問題文一行の超難問を出し合うスレ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 17:15:45.50

出来る限り問題文を短くしたシンプルかつ難しい数学の問題を出していってください
分野は何でもok

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 17:34:46.65

１＋１＝？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 19:14:04.07

全ての辺と対角線の長さが整数である直方体は存在するか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/22(日) 20:51:28.39

>>3
3:4:5:5√2
5:12:13:13√2
存在しないな――。
特殊な直方体、立方体だとどうか。1:1:1:√3――存在しない。
1:2:――存在しないぞ。
a^2+b^2=c^2(a≦b≦c)とすると、
対角線の長さ=√(a^2+b^2+c^2)
=√(2c^2)
=c√2
√2が無理数だから、
3辺a,b,cを整数とすると、
対角線は無理数になる。
∴存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 21:07:10.71

>>4
論外

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 21:11:22.09

正標数代数多様体の特異点を解消せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 21:13:40.25

a^3+b^3+c^3=114を満たす整数(a,b,c)を1組見つけよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 22:02:42.43

正方形を全て大きさの異なる正方形のみで埋め尽くすことは可能か。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 23:14:24.62

>>8
1つの正方形で正方形は埋め尽くせるぞ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/23(月) 02:05:58.70

前>>4
>>7
8^3+11^3+(-12)^3=115
惜しい!!

11^3+(-10)^3+(-6)^3=115
惜しい!!

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/23(月) 03:16:28.60

前>>10
>>8できる。見たことある。二十個ぐらいの異なる正方形で分割してあった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 14:47:07.16

>>11
ルジンの問題？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/23(月) 15:51:10.25

前>>11
>>12いや、たしか日本人でしたよ。桜井とかいったような。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 19:41:33.94

>>7
a^3+b^3+c^3=114
a^3+b^3+c^3-114=0

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)なので
abc=38と
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0である事がわかる
abc=38よりa,b,cの候補が±1,±2,±19,±38に絞られるが、
どの組み合わせも(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0を満たせない

よってa^3+b^3+c^3=114を満たすような整数の組(a,b,c)は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 20:35:03.25

半径12の60°の扇型OABのOを基準に点Pが1秒2√3ずつ進む時、4秒後のOPの長さはいくつか

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 20:37:35.28

>>15
訂正OBPの長さはいくつか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/24(火) 15:21:50.65

前>>13
>>15-16
Pは4秒でOから、
2√3(/秒)×4(秒)=8√3だけ進む。
PがB→A回りのとき、
OP=12
OBP=8√3
PがA→B回りのとき、
OP=12
OBP=OA+OB+⌒AB-OAP
=12+12+2π･12･(60°/360°)-8√3
=24+4π-8√3

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 21:59:17.08

>>17
正解⭕

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 01:05:26.55

>>14
ツッコミ待ちだったらあれなんだが、
その因数分解の式で変形して整理すると
3(abc-38)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
となるんじゃ？
abc=38と(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0は一体どこからw

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 19:14:24.08

一応言っとくが>>7は未解決問題な

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 00:32:16.58

πは無理数か。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 21:30:35.74

可換とは限らない単位的かつ結合的な標数0の体上有限次元のアルティン環においてx_1^n+x_2^n+...+x_m^nが全ての正の整数nで0ならばx_iは全て冪零である事を証明せよ.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 02:27:03.24

>>22
必要ならJacobson radicalで割って半単純代数として良い。
体の標数は0なので環Rは複素数体Cの行列環として良い。
xiの固有値をaijとしてtraceをとれば仮定より
Σ[ij] aij^n =0 (∀n)
Vandermonde + αによりaij=0 (∀ij)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 13:34:13.01

>>23正解！

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 16:07:49.71

このスレにもバカイナ湧いてんの

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 22:15:41.09

スルーできないアホが多い板だからイナ大喜びよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 22:21:32.83

円周率が3.05以上である事を示せ。

円周率3とした文科省に噛み付いた東大の受験問題。色んな意味でカッコイイ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 22:23:10.41

円周率が3になるとかいうデマに惑わされた情報弱者がめっちゃ喜んでたよな

【吉】 · 2019/10/01(火) 03:45:40.18

前>>17
今月もおもしろい問題にいっぱい出逢えますように!!

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 06:52:14.08

一辺√2の正方形があり外接する円を書きさらに外接する正方形と言う風に交互に書いていく時5つ目と7つ目の正方形の一辺の差を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 12:50:20.02

>>30は難問なの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 12:53:39.11

一行にまとめるのが難しい

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/06(日) 03:12:19.55

これを示せ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/06(日) 09:21:07.89

前>>29
>>30
1つ目の正方形の一辺:√2
2つ目の正方形の一辺:2
3つ目の正方形の一辺:2√2
4つ目の正方形の一辺:4
5つ目の正方形の一辺:4√2
6つ目の正方形の一辺:8
7つ目の正方形の一辺:8√2
∴5つ目の正方形の一辺と7つ目の正方形の一辺の差は、
8√2-4√2=4√2

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/06(日) 14:52:54.11

円に外接する多角形の周長は円周よりも長いことを厳密に証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/06(日) 18:45:41.71

tan(x)>x if 0<x<π/2
を示すの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/06(日) 19:15:18.81

>>36
そう。トートロジーにならないように弧長の定義に沿って示してほしい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/06(日) 22:04:15.10

「平面上の任意の閉曲線はある正方形の４頂点を線上に持つことを示せ」

これは難問なの？
難問だとして有名題なの？？
そもそも成り立つの？？？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/06(日) 22:52:34.24

>>37
偏角θが0<θ<π/2である点P(a,b)を単位円上に、Q(1,c)をx=1上にとる。
示すべきはθ<c。
θ=∫[0,b]1/√(1-y^2)dy
<∫ [0,b]1/√(1-b^2)dy
= b/√(1-b^2)
= c

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/06(日) 23:59:28.82

>>39
正解。微積分の教科書作成で循環論法なしでこれを示すのが難しいらしい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/08(火) 11:16:46.41

0＜x＜90 を満たす有理数 x のうち、tan x°(=tan πx/180) も有理数になるものは x=45 だけであることを証明せよ。

ネタ元は加藤和也が一般向けに書いた本だよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/08(火) 11:40:35.96

>>41
tan n°が有理数ならtan(n,45)°=tan m°も有理数。
m≠45ならmは9または15の約数よりtan9°またはtan15°が有理数。
tan9°は方程式
(3x-x^3)/(1-3x^2)= (1-2x^2)/(2x)
すなわち
1-10x^2+5x^4=0
の解であるが、この解は
x=±√(5±√5)
であり、いずれも有理数ではない。(∵ 5±√5が有理数ではない。)
tan15°が有理数ならtan30°も有理数であるがこれは1/√3なので有理数ではない。

◆5jmHQb3UhA · 2019/10/09(水) 19:32:58.09

https://imgur.com/jCJgZ9B.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/09(水) 23:35:05.02

a[i]=(5+2√6)^i+ (5-2√6)^iとおいてn=a[2019]-1。
a[i+2]=10a[i+1]-a[i]、a[0]=2、a[1]=10。
容易にa[i]≡2(mod 4)。
√6≡16 (mod 25)により5±2√6≡5±7 (mod 25)。
7^4≡49^2≡(-1)^2≡1(mod 25)であるから
(5±2√6)^20≡(5±7)^20≡1(mod25)によりa[2019]≡a[-1]≡a[1]≡10(mod 25)。
以上によりa[2019]≡10(mod 100)。
∴ nを100で割った余りは9。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/10(木) 18:45:05.86

違います
答えはトリップです(答えが1なら名前欄に
#1
と書く)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/11(金) 20:20:42.25

2√5ね。やり直し

a[i]=(5+2√5)^i+ (5-2√5)^iとおいてn=a[2019]-1。
a[i+2]=10a[i+1]-5a[i]、a[0]=2、a[1]=10。
容易にa[i]≡2(mod 4)。
vを√5進付値としてv(a[i])≧i)。
とくにa[2019]は25の倍数。
以上によりa[2019]≡50(mod 100)。
∴ nを100で割った余りは49。

Prelude> let a = map ((+(-1)).fst) $ iterate (\(x,y)->(y,10*y-5*x)) (2,10)
Prelude> take 10 a
[1,9,89,849,8049,76249,722249,6841249,64801249,613806249]
Prelude> let b = map (truncate) $ iterate (*(5+(sqrt 20))) 1
Prelude> take 10 b
[1,9,89,849,8049,76249,722249,6841249,64801249,613806249]
Prelude> flip mod 100 $ a!!2019
49

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/12(土) 01:37:07.74

正12面体の3面を任意に選ぶとき、12面体の頂点のうち選んだ3面のいずれかの頂点となるものの個数の期待値を求めよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/12(土) 11:09:13.52

前>>34
>>47
正十二面体の一つの面の形は正五角形。五つの正五角形と接する。頂点の数はぜんぶで、
5+10+5=20
面の数はぜんぶで12あり、うち3つをどう選ぶかで、その3つの面に使われてる頂点の数は変わる。
それぞれの頂点が①3つの面に含まれてることもあれば②2つの面に含まれてることもあるし③1つの面のみに含まれてることもあるし④3つの面のいずれにも含まれてないこともある。
①の場合は頂点の数だけ、すなわち20通りある。
②の場合は2つの面の選び方が辺の数だけ、すなわち5+10+5=20(通り)あり、2つととなりあわないあと1つの面が8通りあり、
20･8=160(通り)ある。
③の場合は1つの面の選び方は任意で、
1つととなりあわないあと2つの面が6Ｃ2=15(通り)ある。
④の場合は、
あわせて12Ｃ3=12･11･10/3･2=220(通り)あればいいから、
220-20-160-15=25(通り)
あってる可能性がある。
選んだ1つの頂点が、
選ばれた3つの面のうちいくつに含まれてるか、
その期待値は、
3(20/220)+2(160/220)+1(15/220)=3/11+16/11+3/44
=(19･4+3)/44
=79/44
=1.79545454……

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/12(土) 11:24:50.28

不正解

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/12(土) 13:34:00.32

前>>48訂正。
>>47
正十二面体の一つの面の形は正五角形。五つの正五角形と接する。頂点の数はぜんぶで、
5+10+5=20
面の数はぜんぶで12
3つの面をどう選ぶか。
任意に選んだ頂点が、
①3つの面に含まれてる場合
頂点の数、すなわち20
②2つの面に含まれてる場合
2つの面の選び方は辺の数、すなわち5+10+5=20
あと1つの面の選び方は8
20･8=160
③1つの面のみに含まれてる場合
1つの面の選び方は12
1つととなりあわないあと2つの面が、6Ｃ2=15
12･15=180
④3つの面のいずれにも含まれてない場合
期待値は、0
12面から3面選ぶ場合の数は、
12Ｃ3=12!/3!･9!=12･11･10/3･2=220
1つの頂点が、
3つの面のうちいくつに含まれてるか、
その期待値は、
3(20/220)+2(160/220)+1(180/220)=3/11+16/11+9/11
=28/11
=2.545454……

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/12(土) 13:38:12.77

不正解

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/12(土) 18:20:55.37

前>>50わかった！
いずれかの頂点になるだ。
わかってきたぞ。
20ある頂点のうち、
3つの正五角形のいずれかが取りうる頂点の数の期待値の最大値は、
5･3=15
天辺の取り方は12通り。
二段目5つは空ける。
三段目5つのうち手前に2つ目の面をとると、3つ目の取り方はとなりを空けて2つある。
12の面から3つとる取り方は、
12Ｃ3=12･11･10/3･2
=220
場合分けして解く。
①いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合、
天辺の取り方は12
2つ目の取り方は下段に5
3つ目の取り方は下段に2
12･5･2=120
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5･3=15
期待値は、
15(120/220)=90/11
②1辺だけ重なるように3つの面をとる場合、
となりあう2つの面ととなりあわないあと1つの面の取り方は4通りあるから、
天辺の取り方は12
2つ目の取り方が5
3つ目の取り方が4
12･5･4=240
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5+3+5=13
期待値は、
13(240/220)=156/11
③1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる取り方は、
天辺の取り方が12
2つ目の取り方が5
3つ目の取り方が4
12･5･4=240
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5+3+3=11
期待値は、
11(240/220)=12
④3つの面が1つの頂点で重なる取り方は、
天辺の取り方が12
2つ目の取り方は上段に5
3つ目の取り方は上段に2
12･5･2=120
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5+3+2=10
期待値は、
10(120/220)=60/11
①②③④より、
(90/11+156/11+156/11+12+60/11)/5=(462/11+12)/5
=(42+12)/5
=54/5
=10.8
自信ない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/12(土) 18:27:22.93

不正解

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/12(土) 18:54:46.40

頂点の数は、
15、13、11、10の4種類。
それぞれの起こる確率を足すと1になるはず。
220を超える分子が気になった。
前>>52
4種類の起こる確率が正確に把握できれば、
期待値は出るはず。
12ぐらいかな？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/12(土) 21:55:52.03

前>>54
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2=10
12･10=120(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は4
12･5･4=240(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は4
12･5･4=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2つ目の取り方は上段に5
3つ目の取り方は上段に2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
120+240+240+120=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(120/720)+13(240/720)+11(240/720)+10(120/720)=3+11/3+5/3
=(15+26+22+10)/6
=73/6
=12.166……

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/12(土) 22:09:52.36

不正解不正解

41 · 2019/10/12(土) 22:54:48.47

>>42
用意していたのと毛色の違う答案が来たので読めないでいる。
後半は読めそうなんだが、
そのn,mは整数？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/12(土) 23:24:41.71

nは整数、m=(45,n)は45とnの最大公約数。
0<n<90, n≠45, tan n°が有理数と仮定すると
m=(45,n)とおくとき
mは45の45でない約数かつtan m°が有理数
となる。
∵ mが45の約数であるのは自明。
m=45とするとnは45の90未満の倍数。
∴n=45。
これはn≠45に矛盾。
m=45x+ny を満たす整数x,yが取れるが加法定理とtan45°、tan n°がともに有理数と仮定してるからtan m°も有理数。

【凶】 · 2019/10/13(日) 00:21:38.00

前>>55
正十二面体の頂点の数は20。

12の面のうち3つの面にある頂点の数の期待値として、12.166……は妥当な値だと思うんですが、半端ですね。

解くたび値が変わってるし。
計算間違いしたのかな？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 07:57:36.98

前>>59訂正。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2=10
12･10=120(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は3
底辺の取り方は1
12･5･(3+1)=240(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
2段目ととなりあわない2段目の取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
120+240+240+120=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(120/720)+13(240/720)+11(240/720)+10(120/720)
=(15+26+22+10)/6
=73/6
=12.166……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 08:17:51.12

前>>60あ、そうか！　2段目空ける場合が抜けてるわ。訂正。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2=10
12･10=120(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は3
底辺の取り方は1
12･5･(3+1)=240
2段目を空ける場合は、
3段目の取り方が5で、
かつ底辺をとる。
12･5=60
240+60=300(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
2段目ととなりあわない2段目の取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
120+300+240+120=780(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(120/720)+13(300/720)+11(240/720)+10(120/720)
=(15･2+13･5+11･4+10･2)/12
=(30+65+44+20)/12
=159/12
=13.25

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 08:23:29.65

前>>61分母も訂正。
15(120/720)+13(300/720)+11(240/720)+10(120/720)
↓　　↓　　↓
15(120/780)+13(300/780)+11(240/780)+10(120/780)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 08:51:36.13

不正解

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 09:42:09.30

前>>62
>>61重複しとるね、3段目。訂正。綺麗な値になった。あってるかもしんない。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
(5Ｃ2)/2=(5･4/2)/2
=10/2
=5
12･5=60(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は3
底辺の取り方は1
12･5･(3+1)=240
2段目を空ける場合は、
3段目の取り方が5で、
かつ底辺をとる。
12･5=60
240+60=300(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
2段目ととなりあわない2段目の取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
60+300+240+120=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(60/720)+13(300/720)+11(240/720)+10(120/720)=(15+13･5+11･4+10･2)/12
=(15+65+44+20)/12
=144/12
=12

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 12:00:32.33

不正解

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 13:06:13.65

>>47
問題文には「正12面体の3面を任意に選ぶとき」とあるが、
重複不可の三面なら12.3636...　、重複可なら、11.5625

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 13:15:14.00

正解

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 13:28:50.54

n次元空間の一片の長さが1の正n+1面体の体積を求めよ。

**ID:1lEWVa2s** · 2019/10/13(日) 13:31:17.84

全部チョロいけど一つの問題に2年掛かる

**ID:1lEWVa2s** · 2019/10/13(日) 13:32:17.60

もはや体力なし。力尽きてそろそろ死ぬ。南無阿弥陀仏。

**ID:1lEWVa2s** · 2019/10/13(日) 13:33:49.29

数学板:(簡単に解ける奴はきもい)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 13:55:50.39

前>>64
>>47
まだ重複してたってことだな。
3面選ぶのに重複しましたもんで2面ですとか、3面とも重複しましたん、せやで1面なんですとかボケるのなしで、
136/11ってことか。
もしそれが正解なら、俺の答えは144/11
あと8/11だけ重複してたってことになる。
あと8、重複をみつける。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 15:08:41.57

前>>72訂正。難問だな。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2
=10
重複してるから5
12･5=60(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
1辺が重なる2面ととなりあわない面は4
12･5･4=240
2段目をとらずに3段目と底辺の6枚のうちとなりあう2枚をとる取り方は10
12･10=120
240+120=360
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
3段目をとらずに2段目ととなりあわない2段目をとる取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
60+360+240+120=780(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(60/780)+13(360/780)+11(240/780)+10(120/780)=(15+13･6+11･4+10･2)/13
=(15+78+44+20)/13
=157/13
=12.07692308……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 20:54:13.53

前>>73
>>66答えだけ当ててもなんにもならない。出題者以外だれが理解するんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 21:58:33.99

正十二面体の各面を、北極面、北半球面（５面）、南半球面（５面）、南極面と分類し、
三面を選ぶ際、北極面を固定して選ぶこととする。残り二面の選び方は、
a:北半球面から二面
b:北半球面から一面、南半球面から一面
c:北半球面から一面、南極面
d:南半球面から二面
e:南半球面から一面、南極面
の五パターンだが、この二面が接する場合(on)と、接しない場合(off)に分けて考えると、
a-on:5通り、頂点は10個　（密着型)
aoff:5通り、11個　（鎖型）
b-on:10通り、11個　（鎖型）
boff:15通り、13個　（２分離型）
c-on:5通り、13個　（２分離型）　　；【coffパターンは無い】
d-on:5通り、13個　（２分離型）
doff:5通り、15個　（３分離型）
e-on:5通り、13個　（２分離型）　　；【eoffパターンは無い】
つまり、密着型(頂点10)が5通り、鎖型(頂点11)が15通り、2分離型(頂点13)が30通り、3分離型(15)が5通りある。
(10*5+11*15+13*30+15*5)/(5+15+30+5)=136/11=12.3636...
重複可の場合は省略

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 22:07:17.95

ちなみに期待値の線型性を用いるとかなり楽に解けます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 22:07:26.56

説明にミスあった
誤：c-on:5通り、13個　（２分離型）　　；【coffパターンは無い】
正：coff:5通り、13個　（２分離型）　　；【c-onパターンは無い】

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/13(日) 23:17:30.42

前>>74
>>75
書き方が違うだけでやってることは同じみたいだ。
天辺で12掛けてるのを省略すると、
①5②30③20④10
正解は①5②30③15④5
つまり頂点の数が15のときと13のときは訂正してあってるってことか。③④がちょっと多かったみたい。頂点の数が11のときと10のときが重複してないか、なんで多くなってるのか検討してみます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 23:40:01.96

各面、各頂点に番号を振り、実際に三面を選んだとき、いくつの頂点が選ばれたかを、
プログラムでも確かめてあります。（重複不可と重複可の両方走らせてあります。）

http://codepad.org/UBUAl3KK

【小吉】 · 2019/10/14(月) 00:55:59.36

前>>78①②④は修正した。③がまだ不明。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2
=10
重複してるから5
12･5=60(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
1辺が重なる2面ととなりあわない面は4
12･5･4=240
2段目をとらずに3段目と底辺の6枚のうちとなりあう2枚をとる取り方は10
12･10=120
240+120=360
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
この2面ととなりあう6面のうち4面がとりうるから、
12･5･4=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目で2つとる取り方は5
12･5=60(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
60+360+240+60=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(60/720)+13(360/720)+11(240/720)+10(120/720)=(15+13･6+11･4+10)/12
=(15+78+44+10)/12
=147/12
=12.25

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/14(月) 10:23:07.03

前>>80①②④は修正済み。
③もわかった。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2
=10
重複してるから5
12･5=60(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
1辺が重なる2面ととなりあわない面は4
12･5･4=240
2段目をとらずに3段目と底辺の6枚のうちとなりあう2枚をとる取り方は10
12･10=120
240+120=360(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
この2面ととなりあう6面のうち4面がとりうるが、
2段目からとる場合は5つのうち2つをとる取り方は10で、重複してるから5
12･5=60
3段目からとる場合は2段目1つについて3段目2つがとりうるから5･2=10
12･5･2=120
60+120=180(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目で2つとる取り方は5
12･5=60(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
60+360+180+60=660(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(60/660)+13(360/660)+11(180/660)+10(120/660)=(15+13･6+11･3+10)/11
=(15+78+33+10)/11
=136/11
=12.363636……

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 10:24:13.10

三面の「形状」（＝相対的な位置関係）で分類し、数え上げる方法（＝考え方）。

密着型：
　頂点は１０個。一つの頂点を共有する三面で構成。
　正十二面体上の一つの頂点と１対１に対応づけられる。従って２０通り
鎖型：
　頂点は１１個。三つの面が繋がっている。ただし、密着型では無いもの。
　真ん中の面と、その面内の一つの辺で、三面を特定できる。従って１２×５＝６０通り
2分離型：
　頂点は１３個。三面の内二面が接触、他の一面が非接触。
　接触している二面は、その共通辺に対応づけられ、非接触の一面は４つの候補がある。従って、稜の数の４倍。３０×４＝１２０通り
3分離型：
　頂点は１５個。お互い共通辺を持たない。
　密着型の三面のすぐ外にできる三面がこれにあたり、密着型と１対１に対応づけられる。従って２０通り

20+60+120+20=220。合計220通り。

プログラムでも示したように、「三面」の選び方はC[12,3]=12*11*10/3!=220通りが基本。
3!　分を「あえて」重複して数えたりする方法もあろうが、その場合でも、この倍数になるのが普通。
そうならない場合は、何かがおかしい。

◆iPazWYBMaM · 2019/10/17(木) 02:25:54.24

https://imgur.com/9zzzxKK.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/17(木) 03:19:07.87

28

難問じゃないの出すのやめ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/17(木) 05:12:38.60

前>>81
>>83
34乗のとこが2乗なら、
展開式のxの係数が最大のkで、
2･4･√2=8√2
4乗なら、
x^2の係数が最大のkで、
6･4^2･√2=96√2
……
34乗のとき、
x^17乗の係数が最大のk。
あとで考慮します。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 11:12:00.43

ほとんど誰も答えてないな

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 11:25:53.88

別に解く義務はないからね。
面白そうと思ったやつ限定で挑戦してまつ。

41 · 2019/10/18(金) 14:00:59.02

>>58 は合ってた。
45x+nyを計算する過程で90+180Zを通らないか心配したけど、
これはyを適切にとって先にnyを計算して45づつ引けば回避できるわ。

で >>42
tan 9° の最小多項式は
1-4x-14x^2-4x^3+x^4=0
が正しくて、4つの根は
x=1+s√(5)+t√(5+s√5)
s,t∈{±1}
(複号3つだが4通りしかとれないという意味)
らしいです(wolfram調べ)

まあ整数度についてはこれで正解にしよっか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 14:11:40.66

>>42
はtan18°の最小多項式だな。
tan9°が有理数⇒cos36°=(1+√5)/4も有理数
tan15°が有理数⇒cos30°=√3/2も有理数
の方が計算は楽？

41 · 2019/10/18(金) 14:15:13.16

こっちの使ってるのが飛び道具だから
無理はしてくれるなと思うけど
有理数度の場合の答えは
来週末に書きます

41 · 2019/10/18(金) 15:54:30.22

引くってか足すこともあるか

>>89
ほぉーん
これもちゃんと解いたら
tan18°=√(1-2/√5) だ

ついでに
1,2,3,... 度のtanの最小多項式の次数 24,24,8,24,6,... をwolframに聞いてOEISに突っ込んだけどなかったw

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 16:33:09.69

exp(2πi/n)の最小多項式の次数=φ(n)
やcos(2π/n)のそれ=φ(n)
は有名だけどね。
tan(2π/n)のそれもやろうと思えばできるんだろな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 17:08:14.31

あ、[Q(cos(2π/n)):Q]=φ(n)/2 (n≧2)でした。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 03:40:09.38

[Q(cos(1°)):Q]=φ(360)/2=48
か

素数 p≧3 に対して
[Q(tan(2π/p)):Q]=φ(p)=p-1
というのがあった

この方向でいくなら
正確に求めずとも1でさえなければ無理数確定だが

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 15:54:50.40

>>41の問題をこの方向で解くだけでいいなら
[Q(tan2π/n):Q(cos4π/n)]=1,2と比較的簡単に証明できる[Q(cos(2π/n)):Q]などをうまく使えば出来る。
しかしどうせなら気分良く[Q(tan2π/n):Q]を明示的に求めたいものだ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 06:04:03.51

多分できた

[Q(tan(2π/n):Q]=
φ(n) (n:odd)
φ(n/2)/2 (8|n)
φ(n/2) (otherwise)

自信はない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 09:50:12.11

>>68
R^n で解くのは面倒
R^{n+1} に n+1 個の点を
(1,0,...,0) の置換から得られる座標に取って全ペア結ぶと、
一辺が √2 の n 次元 n+1 面体 A になる
これと各座標軸に垂直な n+1 個の n 次元面 x_i=0 とで囲まれる図形 K は
n+2 個の n 次元面を表面とし n+1 次元体積をもつ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 10:21:19.05

表面積1の八面体の体積の最大値を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 10:44:43.37

>>68
K の n+1 次元体積 V は
勝手な n 次元面を底にして
V = (底の n 次元体積) × 高さ × 1/(n+1)

A は n 次元平面 Σx_i=1 にあるので
A を底とみるとき K の高さは
原点から Σx_i=1 までの距離であり、それは 1/√{n+1}
よって
V = volume(A) × 1/(n+1)^{3/2} ...[1]

一方で x_1=0 にある K の面 B を底とみると、
B の体積を求めるには次元を下げて帰納的にいけば
V = V_{n+1} = V_n × 1 × 1/(n+1),
V_2 = V_1 × 1 × 1/2,
V_1 = 1
よって
V = 1/(n+1)! ...[2]

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 11:02:28.73

>>68
V = volume(A) × 1/(n+1)^{3/2} ...[1]
V = 1/(n+1)! ...[2]
から
volume(A) = √{n+1}/n!

しかし A の一辺は √2 だった
単位長さに調節すると
(n 次元物体なので n 乗)
Ans. √{n+1}/(2^{n/2} n!)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 11:03:35.01

どやどや

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 11:12:22.84

辺上のみならず面の内側を切ってもよいとするとき、
展開図を単位正方形にできる八面体のうち体積が最大のものがわかっていて
アレキサンダー・ダイソン・オルーク(ADO)の八面体というらしい
秋山仁の新書より

でも>>98はこれじゃないんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 11:17:59.91

違うよ。
正解は
V1=1
V2=√3/4
V3=√2/12
V4=√5/96
‥‥
です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 11:19:05.20

あ、ごめん、>>100が答えね。正解です。お見事。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 11:20:55.66

>>98は面白スレで散々盛り上がったやつね。
懐かしい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 11:40:16.16

>>68の用意してた解答
p1～pnを
|pi|=1、pi・pj=1/2 (i≠j)
となるようにとる。
グラム行列GをG[ij]= pi・pjで定めれば求める体積Vは
V=1/n!√|G|。
Iをn次単位行列、Aを全成分が1/2の行列、B[11]が(n/2)残りは0の行列とする。
AとBはトレースが等しくともにランク1なので相似。
よって
|G|=|A+I/2|=|B+I/2|=(n+1)/2^n。
以上により
V=√{n+1}/(2^{n/2} n!)。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 13:17:27.00

綴りが気になってたので自分でググったら
Alexander, Dyson, O'Rourke と出た

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 13:31:04.62

>>47の用意してた解答。
頂点をp1～p12としてpiが選んだ3面のいずれがの頂点となるとき1、そうでないとき0をとる確率変数とする。
求めるのはE(ΣXi)=ΣE(Xi)。
E(Xi)はpiが選んだ3面のいずれがの頂点となる確率に等しく、その値は
1-c[9,3]/c[12,3]=1-84/220=34/55。
∴求める期待値は
34/55×20=136/11。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 16:54:27.08

e^π と π^e はどちらが大きいか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/21(月) 18:42:00.47

logπ/π<log e/e。
∵ log x/xはx≧eで単調減少
∴ π^e < e^π。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 22:08:20.41

>>109
電卓叩けば出る問題って寂しい

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 02:56:12.43

じゃあ別人だけど
n^{n^n} が {10^7}^{2^122} を初めて上回る正整数 n を求めなさい。

電卓を叩くための変形がいる

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 03:41:53.98

電卓叩く
5.316e36<2^122<5.317e36
∴10^37.212e36<(10^7)^(2^122)<10^37.219e36
26<6.157e36
26<10^1.415
∴26^(26^26)<10^8.712155e36
27^27>4.434e38
27>10^1.431
∴27^(27^27)>10^6.345054e38
∴n=27

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 08:43:13.41

>>113
正解～

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 22:32:42.99

x^y=y^x をみたす異なる実数xとyを全て求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 09:24:22.56

てｓと

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 00:32:15.36

半径1の円に内接する二つの正三角形を独立に一様分布でえらぶとき、共通部分の面積の期待値を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 14:01:48.00

>>115
(log x)/x = (log y)/y = t
0 < t < 1/e
を満たす x ≠ y の組は無数にある

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 15:52:29.16

内角が全て等しく、辺の長さが全て整数の素数角形は必ず正多角形となることを示せ.

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 16:18:13.05

辺の数をp、辺の長さをai、ζ=exp(2pi/p)としてΣaiζ^i=0。
∴ai=aj (∀i j)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 16:38:01.56

>>120
早いなさすが正解です

pが素数のときなぜa_i=a_j (for all i,j)になるのか示して欲しいけどまあ分かってるだろうからいいか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 21:50:04.09

半径が1の球の表面または内部に点を一つとるとき、その点と球の中心との距離の期待値を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 22:46:02.12

一様分布？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 22:54:08.07

一様分布なら原点からの距離の分布関数は
F(r)=4πr^3/3 ÷ (4π/3) = r^3。
よって期待値は
∫[0,1] rd(r^3) = ∫[0,1] 3r^3dr = 3/4。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/26(土) 11:35:05.08

前>>85
>>122中心との距離は0～1のあいだにある。
0は一点のみ、1は表面にたくさんある。1/2もかなりあるが1ほどじゃない。
期待される距離は、3/4
>>117二つの正三角形が一致するとき重複部分の面積は、一辺√3の正三角形の面積だから、
3√3/4
ちょうどずれて正六角形になるとき、その面積は正三角形を9分割した6個分になるから、
(3√3/4)(6/9)=√3/6
3/4と1/6のあいだは、
11/24
期待される面積は、
11√3/24

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 12:42:55.67

>>125
答えだけでいいよ
そもそも違ってること多いから君

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 13:10:45.80

https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org618446.jpg

手当たりしだいにやっていって、答えは「179」かなー？と思うのですが
ちゃんとした解き方教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 14:20:47.68

x/4 - r/4= x/5- s/5 ⇔ x = 5r - 4s
(r=-2,-1,0,1 s=-2,-1,0,1,2)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 14:26:17.61

一の位で四捨五入って35なら40ってことか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 14:27:30.12

あ、少数第一位じゃないのか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 15:21:22.71

>>127です。
申しわけありませんスレ違いでした。
「算数スレ」を見つけたので、そちらで聞くことにします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 15:38:59.17

これあんまりキレイに解けそうにないなぁ。
押さえ込んで絞り込んでくしかないんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 16:06:24.02

>>125
不正解

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 17:15:06.95

ある整数Nを4で割って一の位で四捨五入したものがQだとすると、Q-5≦N/4＜Q+5
同様にNを5で割って一の位で四捨五入したものがQだから、Q-5≦N/5＜Q+5

5Q-25≦N＜4Q+20でなければならない。これを解いてQ＜45
Qは10の倍数だからその最大は40
よって35≦N/4＜45かつ35≦N/5＜45となる最大の整数Nを求めれば良い
解は179

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 17:53:44.72

>>134
なるほど！ありがとうございます！

41 · 2019/10/26(土) 18:03:23.69

じゃあ用意していた解法を書くね
>>95がおそらく正しいが判断しきれませんでした
あと>>94は自分でした

41 · 2019/10/26(土) 18:52:53.17

まずガウス整数環 Z[i] の素因数分解についておさらい
Z[i] の0でない元は素因数分解でき、その一意性もある意味で成り立つ。

素数(素元)に単元(±1,±i)を掛けたものはみな素数とするのが普通。
この解答では、偏角が (45°, 45°] の範囲にある素数を「赤い素数」と呼ぶことにする。

Z[i] の0でない元は
i^t Π{p_k}^{a_k}
(p_k は相異なる赤い素数, a_k≧1)
の形に p_k の順番の違いを除いて一意に表せる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 19:02:35.80

>>117を高校生でも理解できる形に読み替える方法。

Eを底面がz=-π/3にある原点中心の単位円に内接する正三角形で高さが2π/3の柱とし、Fを-π/3≦z≦π/3にあり、z=tにおける断面が(cos t,sin t)を頂点に持つ単位円に内接する正三角形である立体とする。
EとFの共通部分の体積を求めよ。

これの答えの÷2π/3が求める期待値。
この積分は高校生でもできるハズなんだけどなぜかwolfram先生はやってくれないんだよな。

41 · 2019/10/26(土) 20:08:47.07

tan x° が有理数と仮定する。
あるガウス整数 z=a+bi をとって
arg(a+bi)=x°, tan x° =b/a とできる。
z の素因数分解を
i^t Π{p_k}^{a_k}
(p_k は相異なる赤い素数, a_k≧1)
とする。

0＜x＜90 を満たす有理数は
ある正の整数 N をとって
xN を360の正の整数倍にできる。
M=z^N は正の整数となり、
複素共軛 ~ を考えると
M=(z^N)~=(z~)^N

41 · 2019/10/26(土) 21:17:28.66

(>>137 訂正 (-45°, 45°] )

M=i^{Nt} Π{p_k}^{Na_k} ...[1]
共軛をとると
M=i^{-Nt} Π{(p_k)~}^{Na_k} ...[2]
両者の素数に対応がつかなければならない。

ア. arg(p_k)≠45° の場合
(p_k)~ も赤いので
(p_k)~=p_k' となるk' がある。
p_k が実数なら k=k' で自身と対応する。
p_k が虚数なら k≠k' で p_kp_k' が実数。 a_k=a_k' も成り立つ。
結局ここからは実数しか出ない。

イ. arg(p_k)=45° の場合
(p_k)~ は-45°なので赤くない。
しかし i(p_k)~ は赤いので
Πの外から適当な数のiを持ってきて調節すればよい。
i(p_k)~=p_k なので自身と対応する。
ちなみに偏角45°の素数は 1+i のみ。

さて
z=i^t Π{p_k}^{a_k} は
iの積
×アから得られる実数
×イの偏角45°の素数の積

なので、(0°, 90°) では45°しかありえない。

以上

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 22:09:05.09

>>140
乙。
ミソはzにおける赤い素因子pの多重度がp~の多重度と常に等しい事ね。
ナル。
>>96の証明そのうち書こうと思いますが、私の証明長いのでどなたか短いの見つけたら書いて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 23:16:35.24

n次元双曲空間H^nの境界S^(n-1)の異なる3点をH^nの等長変換群SO(n,1)で自由に動かす事は出来るか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 07:24:52.75

nを2以上の任意の自然数とするとき、1+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/n)は非整数であることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 10:44:54.16

n=2のとき明らか。
n>2のときはチェビシェフの定理により(n/2)<p≦nを満たす素数pがある。
vをp進付置とすると1≦K≦nにおいてk=pのときのみv(1/k)=-1でそれ以外ではv(k)=0。

wikiのチェビシェフの定理はnは1より大きい自然数だが1より大きい実数でも成立するのは容易。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 11:38:44.58

>>142
n=2では容易。
以下ポアンカレモデルを用いる。
すなわちH=H^nはn次元実ベクトル空間の単位球の内部で等長写像は単位球と直交する球による反転であり、向きを保つものはそれらの偶数回の合成と考える。
A,B,Cを∂Hの3点とし、A',B',C'を(1,0‥),(-1,0‥),(0,1,0‥)とする。
A,B,CをA',B',C'に移せればよい。
まずSO(n)の作用はHの距離を保つからA=A'としてよい。
ABOを含む平面Pで切ればn=2の場合から中心がPに含まれる偶数回の反転でAを止めたままBをB'に移せる。
よってB=B'も仮定してよい。
よってABC全てを含む平面Qが採れる。
C''をOC''=1, ∠AOC''=π/2と採ればやはりn=2の場合からA,Bを止めたままCをC''に移せる。
よって∠AOC=π/2としてよい。
この時二つのCONS (OA,OC,‥)と(OA',OC',‥)が採れて互いにSO(n)で写しあえる。□

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 12:10:07.87

>>145
正解！

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 17:59:44.64

>>119関連
1～1001を並べ替えた数列anで
Σ[n=1,1001]an^2exp(2πi n/1001)=0
を満たすものが存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/28(月) 00:00:32.38

>>143の別解
nを二進数表示したときの桁数をa≧2とし、2進付置をvとするとa桁以下の全てのkについてv(k)≦a-1であり、等号成立はk=2^(a-1)の時のみ。
特に1～nの自然数kではk=2^(a-1)を除いてv(k)<a-1であるからv(Σ[k:1～n]1/k)=-a+1。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/28(月) 22:27:58.31

4/2019=(1/x)+(1/y)+(1/z)をみたす自然数x,y,zを求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/28(月) 23:08:42.50

>>149
2019を素因数分解すると1、3、673、2019だよね？
3×673でできる数2019だよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/28(月) 23:50:47.64

>>149
(x,y,z) = (673,2692,8076) とか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 00:25:38.52

>>151
2665/1358787
どんなチェックしたらそんな値出てくるんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 00:29:23.41

答え1個出すだけなら
1/673+1/6057+1/6057+1/6057
でもいい。
全部出せと言われるとアルゴリズムとしては受験数学レベルでもよく出てくる話なので難しくはない、が、数値がデカすぎて手計算ではやる気しない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 00:44:03.18

>>153
解けるやつの主張がみんな意味分からん過ぎててワケわかめ
>>150だがなんで4つなの？xyzなんだけど
府に落ちなさすぎて眠れない助けてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 01:08:23.72

この手の方程式の解を全部見つけるアルゴリズムはそこそそ有名で受験でも時々出るんだよ。
京大文系の過去問とかで

1=1/x+1/y+1/z
の自然数解求めよ

とか。
有名な解き方はx≦y≦zとして、x≧4なら３つ足しても1に届かないのでx=1,2,3。
よって
1/y+1/z=0, 1/y+1/z=1/2, 1/y+1/z=2/3
‥‥

と小さい方から可能性が有限個に絞られていくので根気よくやっていけば解ける。
が、本問でそれやると死ぬ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 03:52:22.43

>>152
いやむしろその数値どこから出てきた

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 04:09:08.81

>>156
ふつうのだが
https://i.imgur.com/JYx7aEt.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 04:26:49.96

>>157
手計算なのか。努力は誉めたい。
xzのとこ見直すことを勧める。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 04:33:39.39

>>155
寝てたわすまん
そのアルゴリズムは足すなのにxyzの一つすらも2019超えてくるのなんで？約分で消えるから？
yz+xz+xyからa^n b^m+p c^l+q？みたいな式あるの？今日まで知らんかった。なんてアルゴリズム？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 04:43:26.81

>>149
計算機回して少なくとも192個の異なる解を得たが、
x＜y＜z＜10000 に限ると >>151 のが唯一かな
x≦y≦z＜10000 なら3通りある

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 04:46:46.28

>>158
あー5435148だー死んだ
ありがとうすっきりした

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 04:58:24.04

>>161
お疲れさま。
ちなみに、2692 や 8076 が 673 の倍数だってことを利用すれば、計算はもっと簡単なはず。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 07:10:17.23

>>160
大きなものは1兆を少し超える
(x,y,z) = (505,1019596,1039574983620)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 07:24:20.17

なんじゃ、そんなん手計算で出せるわけない。
なんかうまい方法みつけたら手計算でもできるよではないのか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 12:12:32.73

RSA-24:300414687283

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 14:07:31.37

>>159
特にこのアルゴリズムに名前は付いてないと思う。
このタイプの方程式なら変数の数が何個になっても答えが出せる。
ただ変数が2個まできたら分母払って整理した方が早い。
京大の例なら
x=2のとき
1/y+1/z=1/2
⇔(y-2)(z-2)=4
⇔(y,z)=(3 6),(4,4)
x=3のとき
1/y+1/z=2/3
⇔(2y-3)(2z-3)=9
(y,z)=(3,3)
みたいに。
今回のも1個x=673とか勘で決めると残り二つは分母払って出せる。
その時整数解が存在しうるxを理詰めである程度絞れるなら手計算でも答えられなくないんだろうけど、コレは計算機マターだな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/29(火) 15:19:13.06

>>166
いや、計算機ないと厳しいっす。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/30(水) 10:15:16.41

エジプト分数、精神に悪い（

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/30(水) 10:26:42.72

2019の倍数の中に、111…1の形の整数(1だけが並んでいる)があるか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/30(水) 11:15:51.39

(10^φ(9n)-1)/(10-1) ≡ 0 (mod n) if (10,n)=1

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/30(水) 13:48:36.84

長軸の長さが2a、短軸の長さが2bの狭義の楕円の周長は、2πaと2πbの相加平均より小さく相乗平均より大きい事を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/30(水) 14:17:57.28

しまった。
相加平均の方が小さい。
>>171は無かったことに。orz

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/31(木) 09:24:36.13

[2019/1],[2019/2],[2019/3]…[2019/2018],[2019/2019]の2019個の整数の中に異なる整数は何個あるか。ただし、[ ]はガウス記号とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/31(木) 14:54:34.25

https://i.imgur.com/tGOuIY0.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/31(木) 15:09:24.76

[2019/1],‥,[2019/44]=45は相異なるので44個。
[2019/45]=44,‥,[2019/2019]=1は1～44すべて現れるので44個。
計88個。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/01(金) 19:51:55.54

クラスとは何か？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/01(金) 20:17:28.15

sin1° は有理数か

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/02(土) 01:33:53.34

>>177
x=sin1° を有理数と仮定する。
このとき、sin5°＝5x－20x^3＋16x^5であるから
y=sin5°は有理数である。
このとき、sin15°=3y－4y^3であるから、
z=sin15°は有理数である。
このとき、sin45°=3z－4z^3であるから、
w=sin45°は有理数である。
sin45°は、正方形の辺と対角線の比と等しい。この比は無理数であるから矛盾する。
このことから、最初にsin1° を有理数と仮定したことが誤りであることがわかる。

よって、x=sin1° は無理数である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/02(土) 08:27:26.66

円周率が3.14より大きいことを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/02(土) 10:17:42.42

>>179
3.140＜3.141

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/02(土) 11:26:10.71

>>163
へぇ～そんなに大きな解があるのか。意外

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/03(日) 08:01:40.35

aとbを正の実数とするとき、(a^b)・(b^a)≦(a^a)・(b^b)を証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/03(日) 08:23:04.89

a≦b、c≦dのときad+bc ≦ ac+bd
与式は
b log a+a log b ≦ a log a+b log b。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/03(日) 09:24:42.09

>>181
以下の計算式を逆にたどれば分母が大きくなる理由も納得できるのでは
1/505+1/1019596+1/1039574983620
=1/505+1/1019596+1/(1019595×1019596)
=1/505+(1/1019596)(1+1/1019595)
=1/505+(1/1019596)(1019596/1019595)
=1/505+1/1019595
=1/505+1/(505×2019)
=(1/505)(1+1/2019)
=(1/505)(2020/2019)
=4/2019

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/04(月) 12:17:05.89

>>182
a≦bとしても一般性を失わない。
b=ka(k≧1)とおく。
a^a・b^b－a^b・b^a
=a^a・(ka)^(ka)－a^(ka)・(ka)^a
=a^a・k^(ka)・a^(ka)－a^(ka)・k^a・a^a
=a^a・a^(ka)・{k^(ka)－k^a}
≧0

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/05(火) 12:32:08.80

△ABCの内接円の半径が1のとき、外接円の半径の最小値を求めよ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/06(水) 10:03:12.85

前>>125
>>186
(答え)2
∵題意の△ABCは作図するとAB=BC=CAのとき外接円の半径を最小にし、正三角形の内角は60°だから。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/06(水) 18:46:47.56

tan1(rad)は有理数か。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/06(水) 19:01:36.29

yes by F. Lindermann, K. Weierstrass

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/07(木) 08:56:27.22

nが奇数のとき、n^5≡n(mod 240)であることを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/07(木) 10:07:37.88

>>190
n^5 - n = n(n+1)(n-1)(n^2+1)
が240の倍数であることを示せば良い。
240 = 2^4*3*5
だから3の倍数かつ5の倍数かつ16の倍数を示せば良い。

n-1, n, n+1 のうちいずれか一つは3の倍数。

mod 5 で
n≡0ならnが、
n≡1ならn-1が、
n≡2,3ならn^2+1が、
n≡4ならn+1が
それぞれ5の倍数。

nは奇数なので
n^2+1は偶数。
n-1とn+1も偶数で、一方は4の倍数。(他方は4k+2型)
合わせて(n+1)(n-1)(n^2+1)は16の倍数。

どっかの入試かしら。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/08(金) 09:16:36.74

Wikipediaの「四乗数」に最近手を入れたんだけどこれでもいけるんじゃない？
n(n^4-1) が240の倍数ならよくて
かなりの場合 n^4≡1 (mod 16,3,5) になる
ならないのは n≡0 (mod 3,5) のときだけなので左がOK

n^4≡1 (mod 16) が長いんだな

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/08(金) 13:58:39.11

座標平面において、3つの格子点をどのように選んでも、その3点を結んだ三角形は正三角形にならないことを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/08(金) 21:34:09.04

ピックの定理から三角形の面積は有理数。

もし正三角形だとすると
一辺は三平方より√整数
面積=一辺×一辺×√3/4
=整数×√3/4
これは無理数。
矛盾。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/09(土) 07:02:28.26

1から10までの整数を5つの組(a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)に分け、a-b=1,c-d=2,e-f=3,g-h=4,i-j=5とすることができるか

1から12までの整数を6つの組(a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j),(k,l)に分け、a-b=1,c-d=2,e-f=3,g-h=4,i-j=5,k-l=6とすることができるか

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/09(土) 18:05:33.20

>>195
前者は
2-1, 9-7, 6-3, 8-4, 10-5

後者は
左辺を7, 8, 9, 10, 11, 12の中から選ばなければならず
12と組むのに6を使ってしまい
差が1になる組み合わせが無くなるので不可能

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/09(土) 18:10:49.27

>>196
後半がわからない。
12の相方が6確定なのはなぜ？
12-6を組み合わせると差が1になる組み合わせがなくなるのはなぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/09(土) 18:11:59.11

あ、12-6にしないとダメなのは分かった。
なぜ1が作れなくなるの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/09(土) 18:14:10.50

あ、いや、12-6が必須の理由もまだわかんないや。
詳しく。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/09(土) 18:15:13.74

>>198
左辺には7～12しか置けない
12には6しか組み合わせられない
残りの右辺候補1～5では左辺7～11とどう組み合わせても1を作れない