(証明)
電場は一様であるとし、電荷は極板表面のみに溜まるとする。
どの極板も同じ形状であり、面積はSであるとする。
極板は上下に並ぶとして、上からi番目の極板をP_iとする。
P_iの極板上部の電荷をA_i、下部の電荷をB_iとする。
S_i=Σ[k=1→i]A_i , T_i=Σ[k=1→i]B_iとし、
S=S_n , T=T_nとする。
Σ[k=m→n]という記号に関して、
m>nの場合はΣ[k=m→n]f(k)=0とする。
極板内の電場を考えることで関係式を得よう。
ガウスの法則より、電荷A_iによる電場はA_i/(2εS)である。
B_iによる電場も同様である。
極板P_iの内部の電場は0であるから、
Σ[k=1→i]A_k/(2εS) +Σ[k=1→i-1]B_k/(2εS)
-Σ[k=i+1→n]A_k/(2εS) -Σ[k=i→n]B_k/(2εS)
=0 (for∀i≧1)
したがって、
S_i+T_[i-1]-(S-S_i)-(T-T_[i-1])=0 (for∀i≧1)
∴S_i+T_[i-1]=(S+T)/2 (for∀i≧1)…(＊)
(＊)より、S_[i+1]+T_i=(S+T)/2 (for∀i≧2)…(＊＊)
(＊)と(＊＊)の差を取ると、
A_[i+1]+B_i=0 (for∀i≧2)
したがって、向かい合う極板表面の電荷は大きさが等しく符号が逆であると分かる。
ちなみに、S_1+T_0=(S+T)/2 よりA_1=(S+T)/2であり、
S_n+T_[n-1]=(S+T)/2 よりB_n=(S+T)/2である。//
