XとYを互いに素な正の奇数とする
(X×Y)の約数の和=(Xの約数の和)×(Yの約数の和)
である

奇素数pを(Xの約数の和)の素因数でありXの素因数でないものとする

(X×Y)が完全数
⇔(Xの約数の和)×(Yの約数の和)=2×X×Y
であるが、このとき左辺はpの倍数ゆえ、右辺もまたpの倍数である
Xはpの倍数ではないため、Yがpの倍数でなければならない

X→b
Xの約数の和→a
Y→p'^n×B_{r+1}×…×B_x
と置き換えることができますね？

p'^n×B_{r+1}×…×B_xはpの倍数でなければならないので、p≠p'ならB_{r+1},…,B_xのどこかでpが登場します
矛盾の原因は「B_{r+1},…,B_xをpと互いに素とした」ことの方ではないですか？