ちなみにfが有界変動連続関数のとき

f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)

とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。