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問題文一行の超難問を出し合うスレ
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0001１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 17:15:45.50ID:Nmt/SYoQ
出来る限り問題文を短くしたシンプルかつ難しい数学の問題を出していってください
分野は何でもok
0894１３２人目の素数さん
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2020/12/30(水) 02:30:03.40ID:v2iERvXn
>>893
解が存在するとしてx+yが最小であるものを取る
x>yとして良い
xがpの倍数ならyもpの倍数となり(x/p,y/p,z-1)も解となり最小性に反するからxはpの倍数ではない
w=x^(p-1)-x^(p-2)y+‥+y^(p-1)
とおいて
(x+y)w=p^z
からx+y=p^e (e≧1) とおける
この時
w
= Σ(-1)^kx^(p-1-k)(p^e-x)^k
≡ Σ[k:0～p-1]x^(p-1)-Σ[k:1～p-1]kp^e x^(p-1) (mod p^2)
≡ px^(p-1) (mod p^2)
によりw=pである‥①
一方でx^(p-1-k)y^kはkに関して狭義単調減少で下に凸であるから1になる可能性はk:p-2→p-1しかあり得ずそれ以外のときは2以上である
したがって
w=Σ(-1)^kx^(p-1-k)(p^e-x)^k
最初から二項ずつまとめていくと3以上の項が(p-1)/2項発生し、それにy^(p-1)を加えることになるからwはpより大きい‥②
①②より矛盾
0896１３２人目の素数さん
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2021/01/10(日) 15:51:59.34ID:UGFVLZEF
40人の中に同じ誕生日の三組がいる確率は?
0898１３２人目の素数さん
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2021/01/11(月) 09:19:10.26ID:hoHNCA/A
三組とは、三人組のことか？
0899１３２人目の素数さん
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2021/01/25(月) 22:11:21.11ID:Hh/ANt76
>>896
値を出すだけならば
桁が多くなるが高校数学で解ける

2人の誕生日がかぶったペアが3つとすると
1年を365日として、確率は
(40!/(2!)^3)(365!/(3!(40-2*3)!(365-(40-3))!))
≒0.18

この式は、トリオ以上の確率を含まないので
0から最大までの確率の合計は1にならない

より確実に、40人中3人がかぶるのが
どれだけ珍しいかを調べるには
トリオ以上を含めてかぶりが40人中n人の確率
P(n)=納k=1,40-n](((-1)^(n-k))((k/365)^40)(365!/(n!(40-2n)!(365-(40-n))!)))
を計算し、nによる変化を示すとよい

ちなみに、はじめて1組目のペアができる
人数の期待値は
E(B_1)=納k=0,365](365!/((365^k)((365-k)!)))
≒24.6（人目）
0900１３２人目の素数さん
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2021/01/25(月) 22:36:21.24ID:Hh/ANt76
>>899
途中の式を修正
P(n)=納k=1,40-n](((-1)^(n-k))((k/365)^40)(365!/(k!(40-n-k)!(365-(40-n))!)))

計算すると各項が最大10^19の
オーダーになって、表計算ソフト等では
桁落ちが発生するので注意
0901１３２人目の素数さん
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2021/01/26(火) 06:21:15.63ID:PRsAl3aN
>>900
もういっかい修正
P(n)=納k=1,40-n](((-1)^(40-n-k))((k/365)^40)(365!/(k!(40-n-k)!(365-(40-n))!)))

符号のみの変化と、40が偶数だったので
値に影響はないが、いちおう
0903１３２人目の素数さん
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2021/01/30(土) 12:45:59.12ID:87fexZnx
>>902
a_n = √2
0904１３２人目の素数さん
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2021/01/30(土) 14:22:18.62ID:e5CpC9q+
>>902
{[(a_1)^(a_2)]^(a_3)}^(a_4) ････ a_n
が有理数となるような無理数の組 (a_1, a_2, a_3, a_4, …, a_n) は存在するか？


a_1 = √2,
a_2 = log(3)/log(√2),
a_3 = log(4)/log(3),
　････
a_k = log(k+1)/log(k),
　････
0905１３２人目の素数さん
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2021/01/30(土) 19:23:25.74ID:e5CpC9q+
(補足)
k≧2 のとき　a_k = log(k+1)/log(k)　は無理数である。

背理法による。
a_k = log(k+1)/log(k) = p/q,
　p > q は互いに素な自然数
と仮定する。
　q･log(k+1) = p･log(k),
　(k+1)^q = k^p
ところで k と k+1 は互いに素だから p=q=0
これは仮定に反する。
0906１３２人目の素数さん
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2021/01/31(日) 15:03:06.96ID:OH+DWZ4Y
100円拾ったときの喜びより、100円落としたときの悔しさのほうが大きいのはなぜか
0909１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 11:02:13.95ID:23UZLnvy
>>907
間違えた
a(n+1)=(√2)^(an)
なら2に収束するけど、その画像だと
a(n+1)=an^(√2)
以外解釈できない
コッチは収束しない
0910１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 14:47:29.24ID:Nporqkc6
>>906
所持金1000円で1000円のランチを食べに行く途中、
100円を拾った場合と100円を落とした場合を考えて
みればわかる。
0911１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 23:35:55.41ID:yXZ/JXjd
>>903
　a_n = c,
　(0 < c <1,　無理数)
ならば
　{[log(a_1)･a_2]･a_3････}･a_n = log(c)･c^{n-1} → 0　(n→∞)

∴１に収束ですね
0912１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 20:52:34.08ID:ivdYByGo
方程式nCr=nrの解をすべて求めよ
0913イナ ◆/7jUdUKiSM
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2021/03/30(火) 03:45:10.39ID:IjAfVIy+
前>>875
>>912
n=5,c=2のとき、
5Ｃ2=5!/(3!×2!)=(5×4)/2=10
nc=5×2=10
nＣc=n!/｛(n-c)!c!｝=｛n(n-1)……(n-r+1)｝/｛r(r-1)……×2×1｝=nr
(n-1)(n-2)……(n-r+1)=r^2(r-1)(r-2)……2×1
ここまでできた。
暫定解は、
(n,c)=(5,2)
0914１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/30(火) 04:15:18.94ID:9OPtgdh7
n≧9とする
3≦r≦nにおいて
nCr≧nC3=n(n-1)(n-2)/6
nr≦n^2
によりn^2≧n(n-1)(n-2)/6が必要でn^2-9n+2≦0が必要だからn≦8が必要
よって仮定により解なし
nC2=2n⇔n^2-5n=0⇔n=5
nC1=nは全てのnで成立、nC0=0は解なし
n≦8においてnCr - nrを書き出せば
1]
[1,0]
[1,0,-3]
[1,0,-3,-8]
[1,0,-2,-8,-15]
[1,0,0,-5,-15,-24]
[1,0,3,2,-9,-24,-35]
[1,0,7,14,7,-14,-35,-48]
[1,0,12,32,38,16,-20,-48,-63]
0915イナ ◆/7jUdUKiSM
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2021/03/30(火) 04:17:11.76ID:YO00wTQQ
前>>913訂正。
>>912
n=5,r=2のとき、
5Ｃ2=5!/(3!×2!)=(5×4)/2=10
nr=5×2=10
nＣr=n!/｛(n-r)!r!｝=｛n(n-1)……(n-r+1)｝/｛r(r-1)……×2×1｝=nr
(n-1)(n-2)……(n-r+1)=r^2(r-1)(r-2)……2×1
(n,r)=(5,2)
0916１３２人目の素数さん
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2021/04/24(土) 11:20:50.51ID:4NQuAQ/r
(0,1)は可算個の閉集合の直和か？
0917１３２人目の素数さん
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2021/04/24(土) 19:11:09.74ID:1s+bUSIP
nを任意の自然数とする。(2^n+1)/(n+1)が整数とならないことを示せ。
0921１３２人目の素数さん
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2021/04/27(火) 15:05:11.62ID:DJx9gYQv
>>917
nは偶数
n+1=Πpiを素因数分解としてpi = 2^ei mi + 1 (mi : odd)とおく
e1≦e2≦e3≦‥としてよい
ei=1なら-1がZ/piZの平方剰余となって矛盾するからei>1
n+1=Πpi ≡ 1 ( mod 2^e1)よりn = 2^e1 m とおける
a = 2^mとおく
以下G=(Z/p1Zの乗法群)について考える
-1≡a^(2^e1) ( mod 2^e1) ( mod p ) より1= a^(2×2^e1) ( mod p )であるから、合わせてaの類のGにおける位数はちょうど2×2^e1である
一方でGの位数は2^e1m1であるからその元の位数は2^e1m1の約数
∴ 2×2^e1 | 2^e1m1
これは矛盾
0922１３２人目の素数さん
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2021/05/01(土) 22:23:31.81ID:5yISpVcq
x^3+y^3+z^3=2(xy+yz+zx)を満たす正の整数の組(x,y,z)を求めよ
0923１３２人目の素数さん
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2021/05/01(土) 22:30:28.08ID:ViE9i5Yi
ZF は無矛盾か？
0924１３２人目の素数さん
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2021/05/05(水) 22:17:00.66ID:ZKeLTdEJ
(2^{n}+1) / (n+1) が整数となる自然数nを全て求めよ
0925１３２人目の素数さん
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2021/05/06(木) 00:52:51.79ID:2dGw8wBi
>>922
1がない時
0=x^3+z^3+z^3-2(xy+yz+zx)
≧2x^2+2z2+2z^2-2(xy+yz+zx)
=(x-y)^2+(y-2)^2+(z-x)^2
∴x=y=z=2
1が1個の時
x,y≧2,z=1として良い
0=x^3+z^3+z^3-2(xy+yz+zx)
≧2x^2+2y^2+1-2xy-y^2-x^2
=(x-y)^2+1
より解なし
1が2個以上ある時
簡単
以上により解はx=y=z=2もしくは2が１つ、1が２つ
0926１３２人目の素数さん
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2021/05/06(木) 15:43:22.83ID:Q1+XC/Xk
(1/a)+(1/b)＝(2/3)ⁿを満たす自然数(a,b,n)の組を全て求めよ
0927１３２人目の素数さん
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2021/05/07(金) 11:32:05.90ID:apPGHuKl
このスレが埋まる日を予想せよ
0928１３２人目の素数さん
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2021/05/16(日) 23:51:50.17ID:dfm/8Keh
チェスのKingは縦の移動32回と横の移動32回ではチェス盤上64マスを周遊できない事を証明せよ
0929 【ぴょん吉】
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2021/05/17(月) 00:57:05.73ID:w8W6tVnn
前>>915
>>928
もっとも外側をまわって中へ切りこむと、
9回目の直線がどん突きまでいけない。
∵縦7+7+6+5+4=29(回)
Ｌ字を往復して内側に向かうと、
縦7+1+6+5+1+3+3+1+1=28
横7+6+1+5+4+1+3+1=28の段階が限界。
7升余っている。
8×8-(28+28)=8
8×8=64(升)を行軍しようと思ったら63行程が必要。
28+28=56(行程)だと7升分(7行程)足りないのは当然。
0930１３２人目の素数さん
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2021/05/17(月) 01:16:58.83ID:DsRiQurj
チェス盤の全目を周遊するいくつかの周遊路の和について考える
横移動の回数÷2をH、縦移動の回数÷2をV、連結成分の数をCとする
H+V+C≡0 ( mod 2 ) を示す
━
━
を
┃┃
に入れ替えてH+V+Cのmod 2での類は変化しないのでこの変換で
┏┓
┗┛
16個に移せる事を示せば良い
左下隅が
┃┃
┃┗━
┗━━
の時は上側の┃┃を＝に、右側の＝を┃┃に変えれば良い
他に2型あるが何も同じ要領で□を増やせる
この作業を順に繰り返せば良い
0931１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/17(月) 01:36:43.63ID:DsRiQurj
訂正
×H+V+C≡0 ( mod 2 ) を示す
◯H+C≡0 ( mod 2 ) を示す
0932イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/05/25(火) 15:04:52.18ID:RsDmkDOx
前>>929
>>906
喜びの大きさも悔しさのそれも、
絶対的な大きさじゃないんじゃないか。
つまりある全体数に対する相対的な数値で比較すると、
世の中にあると聞く何兆円という金額に対する100円はわず
0933イナ ◆/7jUdUKiSM
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2021/05/25(火) 15:12:16.60ID:RsDmkDOx
前>>932つづき。
>>906
かだが、自分が所有する金額に対する100円の割合はかなり大きく、
まれにこれを超えることもありうる。
大きな額でなくとも、
かように大きな割合を占める現金が本来なかった状態から偶発的に手に入るとなれば、
喜びは一入であろうことは容易に想像できる。
∴示された。　
0934１３２人目の素数さん
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2021/05/27(木) 03:37:16.59ID:vmP7BTXg
これ良スレじゃない？
part2もやりてえな
0936１３２人目の素数さん
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2021/06/06(日) 08:10:08.26ID:Ops/s1ku
>>922
　X = -x+y+z -2,
　Y = x-y+z -2,
　Z = x+y-z -2,
　W = x+y+z -4 = X+Y+Z +2,
とおく。
　0 = x^3 + y^3 + z^3 - 2(xy+yz+zx)
　= (1/4)(X+Y+Z)W(W+6) - (3/8)(XYZ+XYW+XZW+YZW) - (11/4)(XY+YZ+ZX),
{X,Y,Z,W} のうちの3つが0なら成立。
　X=Y=Z = 0　⇒　(x,y,z) = (2,2,2)
　X=Y=W = 0　⇒　(x,y,z) = (1,1,2)
　X=Z=W = 0　⇒　(x,y,z) = (1,2,1)
　Y=Z=W = 0　⇒　(x,y,z) = (2,1,1)
0940１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/14(月) 04:49:13.02ID:o8ceR7De
f⚪︎fが不動点を持たないようなC上定義された正則関数fを全て求めよ.
0941１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/14(月) 15:09:58.87ID:IKVeisyG
f◌f(z) - z が零点をもたないようなf(z)をさがす。
これは整函数なので
(1)　定数
(2)　高々一つの値を除く全ての値をとる。（Picardの除外値）
のいずれか････

(1)　f(z) = z+c　(c≠0)
0942１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/14(月) 15:43:19.30ID:V4bBAB96
零点を持たない整関数である⇔f(z)=exp(g(z))と書ける
で手詰まり
こんなの解けんやろ
0943１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/14(月) 15:55:46.80ID:V4bBAB96
あ、そんな事ないのか
失礼しました
g(z) = g( z + g(z) ) + 2πin
が全ての奇数について解を持たないのは
g(z) - g( z + g(z) )
が定数である場合しかないのか
0944１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/22(火) 00:59:29.87ID:gjIxyUfZ
前>>933
>>935
ぴょん吉はひろしが着てるシャツの中にいる。
ひろしが着てるからひろしの体のラインに沿って曲面であるが、本来は平面である。
∵生地が裁断された時点で平面だから。
0945 【豚】
垢版 |
2021/06/22(火) 00:59:53.57ID:gjIxyUfZ
前>>933
>>935
ぴょん吉はひろしが着てるシャツの中にいる。
ひろしが着てるからひろしの体のラインに沿って曲面であるが、本来は平面である。
∵生地が裁断された時点で平面だから。
0946935
垢版 |
2021/06/22(火) 11:00:25.42ID:wuaJB1iW
なるほど～
0947１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/09(金) 00:42:47.66ID:Ie6oDgig
閉円板は可算個の閉集合の直和か？
0948１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/09(金) 10:43:30.57ID:B5uff1V8
開区間がそうではないと同様
0949１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/09(金) 11:19:51.92ID:Ie6oDgig
>>948
その場合(開区間)はどのように示しますか？
0950１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/09(金) 16:50:42.84ID:B5uff1V8
開区間の連結性に基づく
0951１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/09(金) 16:55:11.77ID:XDxbBKss
>>950
いやそれでは示すことできないですよ
「閉集合」による分割です
0952１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/09(金) 16:58:09.86ID:XDxbBKss
有限個の分割の不可能性は確かに連結性と正規空間の性質から示せますが、無限個による分割だと自明ではないです
0953１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/22(木) 23:11:56.55ID:B5We13SZ
ガウスが19歳の時に正17角形を作図したということだが
なぜ正17角形を考えていたかというと
それまでに正16角形までは作図方法が見つかっていたから
正五角形は作図の仕方を知っているが
正7角形とかも作図できるの？
ということで問題です
『コンパスとメモリのない定規だけで正7角形を作図しなさい』
と言ってもここで作図を書くのは無理だと思うので
作図の説明がある本やサイトがあれば教えてください
0955１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/01(日) 08:42:44.12ID:7h609Ps1
>>953
＞それまでに正16角形までは作図方法が見つかっていたから
どこでこんな嘘覚えてきたん？
0956１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/06(金) 07:13:06.56ID:ia8S5R1/
>>850
曲面上の閉曲線の二点間の測地距離の最大値をD、曲線の長さをLとすれば
D≦(1/2)*Lが成り立つ
なぜならば、D＞(1/2)*Lを仮定すると、ある二点x,yが存在して、d(x,y)＞(1/2)*Lとなるが、L=孤xy+孤yx≧2*d(x,y)＞Lとなり、矛盾である

したがって単位球面上の長さ2πの閉曲線は
D≦π となり、Dを達成する二点を結ぶ大円上に頂点を持つ半球に曲線が含まれる
0957１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/06(金) 07:13:28.50ID:ia8S5R1/
誤爆失礼しました
0958１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/20(水) 03:34:19.96ID:tGBp8wkO
>>917
>>924
nが奇数のとき、分母が偶数で不成立。
n ≡ 2　(mod 6)　のとき　2^n ≡ 4　(mod n+1)
n ≠ 2　(mod 6)　のとき　2^n ≡ 1　(mod n+1)　*
より不成立

*) 例外: n=24 など
0961１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/20(土) 12:19:11.09ID:D7qhnQ5u
二つの単位球を包み込むラップの表面積の最小値は？
0962１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/22(月) 08:57:11.33ID:ezmXDy6Q
S = 8π{1 - sin(θ/2)^4} = 7.62046448681145π
ここに　θ/2 = 0.485559222450734

2球の接点を原点、2球の中心を (-1,0), (1,0) とする。
　1 - cosθ ≦ |x| ≦ 2 では球面と一致し、
その中間ではカテノイド曲面
　√(yy+zz) = a cosh(x/a)　　　(|x|≦1-cosθ)
とする。
　a = (sinθ)^2 = 4w/(1+w)^2,
　1 - cosθ = 2w/(1+w),
　w = 0.2784645427610738
は w･e^w = 1/e の根。

[面白スレ３８．636,671-673]
0968１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/05(水) 11:14:37.09ID:s/GudS68
>>963
a=bとしてこっちが立てばあっちが立たずという様子をみて
もしかしてこれ算術幾何平均？っておもって0.5と0.75の平均を計算してみたんだけど0.61867…とそれっぽい値が出てきた

でも1-a^2=aの解 (√5-1)/2=0.6180…の方が小さい
ab<aは確定だしbはこの値以上に小さくしないといけないことが分かるので無視出来る
なんで (√5-1)/2
0970１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/11(火) 10:46:12.21ID:NN0OLdb2
max(a,b,ab)=max(a,b)は確定だから,max(a,b,1-ab)の最小値
を求めればよい。

i)max(a,b,1-ab)=a であるとすれば、a≧b, a≧1-abだが、
a≧bより、1-ab≧1-a^2となり、a≧1-a^2 ⇒ a≧(√5-1)/2
で、aのとりうる最小値はa=(√5-1)/2
ii)max(a,b,1-ab)=bの場合も同様にしてbのとりうる最小値も同じ。
iii)max(a,b,1-ab)= 1-abの場合、1-ab≧a,1-ab≧bより、
(1-ab)^2≧ab、1-(1-ab)^2≦ 1- ab　
1-ab=xとおけば、1-x^2≦x⇒ x≧(√5-1)/2　となり、
1-abのとりうる最小値はやはり(√5-1)/2
0971１３２人目の素数さん
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2022/01/17(月) 00:09:23.88ID:XoyhcjR4
どんな2n個の整数に対しても、その中のn個をうまく選べば和がnの倍数になることを示せ
0972１３２人目の素数さん
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2022/01/19(水) 16:22:09.77ID:C0cChYMN
1から6の目が出ることが同様に確からしく「ない」サイコロを2回振るとき、同じ目が続けて出る確率は1/6よりも大きいことを証明せよ。
0973１３２人目の素数さん
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2022/01/19(水) 16:43:11.02ID:h0H/Iv3u
Σpi^2Σ1≧(Σpi×1)^2=1
等号成立は(pi)//(1)のとき
0976１３２人目の素数さん
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2022/01/19(水) 17:44:06.02ID:WeeOdlE1
さっぱり解らない。
相加・相乗平均の不等式使うの？
それでも、
p1^2+p2^2+p3^2+p4^2+p5^2+p6^2≧2{(p1+p2)/2}^2+2{(p3+p4)/2}^2+2{(p5+p6)/2}^2
≧4{(p1+p2+p3+p4)/4}^2+2{(p5+p6)/2}^2≧6{(p1+p2+p3+p4+p5+p6)/6}^2
こんな感じで、二つ一組ごとにしかできないです。
どうやって、一発で導出できるの？
0978１３２人目の素数さん
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2022/01/19(水) 18:07:28.59ID:YHT5YPbg
>>975
限りません
被りもありえる設定です
0980１３２人目の素数さん
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2022/01/19(水) 18:26:11.90ID:YHT5YPbg
>>979
0=0×nなので当然0はnの倍数ですよ？
0982１３２人目の素数さん
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2022/01/25(火) 23:15:59.86ID:eaqdfLu0
長さがそれぞれ1,2,3,…,15の辺を一つずつ使って内角が全て等しい15角形を作れ.
0983１３２人目の素数さん
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2022/01/26(水) 00:03:31.44ID:VMJsy7fr
彼女をつくれ。
0984１３２人目の素数さん
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2022/01/26(水) 00:37:46.51ID:Kt5wMR6t
>>983
たった６文字で作られた難問中の難問！
0986１３２人目の素数さん
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2022/01/26(水) 01:15:01.88ID:m/6PyNwW
>>985
お見事大正解！
0987１３２人目の素数さん
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2022/01/26(水) 04:40:04.54ID:iqXbs8iL
>>983
ni^i　i(日本語で私)のアイジョウ(愛情)をかけられるnはあらゆる正の実数なので特定の誰かを彼女にする訳にはいかない
0988１３２人目の素数さん
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2022/01/26(水) 09:14:13.51ID:Kt5wMR6t
>>985
なんやのん、サゲマスって？
0992１３２人目の素数さん
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2022/01/28(金) 22:16:24.85ID:rM71e7YG
半径1の円周上に任意の2点をとるとき、2点間を結ぶ弦の長さの期待値は？
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
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