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問題文一行の超難問を出し合うスレ

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0001１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 17:15:45.50ID:Nmt/SYoQ
出来る限り問題文を短くしたシンプルかつ難しい数学の問題を出していってください
分野は何でもok
0551１３２人目の素数さん
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2020/01/14(火) 12:48:49.93ID:dDZfzNYb
自分の知ってることは周りも知ってて当然って思ってる人ってタチが悪いよね
常識の押し売り
0554１３２人目の素数さん
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2020/01/14(火) 14:53:13.99ID:ArLL4hAw
あんま煽るなよ

問題:煽って相手がその事を根に持ったらどうなる？

解答:相手はその事を根に持つ多項式になる
0555１３２人目の素数さん
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2020/01/14(火) 16:15:57.90ID:yqvreR1f
>>552
本当に出てくるのか？
EXCELでSQRT関数は平方根を求める関数だぞ
平方根以外の累乗根はPOWER関数使うんじゃないのか？
そもそもsqrtはsquare root(平方根)の略だ
立方根ならcubic rootになる
0558１３２人目の素数さん
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2020/01/14(火) 20:52:07.88ID:ITApl1nr
いやできた。
五色を12345とする。
abcdeが12345と塗られているとする。
平面abcの全ての点の色は123としてよい。
また直線de上の全ての点は45として良い。
よっで平面abcと直線deは平行となる。
deを含みabcと平行な平面をαとする。
αの外側に4か5に塗られた点fがあれば直線dfか直線efのいずれかが三色を含んで終わり。
そこでαと平面abcのいずれにも属さないfをとればfの色は123のいずれか。
1としてよく、このとき平面fbcは直線deと交点gを持ち、fbcが123色、gの色は4か5だから平面fbcが求める条件を満たす。□
0559１３２人目の素数さん
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2020/01/15(水) 07:43:40.50ID:eZ3imUWK
迷惑コテハン除けにTeX記法で書いてみたら
迷惑コテハンが記法を誤読したうえで突撃してくるんだもんな、参っちゃうよ
0560イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/01/15(水) 19:30:44.18ID:eGPXp69J
‖~‖
____‖､､､､_‖_____
￣￣/(`-` )/|
ц~/υ‥υ/|
□|_υυ_|/
￣￣￣￣￣難問はなんびとも見極めが肝心。果報は寝て待て。
前>>547汝、難問を見たら選んで突撃せよ。
0561１３２人目の素数さん
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2020/01/15(水) 23:59:21.06ID:kCoNc+mw
>>546
a=(2√7+3√3)^(1/3)
の3乗根がはずせるかどうかを試す
a=k(√7+t√3)
と置き3乗して係数を比較
2√7+3√3=k^3((7+9t^2)√7+(7t+t^3)3√3)

2=(7+9t^2)/(7t+t^3) を満たす有理数根を探すとt=1
この時k=1/2で3乗根をはずせて
a=(√7+√3)/2

a^2+1/a^2=5
この最小多項式は x^4-5x^2+1 で4次
0562１３２人目の素数さん
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2020/01/16(木) 04:27:04.41ID:06OsZx2I
>>7
手計算でやって(a,b,c)＝(-6,-10,11)の時に115になった
そのうちいけんじゃね？と思うのは浅はかでしょうか？
0565イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/01/16(木) 16:18:08.37ID:izvR1SI9
前>>560
>>7
a=10とすると、
b^2+c^2=114-100=14
これを満たす整数b,cは存在しない。
a=9とすると、
b^2+c^2=114-81=33
これを満たす整数b,cは存在しない。
a=8とすると、
b^2+c^2=114-65=49
b=7,c=0
∴(a,b,c)=(8,7,0)グヘッ計算間違い!!
0566イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/01/16(木) 16:23:11.65ID:izvR1SI9
前>>565
>>7
a=10とすると、
b^2+c^2=114-100=14
これを満たす整数b,cは存在しない。
a=9とすると、
b^2+c^2=114-81=33
これを満たす整数b,cは存在しない。
a=8とすると、
b^2+c^2=114-64=50
b=7,c=1
∴(a,b,c)=(8,7,1)
0568イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/01/17(金) 05:46:00.86ID:3S1g3K0T
前>>562
>>567はなんか見たことあるな思たら>>10で既出でした。浅はかかもしれない。
もしかしたら114にならないことがわかっているか、まだみつかっていないか。
0570１３２人目の素数さん
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2020/01/17(金) 09:35:53.52ID:iYo9RDLF
任意の四面体の面と面がなす角度(4Ｃ2通りある)の総和が360度より大きいことを証明せよ
0571１３２人目の素数さん
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2020/01/17(金) 12:21:07.84ID:5N2K87Ba
>>561
正解！
a=(√7+√3)/2 になることがわかればおk
0575１３２人目の素数さん
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2020/01/18(土) 15:51:27.23ID:w9zejrXG
>>574
wolframの無料版なら、かなり工夫しないと計算できない

ヒント：Σ(有理数)^(1/15) の形になる
0576１３２人目の素数さん
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2020/01/18(土) 16:00:35.40ID:EsuXaTYh
この手のアルゴリズムが知られてるやつはもひとつやる気が起きないんだよなぁ。
0578１３２人目の素数さん
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2020/01/22(水) 22:40:50.30ID:tm5UgauK
√(1+√(2+√(3+...は収束し、無理数であることを示せ
0579１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/01/22(水) 22:45:26.85ID:tm5UgauK
1+√(2+√(3+√(4+...<π を証明せよ
0580１３２人目の素数さん
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2020/01/23(木) 00:09:11.37ID:uX5Gp1Sm
>>578
これはわからん。絶対できない予感が。
いきなりですけどヒントおながいします。
0581１３２人目の素数さん
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2020/01/23(木) 09:23:01.83ID:rYHBEzzn
>>580
出題者じゃないけど、収束することの証明と上限値の計算

a[n,1]=n, a[n,2]=n-1+√n, a[n,3]=n-2+√(n-1+√n),…, a[n,k+1]=n-k+√a[n,k]
と置くと
a[n,n]=1+√(2+√(3+…+√n))
はn→∞で収束し、極限値αはn>1において α<a[n,n]+√((n+1)/n!)/2^(n-2) である

証明
a[n+1,k+2]-a[n,k+1] = √a[n+1,k+1]-√a[n,k]
= (a[n+1,k+1]-a[n,k])/(√a[n+1,k+1]+√a[n,k])
< (a[n+1,k+1]-a[n,k])/(2√(n-k+1))

↓k=n-1,n-2,…,2,1を代入

a[n+1,n+1]-a[n,n] < (a[n+1,2]-a[n,1])/(2^(n-1)√(n!))
= √((n+1)/n!)/2^(n-1)
↓
a[m,m]-a[n,n] < Σ[n'=n,m-1]√((n'+1)/n'!)/2^(n'-1)

↓(n'+1)/n'! はn>1で単調減少より

a[m,m]-a[n,n] < √((n+1)/n!)Σ[n'=n,m-1] 1/2^(n'-1)
< √((n+1)/n!)Σ[n'=n,∞] 1/2^(n'-1)
= √((n+1)/n!)/2^(n-2), (1<n<m)
ゆえにa[n,n]はコーシー列で収束する
極限値の上限
上の式でm→∞とすると
α-a[n,n] < √((n+1)/n!)/2^(n-2)

電卓でn=5を計算すると
α < a[5,5]+√((5+1)/5!)/2^(5-2)
= 3.1123...
< π


収束性だけなら、もっと簡単に示せます
0590哀れな素人
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2020/01/28(火) 08:42:56.08ID:NPYgLLTK
>>585
根と係数の関係より、2019/2020
0592イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/01/28(火) 16:04:29.30ID:JYMx7E8e
／‖__`‖￣￣‖;;;;;;
‖∩∩ ‖ □ ‖;;;;;;
（　(`)‖　　‖;;;;;;
（っ⌒⌒　　｡‖╂─╂
■`(_)_)ц~　‖╂─╂
＼■υυ■___‖､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前>>569＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>585解と係数の関係より、すべての解の和は、
-2019/2020
0594１３２人目の素数さん
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2020/01/28(火) 19:14:20.22ID:HqQuNv0S
グラハム数の正の約数の和は、グラハム数の正の約数の個数で割り切れるか答えよ。
0597１３２人目の素数さん
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2020/01/30(木) 08:03:14.59ID:QWolHuOm
>>595
ホント。
という事は未解決問題なんだよね？
ネットの問題出し合うスレに未解決問題貼って何が面白いんだろ？
0602１３２人目の素数さん
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2020/01/30(木) 13:51:16.58ID:Xe9+JgnQ
>>600
これはできたよ。
G(n)=3^k、k=3^lとかけるから正の約数の個数はk+1、その総和は(3^(k+1)-1)/2でk+1=ql+r (0≦r<l)とおくと
((3^(k+1)-1)/2,k+1)
=((3^(k+1)-1)/2,3^l+1)
=((3^r(-1)^q-1)/2,3^l+1)
でコレが3^l+1になるのはr=q=0のときのみでn=1の時のみ。
0603１３２人目の素数さん
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2020/01/30(木) 18:40:59.31ID:Xe9+JgnQ
>>599
できたかな？
sinhをマクローリン展開して項別に積分して
c=∫[0,π/2]sinh(sin(x))dx=Σ[n≧1]1/((2n-1)!!)^2。
cが有理数とする。
cの二進付値をeとして(2N-1)!!の中に無限に出てくるZ/2^eZの類mを一つ固定しておく。
まずNを十分大きくとってN≡m (mod 2^e)かつ
(2N-1)!!)^2Σ[n>N]1/((2n-1)!!)^2
が1未満、かつc((2N-1)!!)^2の分母が二冪になるようにとれる。
さらにNより大きいMを十分大きくとってM≡m (mod 2^e)かつ
(2N-1)!!)^2Σ[n>N]1/((2n-1)!!)^2 - (2M-1)!!)^2Σ[n>M]1/((2n-1)!!)^2
が(0,1)にはいり、かつc((2M-1)!!)^2の分母が二冪になるようにとれる。
ここでc((2M-1)!!)^2-c((2N-1)!!)^2は正の整数となる。
さらに
((2M-1)!)^2Σ[n≦N] M]1/((2n-1)!!)^2 - ((2N-1)!)^2Σ[n≦N]1/((2n-1)!!)^2
は整数である。
以上により
c((2M-1)!!)^2-c((2N-1)!!)^2
-((2M-1)!)^2Σ[n≦N] M]1/((2n-1)!!)^2
+((2N-1)!)^2Σ[n≦N]1/((2n-1)!!)^2
=
(2M-1)!!)^2Σ[n>M]1/((2n-1)!!)^2 - (2N-1)!!)^2Σ[n>N[1/((2n-1)!!)^2
において左辺は整数、右辺は(-1,0)に属するから矛盾。
0604１３２人目の素数さん
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2020/01/31(金) 17:20:43.53ID:rKt5zlxu
正三角形をいくつかの四角形(面積が同じならいい)に分割する。
この時四角形は最低でもいくつ必要?
0607哀れな素人
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2020/01/31(金) 18:48:18.96ID:8+Bogxhm
>>604
12個。

まず正三角形の各辺を４等分した点を打つ。
次に、重心と各頂点を結ぶ線の中点を打ち、
それらの中点を結ぶ正三角形を内部に作る。
次に、重心と元の正三角形の３辺の中点を結ぶ。
最後に、元の正三角形の３辺の中点以外の２点と
内部の正三角形の頂点を結ぶ。

そうすると底辺と高さが等しい12の四角形に分割される。
0609哀れな素人
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2020/01/31(金) 19:07:22.37ID:8+Bogxhm
なるほど、その手があったか（笑

よく見れば>>605にすでに答えが出ている（笑
0610１３２人目の素数さん
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2020/01/31(金) 19:24:02.33ID:rKt5zlxu
>>605
正解
0611１３２人目の素数さん
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2020/01/31(金) 19:25:23.23ID:rKt5zlxu
ちなみに形が違ってもいいなら606
0612１３２人目の素数さん
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2020/01/31(金) 20:09:16.64ID:CezXO0Yl
>>606,>>611
一つの頂点から出てその対辺まで到達する「く」の字形の折れ線に
適切なものが無数に存在する？
0613哀れな素人
垢版 |
2020/01/31(金) 23:23:07.58ID:8+Bogxhm
>>612
無数に存在する。

作図方法
正三角形をABCとし、頂点をAとする。
底辺BCと平行に、高さの1/2の平行線を引く。
その平行線のどこでもいいから点Dを打ち、Aと結ぶ。

次にAからBCに垂線を下ろし、
その垂線と平行線との交点をE、BCとの交点をFとする。
そしてFG＝2EDとなる点をBC上に取り、DとGを結ぶ。

そうすると題意を満たす二つの四角形に分割される。
0615１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/02(日) 04:05:36.80ID:TkJfemTq
素人考えだが>>578は背理法でどうにかならんの？
有理数だと仮定すると任意のカッコから右は一つの分数で表せるんだよな
それで全てのカッコについて右側はn+√(a^2/b^2)の形になる
各段階で常に平方数になり続けるって所と>>581の上限値で何か出来そう
0616１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/02(日) 04:25:16.37ID:wm8FTVKf
√(6+√(6+√(6+...は3になって有理数だからそういう方針では無理性は示せないでしょう
0617１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/12(水) 10:15:05.96ID:HKjhlZJd
a=¥sqrt[3]{¥sqrt{28}+¥sqrt{27}}

↓ここに貼り付けると画像として表示してくれる。
ttps://texclip.marutank.net
0618１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/12(水) 10:15:50.15ID:HKjhlZJd
あ、¥をバックスラッシュに置き換えないとだめだな。
0619１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/14(金) 21:29:12.51ID:IaigkBVz
>問題文一行の超難問を出し合うスレ

チンポは随意筋なのか不随意筋なのか？
0620１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/19(水) 13:38:05.45ID:PEZCUO2T
>>619
条件や時による
0622１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/21(金) 20:24:43.65ID:QiSbAa/H
自然数x、y、zが以下の条件を満たすとき、解（x、y、z）は何通り存在するか？
１／x＋１／y＋１／z＝１２
１＜x＜y＜z
答えのみで良い。
0627１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/21(金) 22:07:25.06ID:QiSbAa/H
コンピューターでもし簡単に解けるとしても面白くもなんともないはず。
0630１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/22(土) 11:51:31.93ID:kbdBd4as
全ての折り線を他の折り線と垂直にせず、正七角形を折ることは可能か答えよ
0632１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/22(土) 15:01:27.61ID:kbdBd4as
折り紙を使って直交する折り目なしで正七角形を作れるかって問題だよ汲み取れよこの程度
0634１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/22(土) 16:15:51.44ID:ceeKINr6
そもそも作図問題のようにすでにある交点と交点を結ぶようにしか折ってはいけないのか自由に折っていいのかもわからん。
前者なら作図不能な図形ができるハズないし後者ならできるの当たり前。
0636１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/22(土) 21:54:40.26ID:nVgonY6s
>>628
お、合ってるかも。正解か、あるいは近い。いま、暇がないのであとで確かめる。どうやって解きました？
0638１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/22(土) 22:41:00.26ID:nVgonY6s
>>628
こちらの答えは、141通りでした。どちらかが間違えてますね。明日、もう一度考えてみます。
0639１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/23(日) 10:11:16.41ID:RcvtgDc5
折り紙ではないが定規とコンパスによる（近似的）作図例なら、大島照治の「作図の妙味」に載っておるな。
0640１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/23(日) 17:41:25.49ID:kdiI/ElD
>>624
与条件：1/x+1/y+1/z＝1/12, 1＜x＜y＜z
1＜x＜y＜z より 1＞1/x＞1/y＞1/z＞0

12＜x＜36 ∵1/x＜1/x+1/y+1/z＝1/12, 1/x＝(1/3)(1/x+1/x+1/x)＞(1/3)(1/x+1/y+1/z)＝1/36

x＝13 のとき 1/y+1/z＝1/156 変形して (y-156)(z-156)＝156^2、また y＜z より 156＜y＜2*156＜z
解の個数は 156^2 の約数の個数を d(156^2) として、floor(d(156^2)/2) ＝ floor(d(2^4*3^2*13^2)/2) ＝ floor(5*3*3/2) ＝ 22
x＝14 のとき、同様に (y-84)(z-84)＝84^2、解の個数は floor(d(84^2)/2) ＝ floor(d(2^4*3^2*7^2)/2) ＝ floor(5*3*3/2) ＝ 22
x＝15 のとき (y-60)(z-60)＝60^2、解の個数は floor(d(60^2)/2) ＝ floor(d(2^4*3^2*5^2)/2) ＝ floor(5*3*3/2) ＝ 22
x＝16 のとき (y-48)(z-48)＝48^2、解の個数は floor(d(48^2)/2) ＝ floor(d(2^8*3^2)/2) ＝ floor(9*3/2) ＝ 13
x＝17 のとき (5y-204)(5z-204)＝204^2、解の個数は f≡1 (mod 5) となる 204^2 の約数fの個数を d として、floor(d/2)
条件を満たす約数fは 1,6,16,36,51,136,306,816,1156,2601,6936,41616 の12個、よって解の個数は 6
x＝18 のとき (y-36)(z-36)＝36^2、解の個数は floor(d(36^2)/2) ＝ floor(d(2^4*3^4)/2) ＝ floor(5*5/2) ＝ 12
x＝19 のとき (7y-228)(7z-228)＝228^2、f≡3 (mod 7) となる 228^2 の約数fは 3,24,38,171,304,1368,2166,17328 の8個、よって解の個数は 4
x＝20 のとき (y-30)(z-30)＝30^2、解の個数は floor(d(30^2)/2) ＝ floor(d(2^2*3^2*5^2)/2) ＝ floor(3*3*3/2) ＝ 13
x＝21 のとき (y-28)(z-28)＝28^2、解の個数は floor(d(28^2)/2) ＝ floor(d(2^4*7^2)/2) ＝ floor(5*3/2) ＝ 7
x＝22 のとき (5y-132)(5z-132)＝132^2、f≡3 (mod 5) となる 132^2 の約数fは 3,8,18,33,48,88,198,363,528,968,2178,5808 の12個、よって解の個数は 6
（つづく）
0641１３２人目の素数さん
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2020/02/23(日) 17:42:01.60ID:kdiI/ElD
>>640 （つづき）
x＝23 のとき (11y-276)(11z-276)＝276^2、f≡10 (mod 11) となる 276^2 の約数fは無し
x＝24 のとき (y-24)(z-24)＝24^2、解の個数は floor(d(24^2)/2) ＝ floor(d(2^6*3^2)/2) ＝ floor(7*3/2) ＝ 10
x＝25 のとき (13y-300)(13z-300)＝300^2、また 300/13＜25＜y＜2*300/13＜z よって、25＜13y-300＜300、解は (13y-300)＝90, (13z-300)＝1000 の場合の 1個
x＝26 のとき (7y-156)(7z-156)＝156^2、また 26＜7y-156＜156、解は (7y-156)＝117, (7z-156)＝208 の場合の 1個
x＝27 のとき (5y-108)(5z-108)＝108^2、また 27＜5y-108＜108、解は (5y-108)＝72, (5z-108)＝162 の場合の 1個
x＝28 のとき (y-21)(z-21)＝21^2、また 7＜y-21＜21、解は (y-21)＝9, (z-21)＝49 の場合の 1個
x＝30 のとき (y-20)(z-20)＝20^2、また 10＜y-20＜20、解は (y-20)＝16, (z-20)＝25 の場合の 1個
x＝29,31〜35は解なし
解の総数は 22+22+22+13+6+12+4+13+7+6+10+1+1+1+1+1＝142
もう少しスマートな解法があればとは思うが
0642１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/23(日) 18:44:06.52ID:tKmjHfQn
うん。こんなに長いのを書き込む根性が僕にはないな。負けました。解もあなたの方が正しそうですね。勉強させて貰いました。ありがとう。
0644１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/24(月) 00:33:20.05ID:AX/0l14b
いや、そんなことよりも、どうやって解いたかは気になる
面白い解き方があるんなら知りたい
0645１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/24(月) 11:05:09.82ID:8dUiMcqg
与えられた二点ABの中点をコンパスのみで作図せよ
0646１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/24(月) 16:28:29.79ID:qdPoCpoK
>>634 >>645
そのうち答えます。まず、彼の証明をまだ理解していないので、それを完全に理解してからにします。すこし待って下さい。
0648１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/24(月) 18:04:27.90ID:qdPoCpoK
x＝14の場合の解が22個ではなく20個であると思う。従って、答えは141でも142でもなく140であると思う。
１／y＋１／z＝１／84の解が22個あるだろうか？
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