現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60
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この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレを立てた） >>210 引用文字化け訂正
sin2 θ + cos2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つ
↓
sin^2 θ + cos^2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つ >>213
とスレ主の子分も書いてるように、定義はかいてありますよ >>210
あなたはご自分で「馬鹿」だとおっしゃっておられるので
本当に謙虚に心からそう思っておられるなら、まずは
ご自分が間違っている可能性からお考えになるべきかと思います。
円分体をお勉強される前に、「1のべき根」の定義から
是非お勉強されてください。 >>210
補足
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/rational.html
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/rational.pdf
有理点の整数論 田口 雄一郎 東工大
2005年度 広島大学公開講座 及び
2005年度 九州大学 オープンキャンパスでの講演のノート。
平面内の一次、二次、三次曲線の有理点について高校生向けに解説した
( 実際の講演では三次曲線に入つたあたりで時間切れとなつた )。
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
数学関係の文章
アーベル多様体と数論
( 九州大学公開講座 「現代数学入門」 ( 2013年 7月 28日 ) の講演ノート )
類体論
(「整数論札幌夏の学校」 ( 2006年8月28日 ) に於ける講義ノート )
有理点の整数論
( 高校生 ( または一般の方 ) 向け講義ノート )
Fermat の最終定理を巡る数論
( 『日本の科学者』 vol.40, no.3 )
Artin 導手の誘導公式
( 2001年度 日本数学会 秋季大会 代数学一般講演アブストラクト集 )
Mod p Galois 表現について ( 特に像が可解の場合 )
( RIMS講究録 1154 )
abc予想の話
( 昔、北大理学部 ＨＰ の「サイエンストピックス」に掲載されたもの )
Fontaine-Mazur予想の紹介
( RIMS講究録 1097 )
Fermatの最終定理
( Wilesによる証明の一般向け解説 )
eとpiの超越性
( Hilbertの証明 )
p進数 ( 初心者向けの解説 )
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/
Yuichiro TAGUCHI
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/
田口 雄一郎 (日本語ページ) >>216
ついで
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
類体論
(http://coe.math.sci.hokudai.ac.jp/sympo/060828/index.html
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 ) 初日の講義ノート。
古典的な類体論について、予備知識を仮定せず、 約 180分で概説した。
「整数論札幌夏の学校」 ( 2006年8月28日 ) に於ける講義ノート ) >>216 追加
http://mathsoc.jp/publication/tushin/bookreview.html
数学通信 総目次「書評」
http://mathsoc.jp/publication/tushin/2303/2303yamazaki.pdf
数学通信 23 巻(2018 年度)
書 評
ガウスの数論世界をゆく
?正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ?
栗原将人 著，数学書房，2017 年
東北大学大学院理学研究科
山崎 隆雄
(抜粋)
本書の主題はガウス周期である．これはガウスが著書『数論研究』の中で導入したもの
で，幅広い応用を持つ．本書では（素数 p = 17 に対する八次の）ガウス周期を求めるこ
とで正十七角形の作図可能性が示されている．これと関連するが，円分方程式 x^n ?1 = 0
が冪根で解けるという定理（これもガウスの結果である）や，クンマーの円分体論でも
ガウス周期が有効に使われた（[2, 3] を参照）．しかし，なんといっても重要な応用は相
互法則で，本書でも多くのページが割かれている．ガウスの与えた多くの平方剰余の相
互法則の証明のうち，ガウス周期を用いるものは没後の１８６３年に発表された遺稿に
ある．これは第七証明と呼ばれているが，実はこれは『数論研究』執筆中の１７９６年
には得られていて，年代から言えば三番目の証明になるそうである．そればかりか，ふ
つう第六証明と呼ばれている１８１８年の論文にある証明は，この「第七証明」から「足
場を取り払って」書き直したものだという．
本書はガウスの原典（『数論研究』，上記の遺稿，相互法則に関する論文，手紙など）を
素材としており，歴史的な記述も多く，それが魅力の一つとなっている． >>210
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu.htm
■コラム「閑話休題」
更新情報：2019/02/07
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu11.htm
■２０１１年のコラム（閑話休題）
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1558_pv.htm
２７８．未解決の予想と解決した予想（その２） (11/08/01)
［Ｑ］不定方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，（ｘ，ｙ，ｚ）＝１はｘ，ｙのどちらか一方が２ｕｖ，他方がｕ^2－ｖ^2の形で，ｚがｕ^2＋ｖ^2の形をしているとき，そのときに限り満足されることを証明せよ．ただし，（ｕ，ｖ）＝１でｕｖは偶数．
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm
2019/02/07 更新
Ikuro's Home Page >>210 追加
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/TEACH/kyokusen1.pdf
2004年後期「代数曲線」講義ノート
代数曲線に触れる - 広島大学 松本眞 著 - ?2004
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/hosoku1.pdf
代数曲線に触れる:補足 - 広島大学 松本眞 著 - ?2009
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/
松本 広島大学大学院理学研究科
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/teach.html
授業など教育活動関連 >>131
>Zを整数環とする。
>(1/2)Zに含まれない任意の有理数に対して
>その既約分数表示をm/nとすると
>
>nが奇数のとき
>Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。
>
>nが2で割れるが4で割れないとき
>Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。
>
>nが4で割れるとき
>Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)).
そういうことでしたか
よろしければ元ネタを教えていただけますか？ >>199
>αが有理数のとき
>Q(cos(απ))⊂Q(sin(απ)) または
>Q(cos(απ))⊃Q(sin(απ)) または
>Q(cos(απ))=Q(sin(απ))
>が成立する、
>言い方を変えれば、
>√(1-sin(απ)^2),√(1-cos(απ)^2)
>の少なくとも一つのルートが外れる
>というのは著しいことであって
>ほとんどすべての無理数αに対しては
>このような包含関係はない
>つまり
>「ほとんどすべての無理数αに対しては
>上記のルートは両方とも外れない」
そうだろうけど、証明は難しそうですな。 >>210
>>C(α)が有限群のとき
>C(α)の定義がない
>>200に以下の定義が書かれてますが
「cos(απ)+i*sin(απ)が複素数の乗法に関して生成する群をC(α)とおく」
>>それはcos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根であることを意味する。
>意味わからん。
>α∈R（実数）のとき、
>「cos(απ)+i*sin(απ)が1のべき根」
>は、無条件で成立するよね
いや、成立しませんよ
ｚが１のべき根であるとは、
ある”自然数 n ”が存在して
z^n = 1 となること
上記の自然数nを
勝手に実数ｒに置き換えて
z^r=1 となるzと解釈するのは誤り >>210
>>a/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だが
>>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」
>>ことより、a/c+ib/cは適合しない。
>意味わからん
>z=a/c+ib/cとして、共役複素数 z~=a/c-ib/c
>とすると
>zz~=(a/c)^2+(b/c)^2 =1
>これを満たすピタゴラス数の組み合わせは、無数に存在するよ
>「Q(i)に含まれる1のべき根は1,-1,i,-i の4つしか存在しない」は、不成立だろ？ｗ（＾＾
いや、成立しますよ
残念ながら、|z|=1というだけでは
z^n=1となる自然数nが存在する
とはいえません
「べき根」の定義を確認せず
勝手にでっち上げるのは悪い癖 >>210
>>C(α)は無限群であり、αは無理数である
>拡大体のガロア群の話なら、超越拡大でしょ？
>「αは超越数である」とかじゃないの？
いや、αは有理数でない（つまり無理数）とまでしかいえません
ちなみにa/c+ib/cはガウス数体Q(i)の数だから
代数的数であり超越数ではない
単純にa^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cで、
a>0かつb>0（当然c>0）であれば
(a/c+ib/c)^n=1となる自然数nは存在しない
というだけのこと
>なんか試しているんだろうが
なにも試されていないのに
勝手に言葉を誤解して間違うんじゃ
どうしようもありませんね ダメ押ししますか
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. >>195
石井俊全「ガロア理論の頂を踏む」に比べるとがっかりな内容ですね… 岩波だと金さんがしきりにガロアネタで啓蒙書出してるなw
岩波も近年ゝ推しが目立つ >>221-222
>よろしければ元ネタを教えていただけますか？
先日自分で考えました。
円分体や体論やってるひとからすると常識レベルかもしれませんが。
>>「ほとんどすべての無理数αに対しては
>>上記のルートは両方とも外れない」
>そうだろうけど、証明は難しそうですな。
難しくはないと思います。
「無理数」とぼかしましたが
x=sin(απ)が超越数のときを考えます。
そのときQ(x)はxを不定元とするQ上の有理函数体と同型なので
Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がないというだけです。 >>229
>Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がない
やっぱり難しい・・・ >>229
どうもありがとう
そちらで会話が成り立っているなら、それで可ですな
私みたいなバカが、口を出すまでもないでしょ（＾＾； >>228
これやね（＾＾
https://www.amazon.co.jp/dp/4000296779
ガロアの論文を読んでみた (岩波科学ライブラリー) 単行本（ソフトカバー） ? 2018/9/22 金重明 (著)
商品の説明
内容紹介
決闘の前夜、ガロアが手にしていた第1論文。方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は、まさに時代を超越するものだった。置換の定式化にはじまり、ガロア群、正規部分群の発見をへて、方程式が代数的に解ける条件の証明へ。簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ、高校数学をベースにじっくりと読み解く。
内容（「BOOK」データベースより）
決闘の前夜、ガロアが手にしていた第1論文。方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は、まさに時代を超越するものだった。置換の定式化にはじまり、ガロア群、正規部分群の発見をへて、方程式が代数的に解ける条件の証明へ。簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ、高校数学をベースにじっくりと読み解く。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
金/重明
1956年東京生まれ。1997年『算学武芸帳』(朝日新聞社)で朝日新人文学賞、2005年『抗蒙の丘―三別抄耽羅戦記』(新人物往来社)で歴史文学賞、2014年『13歳の娘に語る―ガロアの数学』(岩波書店)で日本数学会出版賞を受賞(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)
つづく つづき
1件中1 - 1件目のレビューを表示
5つ星のうち3.0ガロアが好きなんですね
2018年12月7日
Amazonで購入
生誕二百年前後には多くのガロア理論解説本が出た。その際、著者もすでに便乗本を出していた。
今度は、ガロア自身の有名な第一論文の解説である。われわれの世代だと、確かに、ガロアは「ヒーロー」である。ガロアかっけ?である。そして多くの者が日下部とか山下などのガロア本に手を出してしまうのである。その先にはアルティン本があるのだが、そこまでたどり着いた者はわずかだと思う。
最近の「頂き」にしてもアルティン系だった。今度こそ、と思いながら、５合目にも達せずあえなく転落骨折がいいところではなかろうか。（ガロア理論がわからなくたって、死にゃ?しません。）
そこにまたまたの新刊！高校数学の範囲でガロアの理論ではなく、彼自身の論文をやさしく解説してくれると言う。長々と書くのは止めて正直に白状すると、今回も「ガロア、やっぱすごい」とは行きませんでした。
よ?く思い出すと、かのジョルダンは自分の有名な置換論を「ガロアの解説本に過ぎません」と謙遜したそうだ。ただの解説本が、びっちりと印刷された６６７ページもの大冊になるだろうか？
それに引き換え、スカスカの１７７ページの小冊子ごときで、やっぱガロアは分かる訳がないのでした。トホホな読書時間だった。
(引用終り)
以上 >>231
じゃ、こちらにコメントをお願いします
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. ＞あなたはご自分で「馬鹿」だとおっしゃっておられるので
＞本当に謙虚に心からそう思っておられるなら
口先だけなのは他人のアドバイスにまったく耳を貸さないことから明らか スレ主はいつも定義があーと言うくせに、自分は定義すら確認しないんだなｗ
馬鹿は死ななきゃ治らないｗ >>227
C++さん、どうもありがとう
>石井俊全「ガロア理論の頂を踏む」に比べるとがっかりな内容ですね…
それは、視点の違いですよ
ガロア山かガロア国に例えるかはともかく
マップは、細かいのと概略の荒いのと、二つある方が良い
石井本は、細かいマップで
上野孝司 著 は、概略の荒いマップです
http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire32160913tu.pdf
響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版） 2016 年12 月５日
(引用開始)
０．はじめにー構造的数学教育の再考
筆者が体験した現代の数学教育
（東京大学教養学部と理学部数学科の数学教育）では、高校の数学を終えて大学に入ると、１、２年の教養課
程でストークスの定理までを扱う解析学やジョルダンの標準型までの線形代数、位相や集合論などといった“
基礎”を学んだ後に専門課程で、群、環、体、留数定理に至るまでの複素解析の基礎を経てようやく“体とガロ
ア理論”（３年次の代数学講義）の一般理論にたどりついたと思いきや、ここで正17 角形の作図を応用問題の
ひとつとして、いっきょにサッと終えてしまう。しかし、大学の数学科の学生ならまだしも、普通の理工系の
学生にとってはこれは酷な話である。ほとんどの学生や一般の社会人は、この興味深い作図問題に至る一連の
課程をこなしきれず途中で力尽き、正17 角形の問題にたどり着くことができない。結局は断念するか、せい
ぜいネットで一連の理論の終盤で扱う定規とコンパスによる作図といった技巧的な事柄を学ぶ程度で終わって
しまうのである。筆者もこの作図問題の存在を知ったのは高校生のときであったが、実際にそれを理論として
学習するまでには５年もの歳月を要した。
つづく >>237
多くのひとがガウスの残した偉大な歴史的な遺産を学びきれないといった実に残念な状況を生み出してし
まっている。これでは、ガロアやガウスも浮かばれまい。実は、正17 角形の作図問題だけならそれほど多く
の事柄を知らずとも、ガロアやガウスの思想を伴って学びとることができるのである。いや、逆にこの問題を
起点として議論を展開すれば、ガロアやガウスの思想の果実を具体的に学びとりながら、現代数学を習得でき
るのである。つまり、正多角形の作図“問題”は現代の構造的な数学教育のネガティブな影響の一端を如実に示
しているのである。本稿は、以上のような経緯を踏まえて、正１７角形の作図問題をガロアの理論やガウスの
思想という偉大な“おまけ”付きで、突貫工事で一挙に解決しようと試みたものである。５年の歳月を１日で再
現する、いわば、“君のための数学原論”である。必要な知識は、線形代数の初歩、群と体の定義くらいである。
(引用終り)
あと
＊筆者経歴
東京大学理学部数学科を経て教育学部卒業。証券会社、外資系通信社で金融・資本市場の業務を経験。専門は、債券
資本市場。主な著書・論文：『信用リスクを読む』（日本評論社）、『信用リスクとＭ＆Ａ』（同）、『世界金融危機と信用リス
ク』（同）、『鎮めの文化と資本市場』（ブルームバーグ）、『金融派生商品』
以上 >>238 補足
再度強調しておくと
「本稿は、以上のような経緯を踏まえて、正１７角形の作図問題をガロアの理論やガウスの
思想という偉大な“おまけ”付きで、突貫工事で一挙に解決しようと試みたものである。５年の歳月を１日で再
現する、いわば、“君のための数学原論”である。必要な知識は、線形代数の初歩、群と体の定義くらいである。」
ってこと
石井本とは全く視点が異なります
ですが、上野孝司 を頭に入れて
石井本を読めば良いのです（＾＾
マップで概略を頭に入れて
細かいマップを使うべしだと >>234
その確率計算は決定番号が自然数である限り否定しようが無いと思います。
選択公理を仮定すれば、R^N/～の代表系の存在が、ひいては決定番号が自然数であることが保証されます。
決定番号の分布が異常だから確率計算はできないと主張する人には、確率計算ができない決定番号の例を示して欲しいと思います。 計算機の得意なC++のために～（＾＾
なお、ここでも、Washington本（>>184に同じ）が登場しますね（＾＾
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsiamt/25/4/25_KJ00010135302/_article/-char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsiamt/25/4/25_KJ00010135302/_pdf
円分体の相対類数計算について(サーベイ,<特集>数論アルゴリズムとその応用) 谷口 哲也
J-STAGEトップ/日本応用数理学会論文誌 / 25 巻 (2015) 4 号 / 書誌
(抜粋)
2． 円分体の相対類数 定義， 歴史， 性質， 未解決問題
2．3 相対類数に関する未解決問題の例， 計算の現状
3． 解析的類数公式について
代数的整数論
の諸概念の詳細については， 山本［63］， 藤崎［14］， 高木［54， 551， Ireland ，
Rosen ［25］，Washington ［61］， Lang ［33】， 木村［28］などを参照されたい．
［611L ． C ． Washington．Introductiotno cyclotomic fields ， Vol．83 of Graduate Text sin Math ?
ematics 。 Springe?Vrerlag， New York， second edition， 1997．
(引用終り) さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. >>242は以下の言明とは異なる
「さて， 数列s^1～s^100 をランダムに選ぶ.
s^1の決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.」
つまり数列は確率変数ではなく、非可測性には影響されない おっちゃんです。
>>199
>>203
>>229
オイラーの定数γについてここに書く前に、これらの種の問題も既に解決している。
私の論文のネタをパクられると困るから、スレ主等には円分体の話をしないでほしい。 2つの意味でその心配だけはしなくていいから安心しろ >γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
>|γ－1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p |
> ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p
> ＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p
> ＝1＋1/2＋…＋1/(p－1)－log(p)
> ＞0、
>従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ－1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p＞1/k≧1/p。
>故に、0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
>(…以下略…)
見直したり他の方向から考えてはみたが、この部分は γ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) ) に特化していた。
ここに、γ_n＝1＋1/2＋…＋1/n－log(n) n≧2 は超越数で、n≧2 のとき {γ_n} は下に有界な単調減少列。
γが代数的無理数でないことまでは証明出来たが、ディオファンタス近似ではγの超越性まではいえない。
γの超越性をディオファンタス近似で証明しようとすると、ほぼ自動的にγが超越数であることがいえて一般的に成り立つような証明になる。
やはり、γは有理数だった。 >>244-246
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうで何よりです。
いつもどおり、おっちゃん節健在ですね
「やはり、γは有理数だった」ｗ（＾＾ >>203
遠隔レス失礼
問題
ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の整数解が
abc≠0 のとき、自明でない解という。
αをピタゴラス方程式の自明でない解に対して
cos(απ)=a/c, sin(απ)=b/c
をみたす実数とすると、αは無理数であることを示せ。
↓
問題改
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。
αを
cos(απ)=p, sin(απ)=q
をみたす実数とすると、
(p,q)が、自明な解でないとき
αは無理数であることを示せ。
とします
（略証）
背理法を使う
p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)
は、単位円の方程式 x^2+y^2=1
を満たしていることに注意する
α＝m/n ここに、m、nは整数
と書けたとする
cos(απ)＋i*sin(απ)を、2n乗する
｛cos(απ)＋i*sin(απ)}^2n
={cos(m/n π)＋i*sin(m/n π)}^2n
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
=1
つまり、
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
（ここに、ζ2nは、いつもの円分体の根を表す。）
ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
よって、矛盾が生じたので、αは有理数ではない。即ち、αは無理数
略証終わり
言いたいことは、こんなことかなー？
これ、確かに面白ね～（＾＾
良い視点だと思う！（＾＾ >>248
補足
読み返すと、文が拙いなー（＾＾
例えば
cos(απ)＋i*sin(απ)＝ζ2n 但し、ζ2nは、上記の自明な解以外
↓
cos(απ)＋i*sin(απ)＝(ζ2n)^h 但し、h>=1 の整数で、ζ2nは、上記の自明な解以外
とか、書くべきかも
まあ、普段証明を書かないからね
数学科生は、もっと洗練された表現をするのでしょうね（＾＾
こなれた教科書とか、大学教員の書きぶりをみると、こういうところ気配りがあるよね >>248 タイポ訂正
={cos(2m π)＋i*sin(2m π)}^2n
↓
=cos(2m π)＋i*sin(2m π)
ケアレスミスが多いな（＾＾；
気を付けましょう～！
試験なら減点されそう >>248
全く蛇足だが
・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
・p+iq =cos(απ)＋i*sin(απ)は、岩澤理論の下記Lの外なんやろね（岩澤理論は全く理解していませんが（＾＾ ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%BE%A4%E7%90%86%E8%AB%96
岩澤理論
(抜粋)
円分拡大の数論
1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。
このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。
ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像
Im → In
（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。
(引用終わり) >>251
これも、全く余談だが
・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
・時枝記事のように、どこの教科書にもなく、どこの論文でも扱われていない。あるいは、大定理の系とは真逆だと。そういう命題は、おそらくは眉づばですよね（＾＾ >>248
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
ここらの表現も全く拙いね～
素人表現やね（＾＾； >>253
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解が
(p,q) = (1,0),(0,i) ,(-1,0),(0,-i)のとき、自明な解ということにする。
ここに、iは虚数単位である。”
↓
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
くらいに書くと、まだ読めるかな
いくら時間がなくとも、これくらいは書かないとね
まあ、手を入れだすと際限がないので、あとはスルーしてたもれ（＾＾ >>255
”単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
Z＝p+i q
(p,q) = (1,0),(0,1) ,(-1,0),(0,-1)のとき、自明な解とする。
ここに、iは虚数単位である。”
な >>256 補足
なので、回答はN
p^2+(iq)^2=1の意味でいいか？
↓
単位円の方程式 p^2+q^2=1 の有理数解で
ってことです >>251
>・この話（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うね
いま検索中で、見つからない
下記は、関係ないけど、面白そうだから貼る（＾＾
http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&;mode=c&id=504&page_type=materials
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)
http://ocw.nagoya-u.jp/files/504/LectureNote.pdf
連分数，フォードの円，双曲幾何 平成27年度前期 糸健太郎 名大
講義ノート 数学展望Ⅰ(一括ファイル, 67ページ) (PDF 文書, 1209KB) 2015 >>258
いや、確かに
（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど
思い返しても、記憶に引っかかってこない
まあ、みんなピタゴラスの整数解が見つかったとか
無限個あって、よしよしで終わっていた気がするね
和書にはなかも
英文探すのも大変だが（＾＾ >>259 タイポ訂正
和書にはなかも
↓
和書にはないかも >>259 補足
そうか、”ゲルフォント、シュナイダー”か
下記
命題P：有理数ではない代数的数 α → 命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数
対偶
￢命題Q：sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} は超越数ではない → ￢命題P：αは有理数か超越数
で
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数の例
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0 に対する、 sin{α}, cos{α}, tan{α} 。 (リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass))
・有理数ではない代数的数 α に対する、 sin{απ}, cos{απ}, tan{απ} 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
(引用終わり) >>261
ゼミだと
「”ゲルフォント、シュナイダー”の証明は？」とか
ツッコミありそう（＾＾； >>261
”いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数だと
それで、
αは有理数が否定されたから、
”ゲルフォント、シュナイダー”で
超越数が言えるかな？”
(引用終わり)
まあ、それこそ、この程度のことは、
どっかにだれかが書いてそうだが、
疲れたので、ここまでだな？
”ゲルフォント、シュナイダー”まで行くと
もろ、本格的に超越数論だからね～、
ちょっと私の手に余る（＾＾ スレ主は>>144で岩沢理論についてのムック本の臨時別冊・数理科学について触れていたが、
おっちゃん的には、下の2冊がお薦めだね。
・臨時別冊・数理科学2017年3月 偏微分方程式の解の幾何学
これは幾何的に考えて偏微分方程式の解からその偏微分方程式が定義される様子の導出
について書かれている面白い本だ。普通の形式の本でそういうことが書かれている本は知らない。
・臨時別冊・数理科学2016年11月 数理物理学としての微分方程式序論
こちらは理解するのは簡単ではないが、(非線形)偏微分方程式をするなら、持っていて損はない。 >>259
>（αは無理数）は、どこかの教科書などにありそうに思うけど思い返しても、記憶に引っかかってこない
平面 R^2 の単位円上に有理点が稠密に分布することは、むしろ初等整数論の結果になる。
他に関係する事柄は、元子お姉さんの研究の一端について書かれている「ダイヤモンドはなぜ美しい？」に載っている。
比較的良書ではある。 >>252
>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
まあ、
いまの場合は、（sin{απ}, cos{απ}）の両方とも有理数なので
それで、上記のように
αは有理数が否定されて
”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
αは、超越数が言えるってことでしょう
超越数論以外では、だれも触れないんだろうね
ピタゴラス数で終われば、高校数学の範囲だしね
大学数学だと、
超越数論で”ゲルフォント、シュナイダー”やれば分かるのだと
いやいや、>>203は なかなか面白い視点でしたね >>264
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾
”臨時別冊・数理科学”ね
あれ、結構本格的やね
どれもむずいわ（＾＾ >>265
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どうもありがとう（＾＾ >>266
>>・正しい命題は、普通どこかの教科書か論文で扱われている。あるいは、大定理の系として当然に得られるもの
>”ゲルフォント、シュナイダー”の系として
>αは、超越数が言えるってことでしょう
暗に、時枝記事はそうじゃないよと
（だれも扱わない）
ダメダメですよと
早く気づけよ、おい >>259
>>265は、はじめの一歩。
まあ、数論的な構造には意外に汚い構造があることも分かる。
3辺が有理数の直角三角形における直角 π/2 ではない他の2角は、
両方共に 0＜a、b＜1/2 を満たす2つの有理数 a、b を用いて
aπ、bπ と表わされる方が調和が取れた美しい構造をしていると思ったが、そうではなかった。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 >>252
>時枝記事のように、・・・大定理の系とは真逆だと
時枝記事と前提が異なる大定理と比較しても無意味
確率変数でもないものに対して独立同分布とかいっても無意味 スレ主は
「非ユークリッド幾何学は三角形の内角の和が二直角じゃないから間違ってる」とか
「相対性理論は速度の合成が足し算で表されないから間違ってる」とか
臆面もなくいいそう この程度の簡単な証明でも、自分の知性だけを頼りに正しさが確かめられないひとは大変ですね。
数学やってて楽しんでしょうか？ 証明に一箇所「ちゃんと証明すると結構大変」なことがあって
それこそ「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
ということで、それは円分体のガロア群を計算することもほぼ同じ原理ですが
その根本的なところをスレ主は押さえていない。
ま、教えませんけどw
円分体（1のべき根の体）のことを滔々と語りながら
1のべき根が何かも知らなかったひとに何を言っても無駄でしょう... >>272
ユークリッド幾何の公理のもとでは間違いだろなに言ってだ >>230
>>Q(x)とQ(√(1-x^2))の間に包含関係がない
>やっぱり難しい・・・
√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
代数的に書くとCを複素数体とすると
√(1-x^2)\not∈C(x)ですが
当然、√(1-x^2)\not∈Q(x).
xと√(1-x^2)を入れ替えても"双対"なので
x\not∈Q(√(1-x^2)).
論理的に面白いのは、超越数ξ,不定元xに対して
Q(ξ) 同型 Q(x)ということですかね。
体をCまで拡げてしまうとC(ξ)=C
ですから、当然函数体とは同型になりませんけど。 >√(1-x^2)は有理函数ではない、これはよろしいでしょう？
ま、そこはね >>275
スレ主はユークリッド幾何学が正しいから
非ユークリッド幾何学は間違ってるとか
平気でいいそう >>252
つまりあなたは時枝は間違いだと言うんですね？
では選択公理を仮定しても決定番号が自然数とは限らないことを証明して下さい。
できないなら根拠の無い言いがかりと解釈します。 >>274
「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」の証明が難しい？
ここは、小学生もいるので、変なことを言わないように、お願いします（＾＾
命題A： 「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」
↓↑
命題B：（>>248より）αを cos(απ)=p, sin(απ)=q をみたす実数とすると、(p,q)が、自明な解でないとき αは無理数である
これ成立ですよ！ 命題AとBは同値
命題Bが>>248で証明した命題ですよ！
以下、証明します
まず
命題Bを簡明に言い換えると
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)とおいて
命題B’：zが単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
とします
命題Aを簡明に言い換えると
命題A’： 「Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけ」
（円の等分点は、下記 永野哲也先生ご参照 ）
１）命題A’→命題B’
証明
背理法を使う。
zが単位円の有理点であるにも関わらず、zの偏角αは有理数であるとする
>>248で示した様に、zは円の等分点になる。これは、命題Aに矛盾する
２）命題B’→命題A’
証明
命題B’より、z= cos(απ) + i sin(απ) が、単位円の有理点であれば、zの偏角αは無理数である
よって、zは円の等分点ではない。従って、Q(i)に含まれる円の等分点は±1,±iの4つだけである
QED
簡単でしょ（＾＾
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/
永野 哲也研 長崎県立大
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602
第16回
(抜粋)
１．円の等分点
zk=cos 2πk/n + i sin 2πk/n (k=1,2,・・・,n)・・・(1)
（∵） ｚ＝１から測って、n等分点の最初の点ｚ1の偏角は、１周が2π（＝360度)であるので、 2π/n（ラジアン）
である。それ以後のn等分点は、隣の点と角 2π/n(ラジアン)だけ離れているので、
ｚ2の偏角は 2π/n×2（ラジアン）、ｚ3の偏角は 2π/n×3（ラジアン）、・・・、ｚnの偏角は 2π/n×n=2π（ラジアン）となる。
これらは、方程式
x^n＝１
の根である
１の原始n乗根
上式（１）で、k=1 と2以上のkについては、nと互いに素となるkの複素数zkを１の原始n乗根という
(引用終り) さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. >>281 訂正
zの偏角α
↓
zの偏角のα
としておきます
ここは、小学生も来るので（＾＾；
一般に偏角は、（下記「複素数の偏角」ご参照）
z= cos(απ) + i sin(απ) ＝e^(iαπ)
で、απを言いますから
まあ、πを１単位として測ったと思ってもいいのですが
ちょっと標準とずれますから
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%81%8F%E8%A7%92
複素数の偏角 >>174
＞それにしても円分体は面白い。時間があれば Washington の本をじっくり読みたいところだが、
円分体 Washington の本は、下記ですね。間違いなし（＾＾
（Fermat's Last Theorem関連の一部のみ引用しておきます）
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field
(抜粋)
Relation with Fermat's Last Theorem
A natural approach to proving Fermat's Last Theorem is to factor the binomial x^n + y^n, where n is an odd prime, appearing in one side of Fermat's equation
x^n + y^n = z^n
as follows:
x^n + y^n = (x + y)?(x + ζy)?…?(x + ζn???1y).
Here x and y are ordinary integers, whereas the factors are algebraic integers in the cyclotomic field Q(ζn). If unique factorization of algebraic integers were true, then it could have been used to rule out the existence of nontrivial solutions to Fermat's equation.
Kummer found a way around this difficulty.
He introduced a replacement for the prime numbers in the cyclotomic field Q(ζp), expressed the failure of unique factorization quantitatively via the class number hp and proved that if hp is not divisible by p
(such numbers p are called regular primes) then Fermat's theorem is true for the exponent n = p.
Furthermore, he gave a criterion to determine which primes are regular and using it, established Fermat's theorem for all prime exponents p less than 100, with the exception of the irregular primes 37, 59, and 67.
Kummer's work on the congruences for the class numbers of cyclotomic fields was generalized in the twentieth century by Iwasawa in Iwasawa theory and by Kubota and Leopoldt in their theory of p-adic zeta functions.
つづく >>284
つづき
References
1^ Proposition 2.7 of Washington 1997
・Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45?93.
・Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
・Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
・Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4
Further reading
・Coates, John; Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
・Weisstein, Eric W. "Cyclotomic Field". MathWorld.
・Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
On the Ring of Integers of Real Cyclotomic Fields. Koji Yamagata and Masakazu Yamagishi: Proc,Japan Academy, 92. Ser a (2016)
(引用終り) >>248 補足
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
>>248の証明では、「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
（円分多項式は、下記永野哲也先生ご参照）
難しい議論は不要
証明の荒筋だけ書くと
円分多項式で、f(x) =Φn(x)
と見慣れた記号に直して
例えば、f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根)
もし、ζn∈Q(i)なら
f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて
（ここに、g(x)＝f(x) /(x-ζn) なる多項式です）
Φn(x)の既約性に反する。
多項式で
f(ζn)=0 → f(x) ＝(x-ζn)g(x) と書けることは、どこにでもある基本事項です
（高校の範囲で、証明もどこにでもありそうですが、省略します）
別に、難しいことは何もない
「円分体のガロア群を計算する」なんて必要はありませんよ（＾＾
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/
永野 哲也研 長崎県立大
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h26ensyu2-16.html#1602
第16回
(抜粋)
２．円分多項式
Φn(x)： １の原始n乗根のみを根にもつ多項式を円分多項式（または円周等分多項式）という。
定義より以下が正しい。
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-5.jpg
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-6.jpg
１の8乗根を単位円周上に図示すると以下のような z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8 である。
http://sun.ac.jp/prof/hnagano/image/h26ensyu2-16-7.jpg
z1、z3、z5、z7 が１の原始8乗根である。
z4 は原始2乗根、z2、z6 は原始4乗根、z8 はもちろん原始1乗根である。
(引用終り) >>286
>ところで、円分体の理論より、ζ2nは代数拡大であり、Q(i)の元ではない
正確には、>>286で示したのは、ζn not ∈Q(i) だけですが
（高校数学の範囲です）
”代数拡大”は、ガウス先生が示したそうですが
それも、ガロア理論の前ですね
DA読めば書いてあるかも（＾＾ スレ主は言葉の使い方がメチャクチャ。
Q(i)も代数拡大なんですがw >>286
>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
>f(ζn)=0とします (ζnは円分体の根) もし、ζn∈Q(i)なら f(x) ＝(x-ζn)g(x) と因数分解できて
まあ、下記なんかが参考になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
剰余の定理
(抜粋)
多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、Remainder theorem）は、多項式 f(x) をモニックな（最高次の係数が1である）二項一次多項式 x － a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。またとくに、f(a) = 0 ならば f(x) が x － a を因数に持つことが従う（因数定理）。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
因数定理
(抜粋)
多項式 f(X) が一次式 X － k を因子に持つ必要十分条件は f(k) = 0 となること、すなわち k が多項式 f(X) の根となることである[2]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
有理根定理
(抜粋)
有理根定理（ゆうりこんていり、英: rational root theorem）は整数係数の代数方程式
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+・・・ +a_{0}=0
の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：
定数項 a0 および最高次の係数 an がゼロでないなら、有理数解 x = p/q を互いに素（最大公約数が 1）な整数 p, q で表したとき、p, q は以下の条件を満たす。
・p は a0 の約数
・q は an の約数
有理根定理は、多項式の因数分解に関するガウスの補題（英語版）の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 an が 1 であるとき成り立つ整数根定理 (integral root theorem) は、有理根定理の特別な場合である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
既約多項式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95
アイゼンシュタインの既約判定法 >>288-289
ご指摘ありがとう
どんどんお願いします（＾＾ 必死に検索して「お墨付き」を見つけなければ
証明の正しささえ自分で判断できないひとに数学は無理でしょう。
>「Q(i)に含まれる1のべき根は±1,±iの4つだけ」は使っていませんよ！！（＾＾
これも間違い。使わなければ証明できない。
この程度のことも分からないひとに数学は無理ですね。 >>288-289
ついでに、どう書くべきか
も指摘ついでにお願いします（＾＾ テンプレ>>9再録
(抜粋)
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
(引用終り)
まあ、こういうことです
なお、テンプレ>>7再録
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）”
数学なんかやっているつもりはありません！ はい！（＾＾
半分趣味と遊びのスレ
もう半分は、ここはおれのメモ帳だぁ～（＾＾
これ、定義です！ はい！（＾＾； >>288-289
ご指摘ありがとう
なるほど、代数拡大の基礎体の明示がないと
数学科生は気を付けましょうね
代数拡大の基礎体は常に明示しましょうね >>248 補足
円分体
1973/74の昔とこの頃ですが
（これ、過去にアップしたかも）
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~otsubo/article/cyclotomie.pdf
円分 ? 昔とこの頃* アンドレ・ヴェイユ
* Andr´e Weil, La cyclotomie jadis et nagu`ere, S´eminaire BOURBAKI, 26e ann´ee, 1973/74, n
?452, Juin
1974. In: Springer Lecture Notes in Math. 431 (1975), 318-338, ?uvres Scientifiques (全集), Vol. III,
311-327. (大坪紀之による私家版日本語訳, 2012)
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~otsubo/index-j.html
大 坪 紀 之
千葉大学 大学院理学研究院
数学・情報数理学コース >>290
>>>286
>>ここは、下記の円分多項式の体Q(i)内での既約性を認めてしまえば、
まあ、下記などを
http://ichikawa.ms.saga-u.ac.jp/Galois.pdf
Galois 理論とその応用
市川 尚志 2 佐賀大学工学系研究科数理科学専攻
(抜粋)
P14
定理 1.5.2 (Eisenstein).
P15
例
(2) p を素数とするとき、p 次円周等分多項式
(X^p ? 1)/(X ? 1) = X^(p?1) + X^(p?2) + ・ ・ ・ + X + 1
は Q 上既約。
(引用終り)
http://ichikawa.ms.saga-u.ac.jp/
市川 尚志
ICHIKAWA, Takashi
佐賀大学大学院 工学系研究科 数理科学専攻 ＞スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
馬鹿はチラシの裏でやってろ >>298
下記 大阿久先生はPDFは、49ページですが
円分体の最小多項式の既約をEisenstein の 判定法で示しています。
この手法は、結構標準（だいたいこれ）ですね
G が巡回群であることも、示されていますよ
そんな、大げさな話しじゃないよね
これ、ちょっとお薦めです
http://lab.twcu.ac.jp/~oaku/galois.pdf
ガロア理論入門（体と群と方程式）
大阿久 俊則 東京女子大学 現代教養学部 数理科学科 数学専攻
この講義では，ガロア理論の基本的な部分を群，環，体などの現代の代数学の言葉を用
いて解説する．体としては複素数体の部分体（古典的な場合と呼ばれる）を主に扱う．
なお，「環と加群の基礎」の内容，特に単項イデアル整域 (PID) についての事項は既知
として自由に用いるので，必要に応じて参照してください．
P48-49
14 円分体
ζ の Q 上の最小多項式は
f(x) = x^p?1 + x^p?2 + ・ ・ ・ + x + 1
であることを示そう．x^p ? 1 = (x ? 1)f(x) と ζ^p = 1, ζ ≠ 1 より f(ζ) = 0 である．
f(x)が Q 上既約であることを示そう．
Eisenstein の
判定法により f(x + 1) は Q 上既約である．従って f(x) も Q 上既約である．
最後に，G が巡回群であることを示そう．
(引用終り)
http://lab.twcu.ac.jp/~oaku/index_jp.html
大阿久 俊則 (おおあく としのり)
東京女子大学 現代教養学部 数理科学科 数学専攻 >>300
どうもありがとう
これは、キチガイを取締る役代表の方ですかね？
久し振りの取締りパトロール、ご苦労さまです
5chで大学レベルの数学やろうなんて、キチガイだよね
実際、そんなこと（大学レベルの数学）が成り立っているスレが、
このバカ板5chの数学板のどこにそんなスレがあるのか？
ネット検索から有用な情報を貼り付けて
それをネタに雑談する以上のことは
考えていませんので、悪しからず（＾＾； ＞ネット検索から有用な情報を貼り付けて
言ってることが矛盾してる
お前は自他ともに認める馬鹿でアホなんだろ？
だったらそんなお前が選んで貼り付けた情報も信用できないだろ、何で有用と言えるんだ？ >>305
テンプレ>>9再録
どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本です
QED
なお、何が有用でなにが有用で無いかは
属人性があります
ある人には有用でも、別の人にとってはそうではないですよ 数学ソフト Risa/Asir の記事ですが、
これ、分り易いかも（＾＾
https://core.ac.uk/download/pdf/39193381.pdf
Title Radical Representation of Polynomial Roots
Author(s) 穴井, 宏和; 横山, 和弘
Citation 数理解析研究所講究録 (1995), 920: 9-24
Issue Date 1995-08
2.
Radical Representation of
Polynomial Roots
穴井宏和 (富士通情報研)
横山和弘 (’)
2.1 数学的基礎
2.1.1 Galois 理論
まず, Galois 理論について簡単に復習する. mmonic で既約な $\mathrm{Z}$ 上の $n$ 次の多項式を $f(x)$ とする.
2.1.2 巡回拡大 円分体から類体論へ
http://alg-d.com/math/number_theory/class_field_theory.pdf
代数的整数論 類体論 壱大整域
ツイート
(抜粋)
@alg d
2013 年 2 月 9 日
0 初めに
この PDF は某国某所で某氏によって開催されたとあるセミナーで発表する内容をまと
めたものです．当然，こんな量喋りきれるはずは無いので当日は適当に必要な部分だけ喋
りますが，PDF の用量に制限は無いので書けるだけ書いています．今回の話は類体論が
どういうものかを理解してもらうのが目的です．類体論をやるには当然代数的整数論の
基本的な知識が必要ですが，頑張ってその辺をごまかしています．(無理なところは諦め
てその辺の知識を仮定しています．) 目的が目的なので類体論の証明などは殆どやりませ
ん．というかそういうのを勉強したい方は本を読んで下さい．
1 導入 ～有理数体の類体論へ～
(引用終り)
http://alg-d.com/
壱大整域
http://alg-d.com/math/number_theory/
整数論 >>306
＞まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
いやだから、馬鹿でアホなお前が正しいと思ったということは、正しくない可能性が
大いにあるということだ。違うかい？
正しくない可能性が大いにあるものをコピペする意味とは？ さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
