそこまで追い詰めたのは
コーシーの偉業だった。

と同時に、この収束判定法をどう扱うべきか(公理？)
が以後の実数論 (デデキント、カントール) の課題となった。
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/25(日) 21:28:52.52ID:0rv1EuHc
コーシーの収束判定法を仮定しない解析学も可能だろうけど、
諸定理の大半が潰れるから砂漠みたいになる…
クロネッカーもそこまではしてないと。
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/15(水) 20:07:22.98ID:UyKWpegQ
>>182
解析的に定義された数 というのは
・「切断」や「基本列」を用いて存在が保証された数
・それを用いて定義された数
かな。これらが超越数になるのか。
(切断公理などを否定すると消える…)
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/27(水) 05:24:44.61ID:eJfqHHEu
(7)
　こうして自然を数によって尽くそうとするピタゴラスの企ては終わった。
超越数の発見、その範囲において、品種において、代数の無理数よりも
豊富であること、超越数は近代数学の最も基本的な量を含んでいること、
このことは代数学という有力な機関も、有理数の数論のように有限算法
しか扱かわないところに不十分な点がある。
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/27(水) 05:52:20.89ID:eJfqHHEu
　しかし無限算法を正当と認めること、これら不思議なものを
有理数の算法と対等に認めることは、19世紀の厳格主義者にとっては、
ギリシアの厳格主義者にとってと同様に、嫌悪すべきものであった。
そのうち一段と声をあげたのは近代直観主義の父、レオポルト・
クロネッケルである。
彼は紛争の種を無理数の導入にあるとして、数学から無理数を追放
しようとした。
整数の絶対的本性を宣言して、自然数域と直接それに引き直される
有理数域とを 数学を建設するただ一つの地盤であると主張した。
「整数は神様がお作りになったもので、その他は人間わざである」
というのは彼の有名な文句である。
　しかし時代は個人にかかわりなく進んだ。

デーデキント 著「数について」岩波文庫(青924-1) ☆☆　(1961)
　解説 (河野伊三郎)　p.160
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/13(木) 07:29:53.07ID:gg4UHjrS
たぶんカントールの対角線論法は選択公理を（密輸して）使っていると思うね。

実数の集合は無限集合だが、それが可算であると仮定して
実数のそれぞれに固有の自然数の番号を割り付けて、とやるのだが。

無限集合の場合にそれが可算であるからといって、各要素に対して
自然数の番号を割り付ける操作をいったいどうやって構成するのか
は具体的には与えられず、そのような割り付け方が「存在する」
といって先に進んで矛盾をしめしているが、そのような割り付け方の
「存在」が仮定できるところに、選択公理を密輸してはいないだろうか？
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/13(木) 12:27:58.94ID:fL/YwQ6V
>>192
それはどちらかというと背理法に対する懐疑ですね
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/13(木) 18:28:39.49ID:gg4UHjrS
たとえば、矛盾を出そうとして自然数と実数の対応表というものを作ることを
考える。1つずつコツコツと新しい実数を対応表に登録していくとする。
（つまり一辺にすべての実数を対応表に登録することまではしない）。
すると、どの段階においても、決して矛盾は起きないのだ。
（有限個の表ができているだけだから当然といえば当然だから）。
そうして、表が有限段階に収まるかぎりは、対角線論法は意味を持たない。
　いったいどうやって、無限集合のすべての要素を対応付け作業が
できるというのか。それをするのが、絵空事である選択公理だと思う。

数学的帰納法も自然数と対応させた手順になっていて、すべての自然数を
作りあげていく過程を示しているが、有限の段階ではそこまでの自然数
が現れるだけで、それを延々と永久に続けていても常に自然数全体は
得られないでそこまでの自然数が得られる。ただし限りがなく作り出されて
いくから、そのようなもの全部を含めた集合というものを考えることに
するならば、自然数の集合というものが出来ることになる。
任意にその集合の要素nをとってくれば、0から始めてペアノの公理に
基づいて1ずつ上昇していけば有限回の操作でｎにたどり着く。
これは具体的な手順を示しているから選択公理は関係ないのだろう。
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/13(木) 18:32:45.66ID:HnRC5ifv
私は馬鹿を相手に真面目に答えてしまったようだ
失敗、失敗。
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/17(月) 11:49:23.61ID:M341Q52x
計算可能な実数全体の集合は可算の濃度を持つ。
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 18:45:03.88ID:j/qjOTBM
カントールの議論は、まず実数の集合というものがあるということを
暗黙の仮定として開始しているが、もしも実数の集合というものが
実は最初から存在していなければ、論理は空虚になり、証明は崩れる。
　よって、まずは実数の集合というものの存在とそれの満たすべき
性質を示す必用があるだろう。
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 19:04:09.48ID:5UcghKee
>>197
公理的集合論を勉強してください
0199１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 22:02:08.81ID:itdNU1//
その前に日本語の勉強をするべきだろう
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/19(月) 13:53:11.69ID:xV+uVY6n
直感的に不加算だとうけど、カントール対角線論法は2＾nをnと同列に扱ってるのは腑に落ちない。（「数学の無限」）
自然界は連続体だとしたら連続体仮設も検証しやすいかも。プランク長は最小単位とは限らないし
仮に最小単位としても数学的連続体は考えられるが現実自然界で実在すれば、わかりやすい。
あとカントールは平面幾何でも定理残してたんだな。
0201１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/19(月) 14:17:17.23ID:Osg0aEK1
選択公理選択公理ってうるせーぞ
対角線論法の少数は選択関数を任意に取って整列してるから選択公理も整列可能定理も要らねーよ
0202１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/19(月) 14:18:52.50ID:Osg0aEK1
言葉全然足りんかった
可算集合と非加算集合の濃度が違うことの証明
0203１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/21(水) 13:27:11.45ID:4unmNvFC
正方行列でもないのに対角線論法を使うのはおかしいと思ったが（数学の無限・カントールを超えて）
2^nや10^nの冪を持ち出すと、陰には超越数たるネイピア数eが隠れているから、代数的数と濃度が同じではない、ということかな。
0205１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 03:53:55.05ID:o2STx9rz
構成可能な実数は、その構成法を指定する算法と対応して可付番であるから、
そのような構成可能な実数であって0と1の区間にあるものの小数表現を
表にして並べ、その対角線に並んでいる数字とは異なる数字を選んで並べた
小数表現の実数ｘが表に現れていないと主張するときに、

その実数ｘは「可付番の実数で0と1の区間にあるものの小数展開を
番号に沿ってならべて対角線に並べて一致しない数字を並べて作る」
という「構成法」で作った数であるから、表に現れているはずなのだが、
それが表に抜けているというのは、どこがおかしいのだろうか？
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 12:34:41.13ID:UQzo4fZ+
>>205
「可付番の実数で0と1の区間にあるものの小数展開を番号に沿ってならべて対角線に並べて一致しない数字を並べて作る」という「構成法」

それが構成的でないというのが味噌ですね
0207１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 14:07:25.37ID:QA1SYBuC
>>206
対角線論法のおかしな点はまさにそこ。
（発散の少ない）2進法で3桁までなら2^3で8個の小数点表示がある。
これに対角線論を導入すると上から3番目までに発言しない小数を導いたにすぎず、
「存在しない」と主張する小数は4〜8番目に存在する。
正方行列なら対角線論法は成立するがｎ行2^n列長方形行列（nが巨大だとほとんど縦直線）
に適用するのはおかしい。
0208１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 19:03:15.30ID:kM5V/yvf
>>207
正方行列とか言い出している時点で馬鹿扱いされる
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 14:18:49.51ID:MJ5/prm9
じゃあ、まさかの長方形？
　あるいは、三角だったりする？
0210１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 10:36:40.13ID:sFYqOF1a
構成可能な実数の集合をR^{*} としてやれば、R^{*}はRの真部分集合であって
可算な集合になる。

R^{*} に対してカントールの対角線論法を適用すると、矛盾が生じる。
なぜならば、対角線論法は、実数が無限に並んだ表に対して、その
小数点以下の対角線上にある数字を並べて「構成した」数ｘは
その表には含まれないという。しかし、一方でその数ｘは
構成的実数を元にして（小数点以下の数字を並べるという操作で）「構成された」
実数だから、それもまた1つのR^{*}の元であるはずなのに、どういうわけか
可算集合であるR^{*}の要素を並べた表には含まれていない、
ということになるのだ。
　　どこかなにかがおかしいでは無いか？
0211１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 11:05:12.87ID:yvz2bvhB
そうか、対角線があるから正方形だね
0212１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/26(月) 02:28:50.59ID:SO0v4DPk
カントールの対角線論法に対する疑念としての追加。

Rを実数の集合とするとき、Rの部分集合として（0,1）区間のものを
とってきて、それが可算であると仮定して, r_1, r_2, r_3, .... と並べる
ことができたとする。しかし、各実数ｒ_kを小数展開したとして、
などとさらっと述べているが、どんな実数も小数展開
（小数点以下の任意の桁の数字）を与えることが出来るかどうかは怪しい気がする。
つまり、小数展開を与えれば実数が定まるというのは良いが、
その逆ははたして常に成立するのだろうか？
　
構成可能な実数に限定すればそのことは真なのだが。

表に出てくる実数r_kのそれぞれについて、小数点以下第ｋ桁目の数字を集めて
実数ｘの小数表現を作るという作業の際に、r_kの第ｋ桁目の数字を取り出す
方法がなければ、実数ｘを作れない（構成できない）だろう。
実数ｘが作れないとなると、対角線論法による背理法の矛盾にまで到達しない
ことになる。
0213１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/26(月) 23:47:41.63ID:SO0v4DPk
たとえば、実数ｓとして、たとえばその二進展開を
ｓの小数点以下第ｋ桁目がｋが素数なら1、合成数なら0というルールで決めれば、
任意の第ｋ桁目が0か1かはまあ原理的には有限の手間で求まる。
しかし、ｓの第ｋ桁目がゲーデル数がｋに対応する命題が真なら1、偽なら0という
ルールで決めたときには、そのような実数ｓの小数点以下第ｋ桁目の数は
確定しているはずだとはいえども、それを求める手段を構成できないので、
ｓの第ｋ桁目を求められないから、対角線論法を実際に行って
対角線上に並んだ数字と一致しない数字を並べた小数展開の実数aを作る、
と述べているステップが実行不能になるはずだ。
0214１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/26(月) 23:56:17.51ID:HkZ4QHvB
計算量の話と対角線論法は別の話
0215１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 02:39:15.77ID:1pC7mOOV
>> 212
実数を無限の長さまで小数展開してから対角線論法に持っていくのが原因なので
小数展開は有限な桁数までしか行わないようにすればいいのです。

例えば
命題) 以下の(1) - (3) を認めれば、実数全体の集合は可算(可付番) な集合ではない。
(1) 実数全体集合には、通常の大小関係が定義される。
(2) 整数は10進展開可能
(3) カントールの区間縮小法は成立する。

補題 任意の実数αと任意の正整数 k に対して、α を小数第 k 位まで表現することができる。
補題の証明は略

命題の証明
実数全体の集合が可算(可付番) な集合と仮定して矛盾を導く。
実数全体の集合が可算なので、α_1, α_2, ... と並べることができる。

b_0 を 0 として、任意の正整数 k に対して、
b_k を以下のように定める。
・ α_k の小数第 k 桁目の値が 9 と異なっていれば、b_k = 1, 9 と等しいならば b_k = 2とする。

β_k = b_0 . b_1 ・・・ b_k とおき、区間 I_k = [β_k, β_k + 10^k] とおけば、
I_1 ⊃ I_2 ⊃ ・・・
かつ
|I_k| -> 0 (k->∞)
なので、(3) のカントールの区間縮小法より、
ある実数βがただ一つ決まり、任意のk に対して、β∈ I_k。

βは実数なので、β = α_N となる正整数 N が存在する。
ここでα_N とβの小数第 N 位の値をそれぞれ a_N, b_N とすると、
b_N の定義より a_N と b_N は異なる。

さて、a_0 と b_0, a_1 と b_1, ..., a_N と b_N を比較して、
a_0 = b_0, ..., a_{k-1} = b_{k-1}, a_k != b_k とする。
a_N と b_N は異なるので、必ず k は存在する。

もし、a_k > b_k ならば
b_0 . b_1 b_2 ・・・ b_{k-1} b_k <= β < b_0 . b_1 b_2 ・・・ b_{k-1} a_k <= α_N
となって、α_N = β に反する。
同様にして b_k > a_k の場合も矛盾となる。

以上のことから、実数全体の集合は可算(可付番) な集合ではない。
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 07:46:49.94ID:54Cbbi6K
＞補題 任意の実数αと任意の正整数 k に対して、
＞α を小数第 k 位まで表現することができる。

任意の実数として、整数部は0で、小数第ｋ桁目が
ゲーデル数ｋの命題が真なら1、偽なら0である二進展開を持つものを選ぶと、
計算量云々ではなくて、第ｋ桁目を決定できる如何なる「算法」も存在しない。
つまり任意に与えたｋに対してそのような実数を小数第ｋ位まで表現することは
構成的には「不可能」なんだよ。カントールの対角論法の証明では、
対角線上の数字を並べて「構成した」実数が表に現れないので矛盾を引き起こす
などといっているが、そのような「構成」をすることはできない。

　だからおそらく、選択公理を密輸しているのじゃないかと思うのだよ。
0217１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 08:38:20.03ID:LoNJljOz
>>216
もう一度言う
計算量理論と対角線論法は別物だ
0218１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 10:39:57.65ID:54Cbbi6K
計算の量ではない、計算不能（計算するアルゴリズム＝手続が存在しない）
といっているのだ。
0219１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 11:24:54.59ID:oI4o94U4
その「実数」を使えば「実数」+1も計算できないから足し算もできなくなるな
0220１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 12:19:17.77ID:t0ThWf4M
>>218
計算量理論は計算の量の理論ではない
0221１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/28(水) 13:47:42.46ID:N+ICku3d
>>208
それ以前に「2^n行n列」の間違いだった。
正方行列の、いずれの行にも含まれない行ベクトルは対角線論法で求めることができるが、正方行列じゃないからおかしい。
無論、論理学的に「対角線論法はおかしい」＝「実数は可算」となるわけではないが。
あと、視点を変えると2^√2のような演算は代数的に閉じていない（超越数）から「冪」であること自体が不加算かもしれん。
0222１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/28(水) 14:06:11.57ID:A4nmu6e9
正方形じゃないと、長方形だったりすると、対角線がずれるんだよ
0223１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/28(水) 14:19:42.42ID:j/v0ecos
>>221
行列といっている時点でおかしい
線形性は仮定されていない
0224１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/28(水) 16:05:08.16ID:sGlyuMan
1番目は1じゃない、2番目は2じゃない、…って完全順列を思い出させるな。無論並び替えではないので順列とは違うが、要素がn!個ですら対角線論法はダメダメだ。
0225１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/31(土) 19:29:22.76ID:jrZLF4aQ
カステラ1番、電話は2番、三時のおやつは文明堂♪
0226１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/13(金) 11:51:44.49ID:eAeW6niR
0.99999…、2進法の0.1111…は無ということだけど、白玉を0、黒玉を1とすると
全部白玉(0.000…＝0)は有で全部黒玉（0.1111…、10進でいう0.9999…）はダメという
ことになってしまう。
数直線の1のすぐ左側の数を、超越数0.99999…としてはどうだろうか。1と0.9999…の中間数は当然
存在せず、隙間がないから実数の稠密性が担保できる。
0227１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/17(火) 12:35:31.30ID:U98YHn1v
電話は1番、カステラ2番、3時のおやつは文明堂♪

と謡って首に
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