X
トップページ⇒数学
1002コメント280KB

代数幾何を勉強するためのスレッド

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/24(火) 09:21:18.89ID:HcRi2Coy
ゆっくり代数幾何を勉強するためのスレッド。
初めてスレッドを立てるので、至らない点あれば教えていただけると幸いです。
HartshorneとLei Fuの本を併用して読んでいます。みんなで疑問点を潰し合う、私の備忘録にする、そういう風に使おうと思います。
0752１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/28(日) 23:16:04.73ID:vyXH4sjd
秋月中井永田は岩波の、中野は共立のです

永田の抽象代数学は、入門書としては全く使えないだろうけど、永田の埋め込み定理が証明されている（らしい）から価値はあるでしょう
0753１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/28(日) 23:23:50.32ID:LwL6oJgz
>>746
その流れが、終わってきていることを象徴している。
0754１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 08:36:06.28ID:OCuU+VJo
永田の中小代数学ではなく
丸山・宮西の抽象代数幾何学
0755１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 08:51:42.79ID:v7ayOauM
>>754
そんな本どこにあるの？

丸山、宮西、永田の『抽象代数幾何学』しか知らんけど。
0756１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 08:54:48.79ID:v7ayOauM
永田の「抽象代数への入門」ね。
そんなのあったな。
何も書かれてへんやつ。
0758１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 10:13:13.07ID:RE6DyFkA
>>753
グロタンディークがそこまで抽象化を進まなかったことは先見の明があったのかなと思わせる
0760１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 12:37:46.11ID:eHkwk8Fi
先見の明があったのは、モチーフに深入りせずに保型形式から来るl進表現を追求したセールだろ
0761１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 13:20:58.16ID:n3AK5mCO
代数幾何学って可換環論と関連が深いの？
0762１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 13:33:04.44ID:rnDS3EJM
>>759
モチーフはスキームの抽象化とはベクトルが違う
モチーフもweil予想を自然に解くことを目的としていたが、そういう意味でスタック(ましてや導来スタック)を使っても自然には理論が展開できないということを見抜いていた(そのこだわりが正しいかは別にして)

セールもグロタンディークも先見の明はあったが、グロタンディークは人を見る目がなかった
モチーフも進めるにはグロタンディーク並みの天才が必須なように思われるが、グロタンディーク自身は周りが進めてくれるだろうと期待してたように思う
0763１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 14:31:30.83ID:7WR1vrJf
周りをその気にさせるのは実に難しい
0764Schlecht
垢版 |
2021/03/01(月) 14:43:14.19ID:Rz6p2V3E
目についたので書いてみる

代数幾何の目標とはずばり何かね？
0766１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/01(月) 15:31:26.01ID:7WR1vrJf
代数幾何の分野の難問の解決
例えばシャファレヴィッチ予想とか
0769１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/02(火) 23:33:56.86ID:iNGvdXKl
至誠
0770１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/03(水) 17:01:52.71ID:qVUuXxYc
調和かな？
0771１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 12:28:44.51ID:n6c2pI8c
調和積分論
0772１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 18:12:46.03ID:yGlTQTjG
日本の学部3年の知識から2年かそこらで代数幾何の最新理論に追い付いて、そこから問題見つけてオリジナルな結果を含む修士論文を書くなんて、まあ独学では無理でしょう
0773１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 18:15:55.05ID:yGlTQTjG
古典的な問題のモチベーションとか無視して、純粋に道具としてスキーム論や複素多様体を勉強して、指導教員の言うことを信じて、脇目も振らずに一つの問題に取り組めば、可能だろうけど、もうそうなるとなんの為に勉強しているのかという人生の問題になるね
0774１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 18:41:05.93ID:okHnvVY4
因子や線形系すら出てこなくてひたすら連接層のコホモロジーの性質を証明している代数幾何学の本があるが、あれは面白いのか
0775１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 18:43:28.85ID:a+Pws4qY
アメリカやイギリスでは高校に数学者のメンターが来たり先へ行く講義があったり、大学入試の学力試験が簡単なのでサクッと終わらせて大学数学に進むことができる

一方日本では学力試験が難しく、代数幾何へ進めば受験問題が解けるようになるわけでもないので、よほどの自信家でもない限り高校レベルで足踏みしなければならない

大学入学時点でのスタート地点が欧米に大きく遅れてるわけだから、間に合うわけがない
0776１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 18:55:37.53ID:lwoQS5Ak
>>775
全く実情を反映していない
0777１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 19:00:40.34ID:a+Pws4qY
>>776
むしろこの現実を受け止められる人が少ない
0779１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 22:18:38.93ID:7A7i5kUa
現代数学のテクニックなど数年で変わる
0780１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 22:34:55.81ID:quDhe77c
代数幾何のテクニックは
この20年間に何回変わりましたか？
0782１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 02:23:29.70ID:9AQyOZRj
>>779
その変転流転する時代性をガン無視して万古不易のごとく受験テク喧伝するのは有害極まりない。
0783１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 02:44:58.87ID:MV7RIGAG
>>782
時代遅れすぎる
0785１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 03:10:13.09ID:9AQyOZRj
まぁトムの理論の現代数学的な純粋数学的な評価は色褪せないけど。
0786１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 06:48:04.91ID:Ug/cMDuh
Renes ThomのQuelques proprietes globalesの今世紀に入ってからの
被引用度数が300であることはそれを裏付けている
しかしカタストロフ理論はどうか
0787１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 09:31:09.34ID:ECQzH3AZ
>>783
逆
なんのエビデンスもなく難関学力試験で何かを鍛えた気になってるのが時代遅れ
0788１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 09:37:24.81ID:FX34THoP
大学入試問題が解けたら頭が良いとか学問の才能があるとか、そういう何の根拠もないことに基づいて、大学入試のような公的な試験を行うのは異常
まあ日本では、入試に限らず、会社の面接などでもトンチや心理テストしか聞かれないわけだが
0789１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 11:50:21.61ID:VDFjRYRs
トンチや心理テストは口実で
本当は人柄を見ている
0791１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 18:11:39.42ID:Cs2IPsZM
それはいつごろから？
0792１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 07:16:51.29ID:OgCAcy43
数オリ解けないと代数幾何学なんてムリだろ
0793１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 07:45:22.69ID:LR2BFyu4
コンツェビッチは数オリのタイプではなかったと
聞いたことがある
0794１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 16:15:09.54ID:hdjm7GUQ
すみません質問です
arxivのワード検索で例えば代数幾何(AG)の分野の論文だけ
ヒットする検索方法はどうやればいいでしょうか？
0795１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 17:00:31.15ID:NBeqY1j/
math.AG で検索
0797１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 17:10:36.36ID:yw/hH17g
代数幾何あるある　１

「代数多様体って…イデアルだったんですね」
0798１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 17:20:27.88ID:nbSOpobn
>>796
調べたいことを書いてくれ
身バレがいやなら、「例えばこういうことを調べるにはどう入力したらいいの？」を具体的に書いてくれ
0799１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 17:32:40.43ID:hdjm7GUQ
>>798
ワードは何でもいいんですけど。
例えば、elliptic surfacesをAGだけ、またはDGだけで検索する方法は
どうしたらいいでしょうか
0801１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 17:48:16.64ID:hdjm7GUQ
>>800
それでは正しい検索結果が出ないようなのですけど。
例えば
https://arxiv.org/search/?query=";cohen macaulay"+math.AC&searchtype=all&source=header
だとたった13件しかヒットしないのですが
普通に"cohen macaulay"で検索するとACの分野で大量にヒットします
0802１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 17:52:16.85ID:hdjm7GUQ
要するに検索ワード入力欄に
「検索ワード」と「math.AG」とを入力せよ、というアドバイスですよね？
でもそれでは上手く行かないっぽいです
0803１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 11:24:19.42ID:hW/TJfzK
>>780
そんなに変わっとらんと思うよ。

そのへん気になるなら
代数幾何学より
∞圏の幾何を先にやればいいんでね？
0804１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 18:43:29.88ID:hs7qR+sx
代数幾何の位相的方法は
昔と今では大違い
0805１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 19:25:04.26ID:tHlTN7kN
>>803
「空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、
　各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、
　新しい集合を作ることができる」

「空でない集合の空でない任意の族 Ａに対して
　写像f:Ａ→∪Ａ(:=∪(A∈Ａ)Aであって
　任意のx∈Aに対しf(x)∈xなるものが存在する」

「∀λ∈Λ　[A_λ≠φ]　⇒　Π(λ∈Λ)A_λ≠φ」
0806１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 19:32:01.37ID:tHlTN7kN
定理　次の命題は( ZF 上)同値．

1.　選択公理
2.　C, D を圏， F: C→D を関手とする．
　　任意の d∈D に対して F から d への普遍射が存在するならば，
　　F は右随伴を持つ．
3.　C を余完備な圏， D を圏， F: C→D を余連続な関手とする．
　　 F はsolution set conditionを満たすとする．
　　このとき F は右随伴を持つ．
　　(General Adjoint Functor Theorem)
4.　C を余完備かつco-wellpoweredで，generatoring setを持つ圏，
　　D を圏， F: C→D を余連続な関手とする．
　　このとき F は右随伴を持つ．
　　(Special Adjoint Functor Theorem)
5.　C, D, U を圏， F: C→D ， E: C→U を関手として，
　　各 d∈D に対して余極限 colim(F↓d→C→U) が存在するとする．
　　このとき F に沿った E の左Kan拡張 F†E が存在し，
　　 F†E(d) ≅ colim(F↓d→C→U) である．
0808１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 22:07:38.75ID:h9/+Wg0C
詳しく論ずるほどの知識はないが
昔はF.Hirzebruchが
今はJ.Lurieが有名
0809１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 23:58:47.41ID:eAcd2Rf9
スキーム以前の代数幾何学は簡単ですか？
0810１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 08:58:50.49ID:O5MinYzI
スキームのおかげで大分やさしくなったと教わった
0811１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 12:41:00.40ID:tYdAkEbO
数論幾何の考え方の基礎になった
0812１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 17:32:27.88ID:0ji/claX
スキームと代数曲面論って、関係あるのですか？
0813１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 17:46:01.46ID:tYdAkEbO
たとえば{(x:y:z);x^3+y^3+z^3=0}のような点集合は
そのままでは代数曲線だが
SpecZ上の曲線族とみなせば
代数曲面でもある
おおざっぱにはこんな関係があるとも思える
0814１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 18:02:16.10ID:SLMZDOzW
質問です。

体k上の射影空間P^nの因子類群がZとなることの証明でわからないことがあります。

写像

deg: Div(P^n) → Z

を、以下で定義します。ただし、正規代数多様体Xに対して、Div(X)はXのWeil因子のなす群です。
WをP^nの素因子とすると、Wは斉次多項式fの零点集合である(*)から、

def(W) := deg(f)

と定義する。一般の因子に対しては、これを線形に拡張する。
(*)は、P^nの斉次座標環k[X_0, ..., X_n]がUFDであることから、高さ1の素イデアルが単項イデアルであることから従います。

上の定義からdegが全射準同型であることは明らかですが、Ker(deg)が主因子のなす群であることの証明がわかりません。

deg(Σ W_i - Σ V_j) = 0（W_i, V_jは素因子）

として、各W_i, V_jを定める斉次多項式をf_i, g_jとすると

Σ W_i - Σ V_j 〜 (Π f_i/Π g_j)　---- (**)

であるので、Ker(deg)は主因子のなす群に含まれます。
逆に、(h)を主因子とすると、hは次数の同じ多項式f, gで h = f/gと書けるので、deg((h)) = 0であり、主因子のなす群はKer(deg)に含まれます。

上の証明で分からないのは、(**)と同様にして、任意の素因子Wに対して、斉次多項式fが存在して

W = (f)

となりますから、Wは次数が正でも主因子になってしまいます。だから、何か飛躍があると思うのですが、それが分かりません。私が勘違いしているのでしょうか？
0815１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 18:10:37.22ID:tYdAkEbO
(f)が主因子である理由は？
0816１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 18:13:41.42ID:J5f9lhmG
次数が0でないと、fは有理型関数にならない。

deg(f) = dなら、f(ax) = a^d f(x)（a∈k, x∈k^(n+1)）だから。
0817１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 22:23:46.90ID:O5MinYzI
>>814
815や816では短すぎてわかりませんか？
もしそうだったらもっと丁寧に説明しますが
0818１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 22:28:36.13ID:2o1GcSX/
>>817
すみません、できればそうしていただけると有り難いです
0819１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 22:52:11.82ID:O5MinYzI
主因子の定義をもう一度よく読んでみてください
(815はそういう意味)
816は主因子の定義に踏み込んで説明してくれています
というわけで
主因子の定義をよく読んでみる気になりますか？
もしそうでなかったら主因子の定義を書きますが
0821１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 23:34:23.42ID:DGbqBZ2Q
>>819
勉強のため、書いていただければ有り難いです。
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 08:46:33.88ID:A3Ze8757
念のためですが
主因子の定義をどこで読んだか教えてもらえますか
その定義より詳しい説明にしたいので
0823１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 09:19:15.93ID:A3Ze8757
>>821
「勉強のため」ということは
問題点は解決済みなのですね
0824１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 10:57:50.63ID:+aQ1BfQA
トロピカル幾何学って代数幾何学なの？
0825１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 12:23:39.36ID:YFVGZa20
代数幾何がトロピカル幾何の素材を提供している
という関係に見える
0826１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 13:16:31.27ID:+aQ1BfQA
トロピカル幾何学のアメーバって、なんですか？
0829１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 18:08:26.80ID:5FfbBJ8Q
トロピカル幾何学って、なんで和書ないの？
0830１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 19:09:36.13ID:YFVGZa20
需要がないから
0831１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 19:53:24.84ID:7paJIwdn
トロピカル幾何があるってことは
テンペレート幾何もポーラー幾何もあるの？ｗ
0833１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 06:30:36.01ID:BmmErwAI
代数幾何学と数論幾何学って、どっちの方が難しいの？
0834１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 09:09:51.89ID:3ISTbzHW
難しさの定義次第
0835１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 06:32:14.29ID:njoLAPTz
アルティンよりも、なんでネーターのが重要なの？
0836１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 07:24:02.77ID:njoLAPTz
ネーターって偉大なんか？
0837１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 09:36:07.84ID:LZ2xkGAL
ネーター環よりアルティン環の方が
重要だという主張であろうか
0839１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 15:47:38.00ID:lnsnF8x1
>>837
そうだよ
答えてくれるかい？
0841１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 17:35:36.36ID:BTF1o1zn
>>840
質問した本人が「勉強のため」と
言っているのだから
問題点は解決済みなのだろう
大した問題ではなかろうと思っている野次馬は
黙っていればよろしい
0842１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 17:44:25.06ID:L1D9VTOC
>>841
イヤ、大した問題ではないはおろかめっちゃ面白い問題だと思ってるけど？
少なくともオレには証明できないぞ
0843１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 17:56:41.78ID:BTF1o1zn
>>839
宮西の本では最初にネーターの正規化定理と
アルティン・リースの補題が
基礎的な話題として書いてある
この段階ではどちらがどうとは言いにくいが
最近の変形論ではアルティン加群が非常に重要らしい
0845１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 17:59:02.16ID:BTF1o1zn
>>842
841が言いたいのは
「定義から自明」
ではないのか
0847１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 18:06:55.62ID:BTF1o1zn
815と816が別人であるとだけは言っておこう
0848１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 18:09:40.25ID:BTF1o1zn
>>846
アルティン性の本質に関わると勝手に思っているのだが
誤りであればご教示願いたい
0850１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 21:04:16.79ID:yld3bNgg
>>849
定義が分かっていたら自明でなくても満足しておきなさい
分かっていなければ問題だけど
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニューススポーツなんでも実況