純粋・応用数学

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/25(火) 11:58:05.45

クレレ誌
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。

現代の純粋・応用数学を目指して

2020/04/01(水) 23:05:44.73

>>69 補足
>下記「１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていた」（大栗）

４月の数理科学の記事に「作用素環と結び目河東泰之」があって
”ジョーンズ多項式”について書かれている
１９９０年に、ジョーンズさん、ウィッテンさんとも、フィールズ賞受賞
数学と物理の境界でした仕事が評価されたものです（＾＾

（参考）
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=4910054690408&;y=2020
数理科学 2020年4月号Ｎｏ.682
(抜粋)
結び目的思考法のすすめ
分野を繋げる数学の考え方
・作用素環と結び目河東泰之

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
(抜粋)
1990年（京都）
ヴォーン・ジョーンズ（Vaughan F. R. Jones, 1952年 - ）ニュージーランド
「 for his discovery of an unexpected link between the mathematical study of knots ? a field that dates back to the 19th century ? and statistical mechanics, a form of mathematics used to study complex systems with large numbers of components.
エドワード・ウィッテン（Edward Witten, 1951年 - ）アメリカ合衆国の旗アメリカ合衆国
「 proof in 1981 of the positive energy theorem in general relativity

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%BA%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
ジョーンズ多項式
(抜粋)
数学の結び目理論の分野において、ジョーンズ多項式（Jones polynomial）はヴォーン・ジョーンズが1983年に発見した多項式不変量である。明確に言うと、ジョーンズ多項式は向き付けられた結び目または絡み目の結び目不変量で、整数を係数とする t^{1/2}のローラン多項式で与えられる。

ジョーンズの発見以来、後述のように数学・物理学のさまざまな話題との関係が発見され議論されている。

つづく

2020/04/01(水) 23:06:35.62

>>74

つづき

組み紐の表現による定義
ジョーンズによるジョーンズ多項式のもともとの定式化は彼の作用素環の研究に由来する。ジョーンズのアプローチにおいて、それはある代数(統計力学における Potts模型のようなある種の模型に由来)への組み紐の表現のある種の "トレース" から生じた。

関連すること
チャーン・サイモンズ理論との関係
エドワード・ウィッテンが初めて示したように、与えられた結び目 γ のジョーンズ多項式は、ゲージ群を SU(2) とした三次元球面のチャーン・サイモンズ理論を考えて、γ に付随したウィルソンループ WF(γ)（F は SU(2) の基本表現）の真空期待値を計算することで得られる。

量子不変量との関係
ジョーンズ多項式 V(K) の不定元 t に {\displaystyle e^{h}}{\displaystyle e^{h}} を代入して h で展開すると、各 hn の係数はヴァシリエフ(Vassiliev)不変量になる。マキシム・コンツェビッチはヴァシリエフ不変量を統一する結び目不変量コンツェビッチ積分を構成した。
このコンツェビッチ積分の値(ヤコビ図式と呼ばれる 1,3-価グラフの無限和)に sl2 ウェイトシステム（ドロール・バー-ナタン（英語版）(Dror Bar-Natan)）が理論的に整備した)を適用するとジョーンズ多項式が復元する。

未解決問題
問題（ジョーンズ多項式の一般の3次元多様体内の絡み目への拡張）　
「もともとのジョーンズ多項式は3次元球面（3次元空間R3,　３次元球体B3）の中の絡み目に対して定義されたが、他の3次元多様体の中の絡み目の場合にジョーンズ多項式の定義を拡張せよ。」

WittenによるJones多項式を表す有名な経路積分は全てのコンパクト3次元多様体の場合に形式的には書けているが 3次元球面（3次元空間R3,　３次元球体B3）の場合以外は、物理的な意味での計算すら、されていない。すなわち物理的な意味でもこの問題は未解決で有る。ちなみにアレクサンダー多項式の場合にはこの問題は解決されている（有名な事実）。
(引用終り)
以上

2020/04/01(水) 23:10:10.36

>>73
葦の髄から天井を覗く
葦の髄から数学を覗くｗｗ(゜ロ゜；

（参考）
https://kotobank.jp/word/%E8%91%A6%E3%81%AE%E9%AB%84%E3%81%8B%E3%82%89%E5%A4%A9%E4%BA%95%E3%82%92%E8%A6%97%E3%81%8F-654099
コトバンク
葦の髄から天井を覗く（読み）ヨシノズイカラテンジョウヲノゾク
葦(よし)の髄(ずい)から天井(てんじょう)を覗(のぞ)・く
デジタル大辞泉の解説
細い葦の茎の管を通して天井を見て、それで天井の全体を見たと思い込むこと。自分の狭い見識に基づいて、かってに判断することのたとえ。
出典　小学館デジタル大辞泉

大辞林第三版の解説
葦の茎の管を通して天井を見ても全体が見えないように、狭い見識に基づいて物事を判断することのたとえ。
出典　三省堂大辞林第三版