いま、任意のa>0に対してa^n*I_n→0(n→∞)となるような
強力な数列の漸化式I_[n+1]=((4n+2)/π)I_n-I_[n-1]が得られた。
(I_0=2 , I_1=4/πである)
この強力な性質が、πの無理性に起因することを示そう。
π∈Qだと仮定する。π=p/q(p,q∈N、pとqは互いに素)とおける。
J_n=p^n*I_nとおくと、上記の事実により
J_[n+1]=q(4n+2)J_n-p^2*J_[n-1]
J_0=2 , J_1=4q , J_n→0(n→∞)
となる。帰納的にJ_n∈Z(for∀n)であるから、
J_n→0(n→∞)を考慮すれば、あるm∈Nが存在して
J_m=J_[m+1]=0となるはずである。
このとき、J_[m-1]=0となるので、帰納的に
J_n=0(for∀n)となるが、これはJ_0=2に矛盾する。
以上から、円周率πが無理数である事が示された。(後半終)//
