常微分方程式の解のパラメータ依存性について質問でふ
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学部レベル質問スレで質問するべきなんだろうけどそんな簡単に答えられない質問だった場合に質問が埋もれるのが嫌なのでマナーを破ります。はい破った。
常微分方程式の数値解法について習ったので
x″(t)=-sin(x(t))-λcos(x(t))costをいくつかの初期値に対してパラメータλを変えながらプログラムで数値計算したんですよ
そしたらある初期値(x(0)=0,x'(p)=π)の時、解のパラメータ依存が比較的にかなり小さくなったんです！
(もっと小さくなる初期値もあるのだろうか？)
で、これって何でだろう、理論的に説明できないか？というのが当方の質問です。
前述の微分方程式は私が内容を全く知らない楕円何とか関数とかを使えば一般的な解が表せるんだろうと思うので、
それを使えば間違いなく「この初期値に対してはパラメータ依存性が比較的小さい」という理論的な確認が取れるんでしょうけど、それ以外に定性的である程度簡単な説明とかはありませんでしょうか？？？
あったとしたら知らないことがすごく勿体無いと感じるので、質問させていただきます。 >>1の2段落目3文目訂正
× 初期値(x(0)=0,x′(p)=π) ○初期値(x(0)=0,x′(0)=π)
なお、あるλに対する解x(t)を“φ(λ,t)”と表せば、解のパラメータ依存性は、(∂φ/∂λ)によって数値化できると思います。
そして、その値はy=(∂φ/∂λ)に対して連立常微分方程式
y″=-cosxcost+(-cosx+λsinxcost)y(と、先ほどのxについての常微分方程式の連立)
の初期値y=0(t=0),y′=0(t=0)の解であることが分かったので、同じく数値解法で計算したところ、
先ほどの初期値x=0,x′=πに対してはパラメータ依存性y=(∂φ/∂λ)の値が比較的にすごく小さくなることは確認できたんです
なので実験的(?)には納得してかなり満足なのですが、理論的にはやはり不思議なのです
例えば今書いたyについての常微分方程式で解がy=0(定数)にでもなるなら納得ですが、むしろ-cosxcostは初期値に対してー1を取りますし…
初期値x=0,x′=πがy′を小さくすることを理論的に確認する方法ってないですかね？ どのくらい専門的なのかも、答える方がもしいらっしゃった場合にどのくらいの労力がかかるのかも存じ上げませんが、
簡単には確認できない、でもいいのでレスポンスが頂けたらありがたいです
まあ何の反応もなくこのスレがクソスレとして板にしばらく残るんでも構わない 元の常微分方程式はx(t)の加速度x"(t)を決める式が速度x'(t)に対して負のフィードバックとして働けばx(t)は安定して推移すると思われる
たとえば速度x'(t)=π+f(t)としてf(t)とx"(t)の間の関係を求めたらどうなるだろうか >>4
なるほど、確かにこの初期値の時だけx(t)が直線状に推移してたんですよね…
でもx(t)=πtとしても微分方程式の解になるわけではないので悩んでいたのですが、なら直線解の周りで安定しているのか？と考えればいいのか…
x(t)=πt+∫f(t)dtなので
x′′=-sin(πt+∫f(t)dt)-λcos(πt+∫f(t)dt)cost
これでf(t)が0より大きくなるとx″<0、f(t)が0より小さくなるとx″>0となればいいわけか 〔問題〕
y ' = √y,
初期条件 y(0）= 0,
の解を求めよ。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1297846612
x≦-C のとき y = 0
x≧-C のとき y =（x+C)^2 /4
C ≦ 0 はどこで決まるんだろう？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
