現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60
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この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレを立てた） さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. >>242は以下の言明とは異なる
「さて， 数列s^1～s^100 をランダムに選ぶ.
s^1の決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.」
つまり数列は確率変数ではなく、非可測性には影響されない おっちゃんです。
>>199
>>203
>>229
オイラーの定数γについてここに書く前に、これらの種の問題も既に解決している。
私の論文のネタをパクられると困るから、スレ主等には円分体の話をしないでほしい。 2つの意味でその心配だけはしなくていいから安心しろ >γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
>|γ－1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p |
> ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p
> ＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p
> ＝1＋1/2＋…＋1/(p－1)－log(p)
> ＞0、
>従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ－1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p＞1/k≧1/p。
>故に、0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
>(…以下略…)
見直したり他の方向から考えてはみたが、この部分は γ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) ) に特化していた。
ここに、γ_n＝1＋1/2＋…＋1/n－log(n) n≧2 は超越数で、n≧2 のとき {γ_n} は下に有界な単調減少列。
γが代数的無理数でないことまでは証明出来たが、ディオファンタス近似ではγの超越性まではいえない。
γの超越性をディオファンタス近似で証明しようとすると、ほぼ自動的にγが超越数であることがいえて一般的に成り立つような証明になる。
やはり、γは有理数だった。 >>244-246
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうで何よりです。
いつもどおり、おっちゃん節健在ですね
「やはり、γは有理数だった」ｗ（＾＾ >>203
遠隔レス失礼
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
↓
問題改
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。
αを
cos(απ)=p, sin(απ)=q
をみたす実数とすると、
(p,q)が、自明な解でないとき
αは無理数であることを示せ。
とします
（略証）
背理法を使う
p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)
は、単位円の方程式 x^2+y^2=1
を満たしていることに注意する
α＝m/n ここに、m、nは整数
と書けたとする
cos(απ)＋i*sin(απ)を、2n乗する
｛cos(απ)＋i*sin(απ)}^2n
={cos(m/n π)＋i*sin(m/n π)}^2n
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
=1
つまり、
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
（ここに、ζ2nは、いつもの円分体の根を表す。）
ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
よって、矛盾が生じたので、αは有理数ではない。即ち、αは無理数
略証終わり
言いたいことは、こんなことかなー？
これ、確かに面白ね～（＾＾
良い視点だと思う！（＾＾ >>248
補足
読み返すと、文が拙いなー（＾＾
例えば
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
↓
cos(απ)＋i*sin(απ)＝(ζ2n)^h 但し、h>=1 の整数で、ζ2nは、上記の自明な解以外
とか、書くべきかも
まあ、普段証明を書かないからね
数学科生は、もっと洗練された表現をするのでしょうね（＾＾
こなれた教科書とか、大学教員の書きぶりをみると、こういうところ気配りがあるよね >>248 タイポ訂正
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
↓
=cos(2m π)＋i*sin(2m π)
ケアレスミスが多いな（＾＾；
気を付けましょう～！
試験なら減点されそう >>248
全く蛇足だが
・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
・p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)は、岩澤理論の下記Lの外なんやろね（岩澤理論は全く理解していませんが（＾＾ ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%BE%A4%E7%90%86%E8%AB%96
岩澤理論
(抜粋)
円分拡大の数論
1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。
このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。
ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像
Im → In
（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。
(引用終わり) >>251
これも、全く余談だが
・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
・時枝記事のように、どこの教科書にもなく、どこの論文でも扱われていない。あるいは、大定理の系とは真逆だと。そういう命題は、おそらくは眉づばですよね（＾＾ >>248
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
ここらの表現も全く拙いね～
素人表現やね（＾＾； >>253
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
↓
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
くらいに書くと、まだ読めるかな
いくら時間がなくとも、これくらいは書かないとね
まあ、手を入れだすと際限がないので、あとはスルーしてたもれ（＾＾ >>255
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
な >>256 補足
なので、回答はN
p^2+(iq)^2=1の意味でいいか？
↓
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
ってことです >>251
>・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
いま検索中で、見つからない
下記は、関係ないけど、面白そうだから貼る（＾＾
http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&;mode=c&id=504&page_type=materials
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
http://ocw.nagoya-u.jp/files/504/LectureNote.pdf
連分数，フォードの円，双曲幾何 平成27年度前期 糸健太郎 名大
講義ノート 数学展望Ⅰ(一括ファイル, 67ページ) (PDF 文書, 1209KB) 2015 >>258
いや、確かに
（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど
思い返しても、記憶に引っかかってこない
まあ、みんなピタゴラスの整数解が見つかったとか
無限個あって、よしよしで終わっていた気がするね
和書にはなかも
英文探すのも大変だが（＾＾ >>259 タイポ訂正
和書にはなかも
↓
和書にはないかも >>259 補足
そうか、”ゲルフォント、シュナイダー”か
下記
命題P：有理数ではない代数的数 α → 命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数
対偶
￢命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数ではない → ￢命題P：αは有理数か超越数
で
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数の例
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0 に対する、 sin{α}, cos{α}, tan{α} 。 (リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass))
・有理数ではない代数的数 α に対する、 sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
(引用終わり) >>261
ゼミだと
「”ゲルフォント、シュナイダー”の証明は？」とか
ツッコミありそう（＾＾； >>261
”いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？”
(引用終わり)
まあ、それこそ、この程度のことは、
どっかにだれかが書いてそうだが、
疲れたので、ここまでだな？
”ゲルフォント、シュナイダー”まで行くと
もろ、本格的に超越数論だからね～、
ちょっと私の手に余る（＾＾ スレ主は>>144で岩沢理論についてのムック本の臨時別冊・数理科学について触れていたが、
おっちゃん的には、下の2冊がお薦めだね。
・臨時別冊・数理科学2017年3月 偏微分方程式の解の幾何学
これは幾何的に考えて偏微分方程式の解からその偏微分方程式が定義される様子の導出
について書かれている面白い本だ。普通の形式の本でそういうことが書かれている本は知らない。
・臨時別冊・数理科学2016年11月 数理物理学としての微分方程式序論
こちらは理解するのは簡単ではないが、(非線形)偏微分方程式をするなら、持っていて損はない。 >>259
>（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど思い返しても、記憶に引っかかってこない
平面 R^2 の単位円上に有理点が稠密に分布することは、むしろ初等整数論の結果になる。
他に関係する事柄は、元子お姉さんの研究の一端について書かれている「ダイヤモンドはなぜ美しい？」に載っている。
比較的良書ではある。 >>252
>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
まあ、
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数なので
それで、上記のように
αは有理数が否定されて
”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
αは、超越数が言えるってことでしょう
超越数論以外では、だれも触れないんだろうね
ピタゴラス数で終われば、高校数学の範囲だしね
大学数学だと、
超越数論で”ゲルフォント、シュナイダー”やれば分かるのだと
いやいや、>>203は なかなか面白い視点でしたね >>264
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
”臨時別冊・数理科学”ね
あれ、結構本格的やね
どれもむずいわ（＾＾ >>265
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾ >>266
>>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
>”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
>αは、超越数が言えるってことでしょう
暗に、時枝記事はそうじゃないよと
（だれも扱わない）
ダメダメですよと
早く気づけよ、おい >>259
>>265は、はじめの一歩。
まあ、数論的な構造には意外に汚い構造があることも分かる。
3辺が有理数の直角三角形における直角 π/2 ではない他の2角は、
両方共に 0＜a、b＜1/2 を満たす2つの有理数 a、b を用いて
aπ、bπ と表わされる方が調和が取れた美しい構造をしていると思ったが、そうではなかった。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 >>252
>時枝記事のように、・・・大定理の系とは真逆だと
時枝記事と前提が異なる大定理と比較しても無意味
確率変数でもないものに対して独立同分布とかいっても無意味 スレ主は
「非ユークリッド幾何学は三角形の内角の和が二直角じゃないから間違ってる」とか
「相対性理論は速度の合成が足し算で表されないから間違ってる」とか
臆面もなくいいそう この程度の簡単な証明でも、自分の知性だけを頼りに正しさが確かめられないひとは大変ですね。
数学やってて楽しんでしょうか？ 証明に一箇所「ちゃんと証明すると結構大変」なことがあって
それこそ「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
ということで、それは円分体のガロア群を計算することもほぼ同じ原理ですが
その根本的なところをスレ主は押さえていない。
ま、教えませんけどw
円分体（1のべき根の体）のことを滔々と語りながら
1のべき根が何かも知らなかったひとに何を言っても無駄でしょう... >>272
ユークリッド幾何の公理のもとでは間違いだろなに言ってだ >>230
>>Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がない
>やっぱり難しい・・・
√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
代数的に書くとCを複素数体とすると
√(1-x^2)\not∈C(x)ですが
当然、√(1-x^2)\not∈Q(x).
xと√(1-x^2)を入れ替えても"双対"なので
x\not∈Q(√(1-x^2)).
論理的に面白いのは、超越数ξ,不定元xに対して
Q(ξ) 同型 Q(x)ということですかね。
体をCまで拡げてしまうとC(ξ)=C
ですから、当然函数体とは同型になりませんけど。 >√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
ま、そこはね >>275
スレ主はユークリッド幾何学が正しいから
非ユークリッド幾何学は間違ってるとか
平気でいいそう >>252
つまりあなたは時枝は間違いだと言うんですね？
では選択公理を仮定しても決定番号が自然数とは限らないことを証明して下さい。
できないなら根拠の無い言いがかりと解釈します。 >>274
「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？
ここは、小学生もいるので、変なことを言わないように、お願いします（＾＾
命題A： 「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
↓↑
命題B：（>>248より）αを cos(απ)=p, sin(απ)=q をみたす実数とすると、(p,q)が、自明な解でないとき αは無理数である
これ成立ですよ！ 命題AとBは同値
命題Bが>>248で証明した命題ですよ！
以下、証明します
まず
命題Bを簡明に言い換えると
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)とおいて
命題B’：zが単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
とします
命題Aを簡明に言い換えると
命題A’： 「Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけ」
（円の等分点は、下記 永野哲也先生ご参照 ）
１）命題A’→命題B’
証明
背理法を使う。
zが単位円の有理点であるにも関わらず、zの偏角αは有理数であるとする
>>248で示した様に、zは円の等分点になる。これは、命題Aに矛盾する
２）命題B’→命題A’
証明
命題B’より、z= cos(απ) + i sin(απ) が、単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
よって、zは円の等分点ではない。従って、Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけである
QED
簡単でしょ（＾＾
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/
永野 哲也研 長崎県立大
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602
第16回
(抜粋)
１．円の等分点
zk=cos 2πk/n + i sin 2πk/n (k=1,2,・・・,n)・・・(1)
（∵） ｚ＝１から測って、n等分点の最初の点ｚ1の偏角は、１周が2π（＝360度)であるので、 2π/n（ラジアン）
である。それ以後のn等分点は、隣の点と角 2π/n(ラジアン)だけ離れているので、
ｚ2の偏角は 2π/n×2（ラジアン）、ｚ3の偏角は 2π/n×3（ラジアン）、・・・、ｚnの偏角は 2π/n×n=2π（ラジアン）となる。
これらは、方程式
x^n＝１
の根である
１の原始n乗根
上式（１）で、k=1 と2以上のkについては、nと互いに素となるkの複素数zkを１の原始n乗根という
(引用終り) さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. >>281 訂正
zの偏角α
↓
zの偏角のα
としておきます
ここは、小学生も来るので（＾＾；
一般に偏角は、（下記「複素数の偏角」ご参照）
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)
で、απを言いますから
まあ、πを１単位として測ったと思ってもいいのですが
ちょっと標準とずれますから
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%81%8F%E8%A7%92
複素数の偏角 >>174
＞それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
円分体 Washington の本は、下記ですね。間違いなし（＾＾
（Fermat's Last Theorem関連の一部のみ引用しておきます）
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field
(抜粋)
Relation with Fermat's Last Theorem
A natural approach to proving Fermat's Last Theorem is to factor the binomial x^n + y^n, where n is an odd prime, appearing in one side of Fermat's equation
x^n + y^n = z^n
as follows:
x^n + y^n = (x + y)?(x + ζy)?…?(x + ζn???1y).
Here x and y are ordinary integers, whereas the factors are algebraic integers in the cyclotomic field Q(ζn). If unique factorization of algebraic integers were true, then it could have been used to rule out the existence of nontrivial solutions to Fermat's equation.
Kummer found a way around this difficulty.
He introduced a replacement for the prime numbers in the cyclotomic field Q(ζp), expressed the failure of unique factorization quantitatively via the class number hp and proved that if hp is not divisible by p
(such numbers p are called regular primes) then Fermat's theorem is true for the exponent n = p.
Furthermore, he gave a criterion to determine which primes are regular and using it, established Fermat's theorem for all prime exponents p less than 100, with the exception of the irregular primes 37, 59, and 67.
Kummer's work on the congruences for the class numbers of cyclotomic fields was generalized in the twentieth century by Iwasawa in Iwasawa theory and by Kubota and Leopoldt in their theory of p-adic zeta functions.
つづく >>284
つづき
References
1^ Proposition 2.7 of Washington 1997
・Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45?93.
・Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
・Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
・Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4
Further reading
・Coates, John; Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
・Weisstein, Eric W. "Cyclotomic Field". MathWorld.
・Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
On the Ring of Integers of Real Cyclotomic Fields. Koji Yamagata and Masakazu Yamagishi: Proc,Japan Academy, 92. Ser a (2016)
(引用終り) >>248 補足
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
>>248の証明では、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
（円分多項式は、下記永野哲也先生ご参照）
難しい議論は不要
証明の荒筋だけ書くと
円分多項式で、f(x) =Φn(x)
と見慣れた記号に直して
例えば、f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根)
もし、ζn∈Q(i)なら
f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて
（ここに、g(x)＝f(x) /(x-ζn) なる多項式です）
Φn(x)の既約性に反する。
多項式で
f(ζn)=0 → f(x) ＝(x-ζn)g(x) と書けることは、どこにでもある基本事項です
（高校の範囲で、証明もどこにでもありそうですが、省略します）
別に、難しいことは何もない
「円分体のガロア群を計算する」なんて必要はありませんよ（＾＾
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/
永野 哲也研 長崎県立大
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602
第16回
(抜粋)
２．円分多項式
Φn(x)： １の原始n乗根のみを根にもつ多項式を円分多項式（または円周等分多項式）という。
定義より以下が正しい。
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-5.jpg
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-6.jpg
１の8乗根を単位円周上に図示すると以下のような z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8 である。
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-7.jpg
z1、z3、z5、z7 が１の原始8乗根である。
z4 は原始2乗根、z2、z6 は原始4乗根、z8 はもちろん原始1乗根である。
(引用終り) >>286
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
正確には、>>286で示したのは、ζn not ∈Q(i) だけですが
（高校数学の範囲です）
”代数拡大”は、ガウス先生が示したそうですが
それも、ガロア理論の前ですね
DA読めば書いてあるかも（＾＾ スレ主は言葉の使い方がメチャクチャ。
Q(i)も代数拡大なんですがw >>286
>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
>f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根) もし、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて
まあ、下記なんかが参考になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
剰余の定理
(抜粋)
多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、Remainder theorem）は、多項式 f(x) をモニックな（最高次の係数が1である）二項一次多項式 x － a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。またとくに、f(a) = 0 ならば f(x) が x － a を因数に持つことが従う（因数定理）。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
因数定理
(抜粋)
多項式 f(X) が一次式 X － k を因子に持つ必要十分条件は f(k) = 0 となること、すなわち k が多項式 f(X) の根となることである[2]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
有理根定理
(抜粋)
有理根定理（ゆうりこんていり、英: rational root theorem）は整数係数の代数方程式
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+・・・ +a_{0}=0
の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：
定数項 a0 および最高次の係数 an がゼロでないなら、有理数解 x = p/q を互いに素（最大公約数が 1）な整数 p, q で表したとき、p, q は以下の条件を満たす。
・p は a0 の約数
・q は an の約数
有理根定理は、多項式の因数分解に関するガウスの補題（英語版）の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 an が 1 であるとき成り立つ整数根定理 (integral root theorem) は、有理根定理の特別な場合である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
既約多項式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95
アイゼンシュタインの既約判定法 >>288-289
ご指摘ありがとう
どんどんお願いします（＾＾ 必死に検索して「お墨付き」を見つけなければ
証明の正しささえ自分で判断できないひとに数学は無理でしょう。
>「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
これも間違い。使わなければ証明できない。
この程度のことも分からないひとに数学は無理ですね。 >>288-289
ついでに、どう書くべきか
も指摘ついでにお願いします（＾＾ テンプレ>>9再録
(抜粋)
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
(引用終り)
まあ、こういうことです
なお、テンプレ>>7再録
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）”
数学なんかやっているつもりはありません！ はい！（＾＾
半分趣味と遊びのスレ
もう半分は、ここはおれのメモ帳だぁ～（＾＾
これ、定義です！ はい！（＾＾； >>288-289
ご指摘ありがとう
なるほど、代数拡大の基礎体の明示がないと
数学科生は気を付けましょうね
代数拡大の基礎体は常に明示しましょうね >>248 補足
円分体
1973/74の昔とこの頃ですが
（これ、過去にアップしたかも）
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~otsubo/article/cyclotomie.pdf
円分 ? 昔とこの頃* アンドレ・ヴェイユ
* Andr´e Weil, La cyclotomie jadis et nagu`ere, S´eminaire BOURBAKI, 26e ann´ee, 1973/74, n
?452, Juin
1974. In: Springer Lecture Notes in Math. 431 (1975), 318-338, ?uvres Scientifiques (全集), Vol. III,
311-327. (大坪紀之による私家版日本語訳, 2012)
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~otsubo/index-j.html
大 坪 紀 之
千葉大学 大学院理学研究院
数学・情報数理学コース >>290
>>>286
>>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
まあ、下記などを
http://ichikawa.ms.saga-u.ac.jp/Galois.pdf
Galois 理論とその応用
市川 尚志 2 佐賀大学工学系研究科数理科学専攻
(抜粋)
P14
定理 1.5.2 (Eisenstein).
P15
例
(2) p を素数とするとき、p 次円周等分多項式
(X^p ? 1)/(X ? 1) = X^(p?1) + X^(p?2) + ・ ・ ・ + X + 1
は Q 上既約。
(引用終り)
http://ichikawa.ms.saga-u.ac.jp/
市川 尚志
ICHIKAWA, Takashi
佐賀大学大学院 工学系研究科 数理科学専攻 ＞スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
馬鹿はチラシの裏でやってろ >>298
下記 大阿久先生はPDFは、49ページですが
円分体の最小多項式の既約をEisenstein の 判定法で示しています。
この手法は、結構標準（だいたいこれ）ですね
G が巡回群であることも、示されていますよ
そんな、大げさな話しじゃないよね
これ、ちょっとお薦めです
http://lab.twcu.ac.jp/~oaku/galois.pdf
ガロア理論入門（体と群と方程式）
大阿久 俊則 東京女子大学 現代教養学部 数理科学科 数学専攻
この講義では，ガロア理論の基本的な部分を群，環，体などの現代の代数学の言葉を用
いて解説する．体としては複素数体の部分体（古典的な場合と呼ばれる）を主に扱う．
なお，「環と加群の基礎」の内容，特に単項イデアル整域 (PID) についての事項は既知
として自由に用いるので，必要に応じて参照してください．
P48-49
14 円分体
ζ の Q 上の最小多項式は
f(x) = x^p?1 + x^p?2 + ・ ・ ・ + x + 1
であることを示そう．x^p ? 1 = (x ? 1)f(x) と ζ^p = 1, ζ ≠ 1 より f(ζ) = 0 である．
f(x)が Q 上既約であることを示そう．
Eisenstein の
判定法により f(x + 1) は Q 上既約である．従って f(x) も Q 上既約である．
最後に，G が巡回群であることを示そう．
(引用終り)
http://lab.twcu.ac.jp/~oaku/index_jp.html
大阿久 俊則 (おおあく としのり)
東京女子大学 現代教養学部 数理科学科 数学専攻 >>300
どうもありがとう
これは、キチガイを取締る役代表の方ですかね？
久し振りの取締りパトロール、ご苦労さまです
5chで大学レベルの数学やろうなんて、キチガイだよね
実際、そんなこと（大学レベルの数学）が成り立っているスレが、
このバカ板5chの数学板のどこにそんなスレがあるのか？
ネット検索から有用な情報を貼り付けて
それをネタに雑談する以上のことは
考えていませんので、悪しからず（＾＾； ＞ネット検索から有用な情報を貼り付けて
言ってることが矛盾してる
お前は自他ともに認める馬鹿でアホなんだろ？
だったらそんなお前が選んで貼り付けた情報も信用できないだろ、何で有用と言えるんだ？ >>305
テンプレ>>9再録
どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本です
QED
なお、何が有用でなにが有用で無いかは
属人性があります
ある人には有用でも、別の人にとってはそうではないですよ 数学ソフト Risa/Asir の記事ですが、
これ、分り易いかも（＾＾
https://core.ac.uk/download/pdf/39193381.pdf
Title Radical Representation of Polynomial Roots
Author(s) 穴井, 宏和; 横山, 和弘
Citation 数理解析研究所講究録 (1995), 920: 9-24
Issue Date 1995-08
2.
Radical Representation of
Polynomial Roots
穴井宏和 (富士通情報研)
横山和弘 (’)
2.1 数学的基礎
2.1.1 Galois 理論
まず, Galois 理論について簡単に復習する. mmonic で既約な $\mathrm{Z}$ 上の $n$ 次の多項式を $f(x)$ とする.
2.1.2 巡回拡大 円分体から類体論へ
http://alg-d.com/math/number_theory/class_field_theory.pdf
代数的整数論 類体論 壱大整域
ツイート
(抜粋)
@alg d
2013 年 2 月 9 日
0 初めに
この PDF は某国某所で某氏によって開催されたとあるセミナーで発表する内容をまと
めたものです．当然，こんな量喋りきれるはずは無いので当日は適当に必要な部分だけ喋
りますが，PDF の用量に制限は無いので書けるだけ書いています．今回の話は類体論が
どういうものかを理解してもらうのが目的です．類体論をやるには当然代数的整数論の
基本的な知識が必要ですが，頑張ってその辺をごまかしています．(無理なところは諦め
てその辺の知識を仮定しています．) 目的が目的なので類体論の証明などは殆どやりませ
ん．というかそういうのを勉強したい方は本を読んで下さい．
1 導入 ～有理数体の類体論へ～
(引用終り)
http://alg-d.com/
壱大整域
http://alg-d.com/math/number_theory/
整数論 >>306
＞まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
いやだから、馬鹿でアホなお前が正しいと思ったということは、正しくない可能性が
大いにあるということだ。違うかい？
正しくない可能性が大いにあるものをコピペする意味とは？ さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. >>9
>大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、なんで数学板で書いてるの？ 円分体から類体論へ２
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/YoshidaTeruyoshi.pdf
第 50 回代数学シンポジウム・徳島大学，2005 年 8 月 2 日
GLn の大域・局所 Langlands 対応
吉田 輝義1
(京都大学大学院理学研究科 / Harvard University)
(抜粋)
2 円分体（Q 上・Qp 上）
上で紹介した円分体の理論は，類体論およびその代数幾何学的実現である虚数乗法論の両方に
対して完全な形の雛形を提供している．次節以降これらの理論を述べるために，上の定理 3 およ
び命題 4 を再定式化し，また p 進体上の円分体についても述べる．
2.1 有理数体上の円分体
有理数体 Q 上の最大円分拡大に関しては以下の定理が基本的である：
定理 7. F = Q とするとき，次が成り立つ：
(A) （円分多項式の既約性） (4) は同形である：G
cyc
Q
?=?→ Zb×.
(B) （Kronecker-Weber） (3) は同形である：G
ab
Q
?=?→ G
cyc
Q ，すなわち Q
cyc = Q
ab．
(A) の部分は，N に関して定理 3 の射影的極限を取っただけである．(B) の部分の証明はここ
では扱わないが，分岐理論を用いるか，または一般の大域類体論の系として示される．
３ 類体論と Langlands 対応
本節からは特に証明を与えず，理論の主結果の紹介にとどめる．まず，Qp および Q 上の最大
円分拡大に関する結果を，それらの有限次拡大体（局所体・代数体）の最大 Abel 拡大に一般化
した理論である類体論を説明する．
４虚数乗法論と志村多様体論
ここでは，前節に紹介した類体論・Langlands 対応の代数幾何学的構成を与える理論を紹介す
る．これらは，類体論に関しては Q および Qp の場合の定理 7，定理 9 の (A) を一般化する構成
であり，さらにそれを一般化する Langlands 対応（定理 18・予想 19）に関しては，一対一対応
の ?→（GLn の表現 → n 次元 Galois 表現）の方向の構成である．
(引用終り) なるほどね
一人で
少なくとも二つのIDを使えるというのは、分った（＾＾；
（しかし、朝から夜遅くまで、IDを使い分けてご苦労さんとしか言いようがないね（＾＾ ）
>>282 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/02/09(土) 01:49:51.63 ID:ja5oO2W3 [1/5]
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
>>310 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/02/09(土) 13:58:08.31 ID:CxrVcydz [1/2]
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
(引用終り) さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. 決定番号が自然数であるなら>>315の成立に疑いの余地は無い。
よって不成立を主張したいなら、「決定番号は自然数である」が偽であることを示さなくてはならない。
どうぞ、示して下さい。示せなければ、馬鹿でアホなスレ主が理解できていないだけと認定します。 都築先生も、いいですね
「既約多項式の互いに共役な元の入れ替えを考察するというのが、ガロアによる方程式の理論の原型であ
る。一方、自己同型は線形空間として体拡大をとらえる現代的方法である。この章では、両者の関係を解説
する。」ってところが、スレタイに合致！（＾＾
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/lec.pdf
平成 16 年度代数学 B
講義ノート
広島大学大学院理学研究科 都築 暢夫
この講義の目的は、体の理論・ガロア理論を解説し、その応用として
(1) ギリシアの 3 大作図不能問題
(2) 作図可能な正多角形の決定
(3) 一般の 5 次以上の方程式の非可解性
を考察することにある。
体とは、加減乗除をもつ代数系である。与えられた体係数の方程式がいかに解けるか ? これは昔から
の大問題であった。もちろん現在も方程式を解くというのは代数幾何や数論幾何の中心的課題である。方程
式を解くと、その解を含む新しい体 (拡大体) ができる。その相対的な状況を、いかに考察するのかという
基本的枠組みを与えるのが体論・ガロア理論である。
Contents
1. 体 1
2. 体の作り方 7
3. 多項式環と既約多項式 13
4. 単拡大 18
5. 既約性判定法 22
6. 代数閉体 25
7. 共役元 27
8. 分離拡大と正規拡大 31
9. ガロア拡大と基本定理 37
10. 円分体 46
11. 作図とギリシアの三大作図不能問題 50
12. 方程式の可解性 56
P27
7. 共役元
既約多項式の互いに共役な元の入れ替えを考察するというのが、ガロアによる方程式の理論の原型であ
る。一方、自己同型は線形空間として体拡大をとらえる現代的方法である。この章では、両者の関係を解説
する。
P31
8. 分離拡大と正規拡大
体論における種々の概念、例えば代数性など、は、体に属するすべての元に対してある性質が成立する
ことを要求する。しかし、多くの場合は生成元について問えば十分であることがわかる。この章で定義する
分離性や正規性もそのような概念であり、共役元と埋め込み・自己同型の関係からわかる。
(引用終り)
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/tsuzuki-j.html
広島大数学科 都築暢夫 示せなかったので、馬鹿でアホなスレ主が理解できていないだけと認定しました >>281
>「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？
下記の”アイゼンシュタイン（Eisenstein）の既約判定定理”
これは、整数係数の範囲の因数分解ですが、証明を見れば分るように、iを添加した環Z(i)で考えても成り立つ
だから、整数環Z内で既約なら、環Z(i)内でも既約
それで、既約多項式の根を添加して、実数体Rを拡大することを考えれば良い
大阿久先生が、>>301で円周等分多項式の既約をEisenstein の 判定法で示しています
これより、円分体の根 ζ3,ζ5,ζ6,・・・,ζn,・・・ は、既約方程式の根
よって、これらは、Q(i)に含まれない（簡明に言えば、ベキ根拡大になります。高校数学の延長上です）
よって、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
QED
簡単ですよね
https://mathtrain.jp/eisenstein
高校数学の美しい物語 最終更新:2018/01/13
アイゼンシュタインの定理
(抜粋)
アイゼンシュタイン（Eisenstein）の既約判定定理
ある素数 p が存在して以下の3つの条件を満たすとき，
整数係数多項式 f(x)=anx^n+an?1x^n?1+・・・+a1x+a0 を
（整数係数の範囲でできるとこまで）因数分解すると必ず k 次式以上の因数がでてくる。
・a0 は p の倍数だが p^2 の倍数でない
・a1 から ak?1 まで全て p の倍数
・ak が p の倍数でない
特に，k=n の場合に3つの条件を満たす式は既約（それ以上因数分解できない）です。
アイゼンシュタインの定理の証明
いよいよ証明です！
方針：1つ1つ丁寧に係数を比較していくだけです。ほとんど機械的な計算で証明することができるので入試で出題されるかもしれません。
証明
ある素数 p に対して3つの条件を満たすとき
f(x)=anx^n+・・・a1x+a0
が
g(x)=bnx^n+・・・b1x+b0
と
h(x)=cnx^n+・・・c1x+c0
の積に因数分解できたとする。
つづく >>319
つづき
a0=b0c0 は p で1回のみ割り切れるので b0,c0 のどちらかのみが p の倍数。
b0 が p の倍数としても一般性を失わない。
次に 1 次の係数を比較すると，
a1=b0c1+b1c0
で a1,b0 が p の倍数なので b1 も p の倍数。
以下同様に，係数比較により b2,b3,・・・bk?1 も p の倍数であることが分かる。
最後に ak が p の倍数でないことから bk も p の倍数でない，すなわち bk≠0 が分かる。
すなわち g(x) は k 次以上である。
一見めんどくさそうな定理ですが，3つの条件を確認するのは簡単なので理解すればどうってことない定理です。
(引用終り)
以上 >>318
しかし、おまえもアホなサイコパスやねー（＾＾
お前に同意する人減ったなー
ま、どこまでがんばれるか楽しみだよ（＾＾； ＞お前に同意する人減ったなー
いや、お前が勝手にID名寄せしてるだけだろｗ 妄想乙ｗ まあどんなに話を逸らそうとしたところで示せなかった事実は変えられない。
よって馬鹿でアホなスレ主が理解できなかっただけの話。これが最終結論です。 ＞お前に同意する人減ったなー
スレ主に同意する人は3年間で何人？ っぷ 馬鹿でアホなスレ主はチラシの裏でやれ
どうしても数学板でやりたけりゃ
「馬鹿でアホな私スレ主は3年間も間違い続けましたが時枝は成立でした」
とテンプレに書いとけ >>326
LRすらまともに読めないお前が数学板から出ていけ >>184
追加
http://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/
2003年度整数論サマースクール 「岩澤理論」
http://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/Bin/Reports/ss03rep-komatsu.pdf
イントロダクション（50分） 小松啓一 (早稲田大学)
(抜粋)
このサマースクールのテーマである岩澤理論が登場するまで, 円分体の類数を研
究する人はフェルマの問題を解こうとしている人と同一視されていたということ
を藤崎先生から伺いました. ここでいう円分体とは有理数体 Q に 1 の原始 m 乗根
ζm = e
2πi
m を附加した体 Q(ζm) の部分体である. この話から想像できるように, 円
分体の類数について, 何か理論的なものがあるとは, 誰も思っていなかったわけで
す.
さて, Weber の定理は以下に述べる岩澤の定理が登場するまで, 人から省みられ
ることはなかった.
定理 1.(岩澤 1956) p を素数, k を有限次代数体, K を k の p 巾次巡回拡大と
し, K/k で分岐する素イデアルがただ１つとする. このとき, k の類数 hk が p と素
ならば K の類数 hK も p と素である.
この定理から Weber の定理はすぐに従う. さて, 証明には類体論が使われる. 即
ち, K のイデアル類群の p-Sylow 部分群 AK を調べるかわりに, K の最大不分岐
アーベル p-拡大 L のガロア群 Gal(L/K) を調べる. 類体論は AK と Gal(L/K) が同
型であるという事を示すのに使われる.
(引用終り) >>327
これは、キチガイを取締る役代表の方ですね
キチガイ取締りパトロール、ご苦労さまです（＾＾；
同意です
煮ても焼いても食えないね、サイコやろうは >>330
はいガイジレス
痴呆が進行しすぎて他人の区別すらできない >>314
＞一人で少なくとも二つのIDを使えるというのは、分った
妄想ですね
別IDで「●チガイを取締る役代表」を演じる
卑怯卑劣なサイコパスのスレ主とは違いますよ >>332
こいつもガイジか
球とトーラスの区別すらつかなそう ●チガイを取締る役代表のときは
●チガイ丸出しの書き込みするよね
サイコパスのスレ主は >>334
で、どうして同一人物だと思うの？これについてただの一度もまともな説明もらってないけど >>333
スレ主、別IDで●チガイ丸出し
溜まってたのね >>335
どうしてバレてないと思うの？情報駄々洩れだけど >>336
同一人物だと認定できる客観的な証拠はよ
まあ別人だから絶対出ないけどなそんなんｗｗｗｗｗｗ >>337
はよ出せよ
年齢でも名前でも住所でも学歴でもなんでもいいぞ >>338
スレ主発狂しまくり
情報駄々洩れに気づかないとかマジ池沼 >>340
だｗｗｗせｗｗｗなｗｗｗいｗｗｗｗｗｗ
負け惜しみ発狂哀れすぎて草 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
