平方根について

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 23:41:26.06

包茎チンコ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/15(日) 16:34:04.15

>>31
　a_{k+1} - √m = (a_k - √m)^2 / (2a_k),
　二乗収束

>>33
　a_{k+1} - √m = (a_k - √m)^3 / {3(a_k)^2 + m},
　三乗収束

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/16(月) 00:23:37.37

ところで √m の近似値を求める方法には
いわゆる「ペル方程式」もある。

x^2 - m y^2 = 0,　x>0, y≧0
をみたす自然数 (x,y) がじゅうぶん大きければ x/y ≒ √m

〔グラーマグプタの恒等式〕
　(a^2 - mb^2)(x^2 - my^2) = (ax±mby)^2 - m(bx±ay)^2

a>0,　(a,b) ≠ (1,0) のとき
　x_n = a x_{n-1} + mb y_{n-1},
　y_n = b x_{n-1} + a y_{n-1},
まとめて書くと
　x_n ± y_n = (a ± b√m) (x_{n-1) ± y_{n-1}√m)
　　= ････
　　= (a ± b√m)^n

山崎圭次郎：「ペル方程式」
　数セミ増刊「数学・物理 100の方程式」日本評論社 (1989)　p.16-17

　数セミ増刊「数学 100の定理」日本評論社 (1983)　p.170　囲み記事

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 12:27:22.91

　a = 5√2 - 4√3,
　b = 3√3 - 5,
　c = 3√2 - 4,
とおくと
　3a + 4b - 5c = 0,

∴　a^2 + b^2 - c^2 = (-2a -b +2c)^2 + (c-a)(3a+4b-5c)
　　= (-2a -b +2c)^2
　　= (-3 -4√2 +5√3)^2
　　= {2/(147 + 104√2 + 85√3 + 60√6)}^2
　　≒ (1/294)^2,

∴　a：b：c　≒　3：4：5,

3 + 4√2 ≒ 5√3,
(3/5)√(1/3) + (4/5)√(2/3) ≒ 1,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 12:42:46.44

(4/5) < cos(36) = φ/2 < √(2/3),

φ = (1+√5)/2 = 1.618034

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 11:03:22.94

　d = 5√3 - 4√2 = 3.00340
　e = 4√3 + 5√2 = 13.99927
とおくと
　dd + ee = (5^2+4^2)(3+2) = 41･5 = 205,
　√2 ＝(-4d+5e)/41,
　√3 = (5d+4e)/41,

ここで d≒3, e≒14 とすれば
　√2 ≒ 58/41 = 1.41463
　√3 ≒ 71/41 = 1.73171

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 18:48:03.49

　a = 5√2 - 4√3 = 1.00005207 / 7,
　d = -4√2 + 5√3 = 3.003399788
より
　dd - aa = (5^2-4^2)(3-2) = 9,
　√2 = (5a+4d)/9,
　√3 = (4a+5d)/9,

ここで a ≒ 1/7, d≒3 とすれば
　√2 ≒ 89/63 = 1.41270
　√3 ≒ 109/63 = 1.73016

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/19(金) 09:55:45.05

>>36
　(a, b, -c) = (1, √2, √3) × (3, 4, 5)
とおいた。

　(a, b, -c) // (3 ,4, -5)　⊥　(3, 4, 5) // (a, b, c)

∴　a^2 + b^2 - c^2 ≒ 0

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/19(金) 11:59:12.88

　(√3 + √2)^2 = 5 + 2√6 = 10(1 - 1/99),
　√6 = 5(1/2 - 1/99) = 485/198,

　a = 5√2 - 4√3 = 1/7,
　aa = 50 + 48 - 40√6 = 1/49,
　√6 = (49 + 49 - 1/49) /40
　　= 4801/1960,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/20(土) 10:26:44.70

　5√2 = (1/14)√(99^2 - 1) ≒ (1/14){99 - 1/(2･99)},
　4√3 = (1/14)√(97^2 - 1) ≒ (1/14){97 - 1/(2･97)},
辺々引いて
　a = 5√2 - 4√3
　　= 1/7 + 1/(14･99･97)
　　= 1/7 + 0.00000744

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/20(土) 14:34:52.15

まず
　5√2 = √(7^2 + 1) ≒ 7 + 1/14,
　4√3 = √(7^2 - 1) ≒ 7 - 1/14,
辺々引いて
　a = 5√2 - 4√3 ≒ 1/7,

次に　>>42

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/20(土) 14:51:47.60

マクローリンで
√(nn+1) - √(nn-1) = 1/n + 1/(8n^5) + 7/(128n^9) + …

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 03:11:47.42

>>36
　a = 1/7 + 1/(14･99･97),

　b = 3√3 - 5 = √(5^2 + 2) - 5 ≒ 1/5 - 1/(2･5^3),
　b = 3√3 - 5 = (1/5)√(26^2 - 1) - 5 = 1/5 - 1/(2･5･26),

　c = 3√2 - 4 = √(4^2 + 2) - 4 ≒ 1/4 - 1/(2･4^3),
　c = 3√2 - 4 = (1/4)√(17^2 - 1) - 4 = 1/4 - 1/(2･4･17),

∴　a ： b ： c　=　20/7 ： 4 ： 5,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/22(月) 11:27:14.47

(3 + √5)(√7 + √11) = 31.2194 > π^3,
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,

π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
　= 3.141587