0001日高
2019/11/06(水) 09:02:13.97ID:K0QQ8/dg【証明】pは奇素数とする。x^p+y^p=z^p…@が、有理数解を持つかを検討する。
@をz=x+rとおくと、x^p+y^p=(x+r)^p…Aとなる。Aを積の形に変形してrを求める。
Aを(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p, (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r},
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…➂とする。
➂はr^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となるので、Aはx^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})…C
となる。
Cはxを有理数とすると、zは無理数となる。よって、C,A,@は有理数解を持たない。
rが有理数ならば、Cの両辺に(a^{1/(p-1)})^pを掛けた
(xa^{1/(p-1)})^p+(ya^{1/(p-1)})^p=(xa^{1/(p-1)}+(pa)^{1/(p-1)})^p…Dとなる。
Dをxa^{1/(p-1)}=X, ya^{1/(p-1)}=Y, xa^{1/(p-1)}+(pa)^{1/(p-1)}=Zとおくと、
X:Y:Z=x:y:zとなる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。