現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>458
>>458
C++さん、どうも。スレ主です。
有理数と無理数の絡み合い
例の>>366 のPDF
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
などを読むと、実に奥深いですね～（＾＾ >>462
>その話は、時枝記事中でも、非可測集合のパラドックスとして、ちょっと触れているだろう？
>（なお、”非可測集合のパラドックス”は、私見だが本質ではないと思っているのだが）
時枝先生の書いている、「ヴィタリ類似だから、即お手つきか」という話ではないように思うということ
（時枝先生の話）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/21
(抜粋)
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
(引用終り)
と、時枝先生は書いている。が、頭の悪いスレ主には、意味が良く取れない
１．ヴィタリ類似を経由したからと言って、具体的に計量を計算するまでは、矛盾はおきないでしょ
２．また、話を、選択公理にすり替えているが、ちょっとおかしい
３．決定番号は、自然数Nの範囲だし、測度論に一気に飛んでも、「なに言ってるの？」と感じる
４．だから、どんな空間の計量を問題にしているかを定義せずに話を飛ばすから、「あれあれ？」と
５．要は、「ｈ：無限次元ベクトル空間R^N→N’(決定番号の集合）」で、x,y∈N’で、P（x>y）=1/2 がきちんと計量を定義して言えるのか？
言えないだろうというのが、下記の話だと理解している
つづく >>468 つづき
＜参考＞
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/31
20 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/519-522
519 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:27:11.14 ID:f9oaWn8A [4/13]
>>518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
時枝さんのやっていることは
無限列x=(x_1,x_2,…)から定められた方法によって一つの実数f(x)を求める．
無限列x=(x_1,x_2,…）から定められた方法によって一つの自然数g(x)を求める．
P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
ということだが，それの証明ってあるかな？
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．
521 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/03(日) 22:36:32.49 ID:/kjhINs/ [10/15]
>>519
記事のどこが疑問なのか明確にしてもらえますか？
説明不足でよく分からない
522 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:40:29.88 ID:f9oaWn8A [5/13]
面倒だから二列で考えると
Y=(X_1,X_3,X_5,…）とZ=(X_2,X_4,X_6,…)独立同分布
実数列x=(x_1,x_2,…)から最大番号を与える関数をh(x)とすると
P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明
つづく >>469 つづき
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/34
20 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/528-529
528 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:03:57.29 ID:f9oaWn8A [8/13]
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R,B(R))の可測関数である．
もしhが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない
529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:04:46.18 ID:f9oaWn8A [9/13]
>>528
自己レス
(R,B(R))ではなくすべて(R^N,B(R^N))だな
(引用終り)
つづく >>470 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
ジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
(引用終り)
＜ついでに、無限次元ベクトル空間の話＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
(引用終り)
つづく >>471 つづき
http://proofcafe.org/k27c8/math/math/liner_algebraI/page/abstract_vector_space/
抽象ベクトル空間
(抜粋)
無限次元ベクトル空間！？
ところで、多項式のベクトルでは、
{1,x,x2,x3,・・・}
を基底としていることが分かります。
見れば分かるように、基底が無限個あるのです！！！
抽象ベクトル空間では、無限次元のベクトル空間を考えることがあります。
名前だけ聞くと・・・何だかすごいですね。
無限次元のベクトル空間では、
線形代数学の一般論が成り立たない・・・そんなことが時々あります。
この「無限次元ベクトル空間」を扱う分野のことを「関数解析」というのですが・・・
(引用終り)
つづく >>472 つづき
http://eman-physics.net/quantum/hilbert.html
ヒルベルト空間 知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。 EMANの物理学・量子力学・ヒルベルト空間
(抜粋)
量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。なぜならこれは数学用語だからだ。
しかし、知らないというのは立場が弱い。学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう。
もしこんな事態に遭遇しても、
「ああ、そうだね。ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」
と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。
ベクトル空間
内積空間・ノルム空間
完備性
さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。
・内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。
・ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。
バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、数学ではこんな具合に分類されて名前が付いているんだよ、という雰囲気をつかめるように書いておいた。
な。物理学者は「ヒルベルト空間」なんて言葉でカッコつけなくてもいいんだよ。他の数学的空間の性質と区別する必要があるときにだけ使えばいいんだからさ。
で、気になっていることと思うが、「完備性」とは何だろうか。
つづく >>473 つづき
コーシー列が収束する時、完備性を持つのだそうだ。ではコーシー列とは何かと言えば、集合から好きな要素を取り出して並べた時に、あるところより先の要素を見ると必ず、それらの要素間の距離がどんな狭い範囲にでも収まってしまう、そんなところが必ずある、という並びのことらしい。
ああ！数学ってのは七面倒くさい！！！とにかく、どこまでも狭い範囲に収まって行くような並びのことだ。
それで、狭い範囲に収まって行くのなら収束していると言えるのではないか、というと、そういう意味ではない。
数学的な表現はやめて、分かりやすく言い直そう。これはベクトルが連続であることを定義しているのである。この性質は微分などを定義するためには是非とも必要なものだ。そして、それはもっと分かりやすく言えば、このベクトルの要素は実数か複素数の範囲でなければならないという意味である。初めからそう言えよ、って？私もそう思う。
こんなもんなんだよ
なんだ、それだけか？結局、ぶっちゃけて言えば、「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」というくらいの意味だったということだ。実に他愛のない話だ。だからこそ一度知ってしまうと今度は逆に、これくらいは知ってないと恥ずかしいと思えてしまうわけで。
まあ、奥は深いのだが、これだけ知ってるだけでもしばらくは困らない。さあ、立場の弱い友達の所へ行って知ったかぶりをするのだ！（笑
ま、この程度のものは黙ってた方が恥かかなくて済むかとも思うのだが、・・・判断はお任せしよう。
波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。取り敢えず、こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである。
(引用終り)
以上 >>474
その指摘はかなり正しい
EMANさんは、物理屋だからね
でもね、完備とかヒルベルト空間で、「わからん」と立ち止まらずに進むことも大事だと
立ち止まらずに進まないと、分らないことも多い
進めば、分ってくることも多い
そして、また、分らないところへ戻って、そこから理解を深めて行く
そういうやり方が正しいと思うよ >>468 補足
>「ｈ：無限次元ベクトル空間R^N→N’(決定番号の集合）」で、x,y∈N’で、P（x>y）=1/2 がきちんと計量を定義して言えるのか？
ここを細分すると
R^N：無限次元ベクトル空間 s∈R^N s=(s1,s2,s3,・・・）
↓
R^N/～（商射影の切断）（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%95%86%E5%86%99%E5%83%8F 商写像 ）
↓
代表r=r(s) r=(r1,r2,r3,・・・）
↓
N’：決定番号の集合 d∈N’ d=d(s)
↓
N：自然数の集合
となる
（補足）
・しばしば、我々は無意識に、決定番号の集合N’と自然数の集合Nとを同一視してしまう
・だが、決定番号の集合N’は、問題の数列ｓと代表r=r(s)との関係で、多く（非可算無限）の重複を含む集合になっている
（例：決定番号２なら、s=(s1,s2,s3,・・・）とr=(r1,r2,r3,・・・）とで、s2=r2,s3=r3,・・・ の関係があり、s1≠r1だが、この同値類内の決定番号２の元は、R^1の自由度がある。
同様に、決定番号３なら、R^2の自由度。決定番号ｎなら、R^(n-1)の自由度。）
・可算無限長の数列を簡単のために２列で考えると、２列の決定番号の大小比較は自然数の集合Nのレベルで行うが、その背景に決定番号の集合N’があるから、大小の確率を考えるときは、本来、決定番号の集合N’をベースに考える必要がある
・ところで、以前の議論でもあったように、有限な自然数の部分集合（1,2,3,・・・,m）で、あるx（1<= x <=m）を考えると、x <= m/2 （平均以下）である確率は、ｍが十分大きければ1/2だろう
・しかし、ｍ→∞（つまり集合が自然数の集合Nになる）では同じ議論はできない
・そして、考えるベースが、決定番号の集合N’であれば、なおさら、単純に確率1/2とは言えない。ここらが手品のタネだろう
以上 >>477 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
完備性
(抜粋)
数学における完備性（かんびせい、英: completeness）は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備（かんび、英: complete）でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。
・実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
・完備距離空間: 距離空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシー列が収束するときにいう。
・完備一様空間（英語版）: 一様空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシーネット（コーシー有向点族）が収束するときに言う。あるいは同じことだが、その空間内の任意のコーシーフィルターが収束するときに言う。
・完備測度空間: 測度空間が完備であるとは、その任意の零集合が可測であるときにいう。
・環の完備化: 可換代数学において（イデアルの冪によって定義される位相を考えるとき）イデアルによる可換環の完備化の概念が定義される。
・より一般に、任意の位相群を開部分群の減少列において完備化することができる。
・完備統計量（英語版）: 統計学において統計量が完備であるとは、期待値が0となる不偏評価子が許されないことを言う
・完備圏（英語版）: 圏論において圏 C が完備であるとは、小さい圏から C への任意の図式が極限を持つときに言う。双対的に、そのような図式が余極限を持つとき余完備（英語版）であるという
・順序集合論やそれに関連する束論や領域理論のような分野でいう完備性（英語版）は、一般にある種の順序集合における上限や下限の存在に言及するものである。この意味での完備性を持つ概念として完備ブール代数（英語版）、完備束、完備半順序集合 (cpo) などは著しい。
・完備代数多様体（英語版）: 代数幾何学において代数多様体が完備であるとは、それがある種のコンパクト性に類似の性質を満足することを言う。
(引用終り) ＞・順序集合論やそれに関連する束論や領域理論のような分野でいう完備性（英語版）は、一般にある種の順序集合における上限や下限の存在に言及するものである。
＞この意味での完備性を持つ概念として完備ブール代数（英語版）、完備束、完備半順序集合 (cpo) などは著しい。
おお、これ、知りたい
今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム おっちゃんです。
高校時代に当時の女子高生達がよく用いていたチョベリバーの意味が分からなかったか。 >>437
英語圏では、時枝記事の前から、取り上げられているので、過去ログから下記リンクを貼っておく
（>>435”数セミの出版社の日本評論社に迷惑をかける”とか”苦情を出す”とかじゃなく、むしろ日本でもきちんと公開で議論して纏めておくべき。ほんと、だれか卒研で纏めてくれると、ひとつの決着がついてありがたいけどね～（＾＾ ）
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/509-514
509 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:56.13 ID:q7Skbg74 から
１）
http://blog.computationalcomplexity.org/2016/07/solution-to-alice-bob-box-problem.html
Solution to the Alice-Bob-Box problem. July 18, 2016 Posted by GASARCH Computational Complexity
(抜粋)
Peter Winkler told me this problem at the Joel Spencer 70th Bday conference. He got it from Sergui Hart who does not claim to be the inventor of it.
（抜粋おわり）
つづく >>483 つづき
２）
http://math.stackexchange.com/questions/371184/predicting-real-numbers
Predicting Real Numbers edited May 15 '13 Jared Mathematics Stack Exchange
(抜粋)
Here is an astounding riddle that at first seems impossible to solve. I'm certain the axiom of choice is required in any solution, and I have an outline of one possible solution, but would like to see how others might think about it.
３）
100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number. For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number.
In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers.
(引用終り)
つづく >>484 つづき
４）
http://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis
(抜粋)
The question is about a modification of the following riddle (you can think about it before reading the answer if you like riddles, but that's not the point of my question):
The Riddle: We assume there is an infinite sequence of boxes, numbered 0,1,2,…
. Each box contains a real number. No hypothesis is made on how the real numbers are chosen.
You are a team of 100 mathematicians, and the challenge is the following: each mathematician can open as many boxes as he wants, even infinitely many, but then he has to guess the content of a box he has not opened.
(引用終り)
つづく >>485 つづき
５）
http://mathoverflow.net/questions/152787/can-an-infinite-number-of-mathematicians-guess-the-number-in-a-box-with-only-one
Can an infinite number of mathematicians guess the number in a box with only one error? - MathOverflow edited Dec 26 '13 user44653
(抜粋)
In this question＊） the following observation was made:
＊）上記 Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis mathoverflow にリンクされている
(引用終り)
これは内容的には無視していいかもしれんが、mathoverflowより時期が早いよね
http://brainden.com/forum/topic/16510-100-mathematicians-100-rooms-and-a-sequence-of-real-numbers/
100 mathematicians, 100 rooms, and a sequence of real numbers Asked by Jrthedawg, July 22, 2013 New Logic/Math Puzzles - BrainDen.com - Brain Teasers
(抜粋)
Question
I am a collector of math and logic puzzles, and this must be the best I've ever seen.
100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number.
For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number. In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers.
(引用終り)
以上 >>481
何ヶ月か前、分割とか母関数とかについての整数論のようなことしていなかったけ。 >>481
C++さん、どうも。スレ主です。
>おお、これ、知りたい
>今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム
それ、wikipedia のリンク https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7 を開いてみな
英文のリンクついているだろ
それを開くと、参考文献とかあったり、また、英文のキーワードが分ると、英文検索ができる
それで、英文 wikipediaから、左のリンクの”日本語”をクリックして、和文も読めるという仕掛けなんだ（＾＾ >>488
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>スレ主君、チョット類体論のコピペも頼むよ。
類体論の何を知りたいのかね？
多分、”類体論”だけで検索かけると、100万以上出るから、適切なコピペできないと思うよ（＾＾ >>488
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>何ヶ月か前、分割とか母関数とかについての整数論のようなことしていなかったけ。
有ったね。
あれ、BLACKX ◆jPpg5.obl6さん（下記LOTO7スレの人）が、確率について質問してきたので、母関数の英文資料のＵＲＬを紹介してやったよ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1451195025/
数学的にLOTO7 >>490
佐藤・テイト予想や非可換類体論の方。
あと、従来の類体論のマトモなテキスト(特に和書)を殆ど知らないから、それも。
現代数学への入門シリーズや現代数学の基礎の数論Ⅰ、Ⅱ以外に何かあるのかな～と思ってね。
ノイキルイヒは分厚いしね。 >>480>>482
>高校時代に当時の女子高生達がよく用いていたチョベリバーの意味が分からなかったか。
それ、女子高生から自分に向けて使われていて、意味わからんかったと～（＾＾
すごく、もてたんだろうね～（＾＾
まあ、おっちゃん、時枝は、数学セミナーの原文見ないと無理だよ～
原文ダメなら、まだ>>483-486の英文と、
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf? （>>437）を読む方がましだろう >>490
>>492の訂正：
数論Ⅰ、Ⅱ→ 数論1、2 >>492
>従来の類体論のマトモなテキスト(特に和書)
足立先生の本があったと思った。書棚の肥やしになっとる気がするが（＾＾
https://www.amazon.co.jp/dp/4535601259
類体論講義 (日評数学選書) 単行本 ? 1998/9/1
足立 恒雄 (著),? 三宅 克哉 (著)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
ido
5つ星のうち3.02冊に分けて出版してほしかった本
2015年7月29日
形式: 単行本|Amazonで購入
前半206ページは局所類体論の導入が目標です：
1 代数体の基礎理論
2 局所体の基礎理論
3 イデアルによる類体論
4 イデールによる類体論
5 類体論の証明
6 局所類体論
7 類体論の応用
付録A 代数的予備知識
必要なら[現代代数学](van der Werden)、[可換体論](永田)を参照しながら読むようにとの指示がされています
後半88ページは類体論の歴史に沿った解説です：
1 前史 平方剰余?L関数
2 類体論の源流 クロネッカー
3 "類体"の原型：ウェーバー、ヒルベルト、フルトヴェングラー
4 高木?アルティンの類体論
5 ハッセの原理、イデールの導入と定着
以上の前半部と後半部とが合本になっているメリットは特に見つけられないように思われます。別々の本として出版されていれば、特に2冊目のテキストとして学ぼうとする方にはつごうがよかったのではないでしょうか
今回は古書でゲットしましたが、前に読んでいた方も、前半部だけ読み込んでおられたのに後半は全く手つかずで手放されたようすでした
(引用終り) >>493
チョベリバーは当時の女子高生達がよく用いられていた言葉だよ。
超ベリー・バッド(最低、最悪の意味)で、今の若者言葉と比較すると、ずっと単純な流行語。
テレビでも聞いた覚えがある。
時枝についてはもういい。 >>493
>>496の一番上の行について：
女子高生達がよく用いられていた言葉 → 女子高生達がよく用いていた言葉
あと、>>492の訂正：
ノイキルイヒ → ノイキルヒ >>495 追加
https://www.amazon.co.jp/dp/4535786437
類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 単行本 ? 2010/2/1
足立 恒雄 (著)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
まげ店長
5つ星のうち5.0どうして色んな説明の仕方があるのでしょうか...
2014年4月25日
形式: 単行本
この本を買った頃は、整数論もきちんと始めていない時代だったので（今も独学ですが）「類体論」の
事は何も分からずにただ単に高木貞治の学問分野だというとても不純な動機だったような気もします。
群論をやりながら、ある日ふと手に取ったのは「高木貞治 類体論への旅 (双書―大数学者の数学)」でした。
旅という癖に相当に難儀な本で、特にイデアルの所で完全に行き詰まってしまいました...
群論の本とか読んでも、イデアルの説明はとても抽象的でちっとも分からないんです。
特に2次体の説明を探し回りましたがこれは「数論入門―証明を理解しながら学べる (ブルーバックス)」
の最終章でカバーされてました。しかし肝心のイデアルの説明は無し。
もう少し総括的で分かりやすい本は無いかと、ふと書庫に置いてあった本書を手にとってみると
不思議な程に分かりやすい本ですね... 特にイデアルの説明には痺れました。
（素イデアルと極大イデアルのところは秀逸です）
完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。
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(引用終り)
追記
余談だが、”完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。”みたいな読み方は、止めた方が良い
一月以内（できれば１週間くらい）に、ざっと読んで、あと、読む価値のある名著と思えば、繰り返し読むとかの方が良いだろう
（実際、「あと何年かかるか分かりません」的読み方では、学生なら卒業できないし、院生なら論文書けない） >>498
>読む価値のある名著と思えば、繰り返し読むとかの方が良いだろう
”ディリクレは、D. A. を常に携帯していたという[6]。”
プロ数学者でも、そういう例はある
まあ、１回だけでは汲み尽くせない
名著は何度も読むべしかな
https://ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae
Disquisitiones Arithmeticae
(抜粋)
ディリクレは、D. A. を常に携帯していたという[6]。
ガウスは D. A. に多くの付記を残し、彼自身のさらなる研究の一助とした。同世代の者には謎めいているものもあったが、一部は例えば、今日ではL関数や虚数乗法と呼ばれるものの萌芽であったと解釈される。
D. A. の内容は、20世紀以降の数学研究においても新鮮さを失っていない。例えば、第5章第303条は虚二次体の類数の具体的な計算についての要約である。
ガウスは、任意の正整数 n に対して類数が n である虚二次体は有限個しか存在しないであろうと予想し、類数の小さな虚二次体は全て決定したと信じた。
この予想は、1934年にハンス・ハイルブロン（英語版）が解決した[7]。類数1の虚二次体を全て決定する問題は、1966年のアラン・ベイカーと1967年のハロルド・ミード・スターク（英語版）によって独立に解かれた[8]。2004年までに、類数が100以下の虚二次体は全て決定されている[9]。
また、第7章第358条は、有限体上の楕円曲線の点の個数に関する、ハッセの定理の評価が非自明に成り立つ（歴史的に）最初の例を与えている[10]。この定理は、ヘルムート・ハッセが1933年に証明し、アンドレ・ヴェイユらによって一般化されるが、適切に言い換えることによって、リーマン予想の類似と見なせることが知られている[11]。
(引用終り) >>499
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さんでした（＾＾ >>492
佐藤・テイト予想か。何年か前に、数学セミナーに解決されたという記事が載ったと思ったな・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E3%83%BB%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%88%E4%BA%88%E6%83%B3
佐藤・テイト予想
(抜粋)
佐藤・テイト予想(Sato?Tate conjecture)とは、楕円曲線 E と素数 p にたいして定まるある実数 θp の分布に関する予想である。もう少し正確には、有理数体上定義された楕円曲線 E を一つ固定したとき、各素数 p での還元 Ep は有限体 Fp 上の楕円曲線となるが、その楕円曲線 Ep の点の数が p を動かしたときある決まった分布になるというものである。
目次 [非表示]
1 予想の記述
2 証明と主張の進展
3 一般化
4 より詳細な問題
5 脚注
6 参考文献
7 外部リンク
つづく >>502 つづき
証明と主張の進展[編集]
2006年3月18日、ハーバード大学のリチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ローラン・クローゼル（英語版）(Laurent Clozel)やミカエル・ハリス（英語版）(Michael Harris)やニコラス・シェパード-バロン（英語版）(Nicholas Shepherd-Barron)との共同研究の結果として、
ある条件を満たす総実体上の楕円曲線の佐藤・テイト予想の証明の最終段階を、彼のウェブページに掲載した。[4]
それ以来、3つの論文のうち 2つが出版されている。[5] さらに、結果はアーサー・セルバーグの跡公式（英語版）(Arthur?Selberg trace formula)の形を改善する条件となっている。
ハリスは、そのような予想されている跡公式から従う 2つの楕円曲線（同種ではない）の積から得られる結果の条件付き証明（英語版）(conditional proof)を得ている。[6]
2008年7月8日現在、リチャード・テイラーは、彼のウェブサイトへ論文（トーマス・バーネット-ラム（英語版）(Thomas Barnet-Lamb)、ダヴィッド・ゲラティ（英語版）(David Geraghty)とミカエル・ハリスの共著）を掲載していて、
そこではウェイトが 2 に等しいかまたは大きな任意の非CM正則モジュライ形式についての佐藤・テイト予想へ一般化されたヴァージョンを、直前の論文の本質的にはモジュラ性の結果を改善することで証明したと主張している。[7]
彼らはまた、跡公式に関係するいくつかの問題がミカエル・ハリスの「ブックプロジェクト」[8] と、Sug Woo Shin との共同研究により解決したと主張している。[9][10]
つづく >>503 つづき
一般化[編集]
エタール・コホモロジー上のガロア表現に含まれるガロア群のフロベニウス元の分布が、一般化と考えられる。特に、種数が n > 1 の曲線についての予想がある。
ニック・カッツ（英語版）(Nick Katz)とピーター・サルナック(Peter Sarnak)により開発されたランダム行列モデル[11] では、フロベニウス元の（ユニタリ化された）特性方程式と、コンパクトリー群(compact Lie group) USp(2n) = Sp(n) 上のリー群の共役類との間に対応関係を示した。
従って、USp(2n) 上のハール測度は分布を与えると予想され、古典的な場合は USp(2) = SU(2) である。
より詳細な問題[編集]
さらに精密な予想として、1976年のサージ・ラング(Serge Lang)とハイル・トロッター（ドイツ語版）(Hale Trotter)によるラング・トロッター予想(Lang?Trotter conjecture)は、公式の中に現れるフロベニウス元のトレースである値 ap が、素数 p に対し決まると、漸近的な数が存在すると言う予想である。[12]
典型的な例（虚数乗法を持たず、かつ trace ≠ 0）では、X についての p に対する数値は、ある特別の定数 c が存在して、漸近的に
{\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ } {\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }
に近づく。ニール・コブリッツ（英語版）(Neal Koblitz)は、1988年、楕円曲線暗号に動機をもって、素数 q の場合の、Ep 上の点の数についての詳細な予想を提示した。[13]
ラング・トロッター予想は、原始根についてのアルティンの予想（英語版）(Artin's conjecture on primitive roots)の類似であり、1977年に提唱された。
(引用終り) >>
>佐藤・テイト予想か。何年か前に、数学セミナーに解決されたという記事が載ったと思ったな・・
数学のたのしみ 2008最終号が先だったかな？（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/3350.html
数学のたのしみ 2008最終号 日本評論社 発刊年月 2008.06
フォーラム＝佐藤-テイト予想の解決と展望
上野 健爾 砂田 利一 新井 仁之 編集
内容紹介
1962年に佐藤幹夫により提出された予想が最近Ｒ・テイラー達により解決された。著名な問題の全体像と展望をめぐる総力特集。
目次
フォーラム：現代数学のひろがり 佐藤-テイト予想の解決と展望
佐藤-テイト予想の歴史／黒川信重
楕円曲線入門／伊藤哲史
ゼータ関数入門／黒川信重
類体論入門／吉田輝義
保型形式入門／加藤和也
ラングランズ対応と志村多様体／吉田輝義
佐藤-テイト予想の証明の方針／伊藤哲史
ガロア表現の変形理論とヘッケ環／伊藤哲史
ガロア表現の整合系とその保型性／吉田輝義
相互法則と密度定理／リチャード・テイラー
数学まなびはじめ／時枝 正
高校生のための数学セミナー／砂田利一
名著発掘／Dunford & Schwartz《Linear Operators》／増田久弥
連載
日本の数学の流れ(9)／上野健爾
数学つれづれ草／上野健爾
村の広場の午後／安野光雅
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5110.html
数学セミナー 日本評論社 2009.09
[速報] 佐藤-テイト予想，ついに完全解決か？！ 伊藤哲史 34
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5214.html
数学セミナー 日本評論社 2010.2
数セミブック・プラザ
『フェルマーの最終定定理・佐藤-テイト予想解決への道』／谷口隆 85 >>505 補足
>相互法則と密度定理／リチャード・テイラー
テイラー先生が寄稿していたのか？（＾＾
>高校生のための数学セミナー／砂田利一
おっちゃんの言う通りやな、高校生も数セミよめと、砂田利一先生・・（＾＾ >>505 つづき
https://www.iwanami.co.jp/book/b260913.html
類体論と非可換類体論 岩波
フェルマーの最終定理・佐藤－テイト予想解決への道
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく丁寧に説明する．
著者 加藤 和也 著
シリーズ 類体論と非可換類体論
刊行日 2009/01/29
この本の内容
目次
著者略歴
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく説明する．
さらに非可換類体論の進展がなぜフェルマーの最終定理や佐藤－テイト予想解決に結びつくのかについて，その背景を丁寧に解説する．類体論から非可換類体論へと大きく転換しようとしている現代整数論の生きた姿を概観できる．
■編集部からのメッセージ
編集という仕事に携わって，二十年以上になりますが，中でも第一級といえる作品です．むろん，著者は作家ではありませんし，流麗な文章を書かれたというわけではありません．しかしながら，著者の素数に対する想い，そして素数のもつ奥深い意味，またその不思議さをなんとか，誰かにわかってもらいたいという気持ちがひしひしと伝わってきます．
幸運にも，前著『数論１』も担当させていただきました．そこでも，著者は従来の岩波講座らしからぬ解説をされ，整数論の紹介に巧みな工夫をされました．本書は，それをはるかに凌駕します．
前著は「フェルマーの最終定理」が解決されたことに触発されての解説であったのに対し，本書は，それを上回る「佐藤-テイト予想」が解決されたことで，よりはっきりと，素数とは何か，整数論の未来はどうなるのかが，著者には見えたからではないかと想像しています．
著者自ら，「類体論と非可換類体論」は《整数論の華》であると主張します．それを象徴するのが，フェルマーの最終定理および佐藤-テイト予想の解決だといいます．そのあたりをゆっくりと自分で計算しながら，味わいつつ読み進めていける本書は素晴らしい本であると確信します．
ただひとつお断りしなければならないのは，本書は全４巻シリーズですが，作品の性格上，続巻はすぐには出版できません．著者には鋭意準備していただいていますが，第２巻は，半年くらいはお待ちくださるようお願い申し上げます． ＞高校生も数セミよめと
と、教科書を読まないスレ主が申しております >>505 補足
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/msj200903_slide （注＊＊
楕円曲線と保型形式, 佐藤‐テイト予想，直角三角形の面積とバーチ‐スイナートン＝ダイヤー予想 伊藤哲史 2009
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/msj200903_abstract.pdf （注＊
佐藤‐テイト予想の解決と展望 ? 非可換類体論の進展 伊藤哲史 2009
（上と同じだが、念のため http://mathsoc.jp/meeting/kikaku/2009haru/2009_haru_ito.pdf 佐藤‐テイト予想の解決と展望 ? 非可換類体論の進展 伊藤哲史 2009 ）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/workshopj.html
研究集会について 伊藤哲史 京都大学数学教室
2009年3月26日(木) : 東大駒場キャンパスで行われる日本数学会(年会)で企画特別講演「佐藤‐テイト予想の解決と展望」をすることになりました(終了しました)．
講演のアブストラクトはここ(PDFファイル, 日本語, 15ページ)， （注＊：上記ＵＲＬ）
講演に使ったスライド資料はここ(PDFファイル, 日本語, 38ページ)です． （注＊＊：上記ＵＲＬ）
詳しくは日本数学会2009年3月年会のホームページおよび日本数学会のホームページをご覧ください．(追記 : 後日，講演のビデオ映像が日本数学会のホームページから見られるようになるそうです．)
つづく >>509 つづき
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/lecture/indexj.html
講義のページ 伊藤哲史 京都大学数学教室
2009年度の授業
前半（伊藤担当分）のレジュメ：楕円曲線の数論幾何
三次式で定義された曲線を楕円曲線という．楕円曲線は，一次式で定義された直線， 二次式で定義された円・楕円・放物線・双曲線よりもほんの少しだけ複雑な対象だが， その単純な定義からは想像できないほど豊かな性質を持っている．
未解決の問題も多い． この講義では，予備知識を仮定せず， 具体的な計算を通して楕円曲線のさまざまな整数論的性質を論じる． また，保型形式，ガロア表現，佐藤‐テイト予想などの現代数学の深い理論とどのように つながっているかについても紹介したいと思う．
配布物
・4月27日配布プリント(PDF) : 楕円曲線の有理点は(見かけ以上に)難しい，階数28以上の楕円曲線
・6月8日配布プリント(PDF) : 楕円曲線上の離散対数問題，10万ドルの懸賞問題(ECCp-359)
・6月15日配布プリント(PDF) : 楕円曲線と保型形式, 佐藤‐テイト予想，直角三角形の面積とバーチ‐スイナートン＝ダイヤー予想
・レポート問題(6月8日配布) (PDF) : 提出先：数学教室事務室(理学部3号館1階)，締め切り：7月13日(月), 17:00 （この講義の単位を取得するためには，宍倉先生のレポート問題にも解答する必要があるので注意すること．）
以上 >>510 補足
配布プリント(PDF) のリンクは省略した
興味があるなら自分で頼む（＾＾ >>508
あんたは・・・、「読まない」じゃなく・・・、「読めない」・・・だろ？（＾＾ >>492
非可換類体論は、また範囲広すぎだろうな・・（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96
非可換類体論
(抜粋)
数学において、非可換類体論（ひかかんるいたいろん、英: non-abelian class field theory）は、類体論の結果、任意の代数体 K のアーベル拡大についての比較的完全で古典的な一連の結果の、一般のガロワ拡大 L/K への拡張を意味するキャッチフレーズである。
類体論は1930年頃には本質的には知られるところとなったが、対応する非可換な理論は確定的で一般的に受け入れられた定式化には未だに至っていない[1]。
つづく >>513 つづき
歴史[編集]
群コホモロジーのことばで類体論を表すことは、主に1940年代に、クロード・シュヴァレー (Claude Chevalley) やエミール・アルティン (Emil Artin)、他の数学者により進められ、イデール類群の群コホモロジーを用いた中心的な結果の定式化に至った。
コホモロジー的アプローチによる定理は、L/K のガロア群 G が可換か否かに依存しない。しかしこの理論は、求められている非可換の理論とは決して見なされていない。
このことの第一の理由は、コホモロジーの理論がガロワ拡大における素イデアルの分解に関して新たな情報をもたらさなかったことである。非可換類体論の目標を説明する一般的な方法は、そのような分解の法則を述べるより明示的な方法を提供するべきであるということである[2]。
したがって、コホモロジー的アプローチは、非可換類体論の定式化においてさえ、あまり役に立たない。歴史的には、ディリクレ級数を使わずに、言い換えると L 関数を使わずに、類体論の証明を書き下すというシュヴァレーの望みがあった。
類体論の主要定理の最初の証明は、2つの「不等式」を要素として構成された（ガロア理論の基本定理の今では与えられた証明と同じ構造であるが、はるかに複雑である）。2つの不等式のうちの1つが、L 関数を用いる議論を含んでいた[3]。
後に、この発展とは逆に、アルティンの相互法則を非可換な場合へ拡張するためには、アルティンの L 関数を表現する新しい方法を探し求めることが実は本質的であるということが認識された。
この大きな志を持つ現在の定式化は、ラングランズ・プログラムによる。その基礎にあるのは、アルティンの L 関数は保型形式の L 関数でもあるという信念である[4]。21世紀初頭の時点では、これが最も広く専門家に受け入れられている非可換類体論の概念の定式化である[5]。
(引用終り)
以上 とりあえずは、こんなところで、お茶を濁しておくよ（＾＾ >>515
ああ、確かに、中身はそれほど熱心に読んで無いが・・・
コピペするときに、一応ざっとは読んで、核心部分をコピペしているんだ
なので、https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>145）のときも、
”この定理は、いままで読んだ「Ruler Function」の話と合わない”ということだけは、すぐ分ったよ（＾＾ >>517
>”この定理は、いままで読んだ「Ruler Function」の話と合わない”ということだけは、すぐ分ったよ（＾＾
ほぼ関係ないので
合わないというのは誤解です
ちゃんと証明を読みましょう >>519
証明成り立ってないでしょ？
それは、>>366-370に書いた通りで
「定理1.7 (422 に書いた定理)」は、有理数Ｑのように補集合R－Bf がＲ中に稠密分散しているときは、守備範囲外
つまり、有理数Ｑのように補集合R－Bf がＲ中に稠密分散しているときは、リプシッツ連続であるような開区間（a, b）は取れない（>>368）
だから、系1.8に対して、「定理1.7 (422 に書いた定理)」を使って、矛盾を導くことはできない
証明は、これからじっくり読む予定です >>481
>今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム
C++さん、どうも。スレ主です。
これどういう意味かな？
公開して良い範囲で、説明してもらえると、ありがたい（＾＾ >>522 追加
下記などで、全部ソートしておいて、比較するってことじゃ足りないということ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%83%88
ソート
目次 [非表示]
1 概要
2 ソートアルゴリズムの分類
2.1 安定ソート
2.2 内部ソートと外部ソート
2.3 比較ソート
2.4 計算量
2.5 手法
2.6 再帰
3 ソートアルゴリズムの一覧
4 比較ソートの理論限界
5 メモリ使用パターンとインデックスソート
6 脚注・出典
7 参考文献
8 関連項目
9 外部リンク
9.1 ソートアルゴリズムの視覚化 >>520
長文は、ほぼ引用コピペだから、それを読むより、ＵＲＬを開いて読む方がいいだろう
こちらとしては、引用コピペをしておくと、google検索が使えて便利なんだ >>521
>証明成り立ってないでしょ？
成り立っていますよ
BfがB_N,Mで被覆されますので
あるB_N,Mの中に開区間が存在し
その区間内でリプシッツ連続になります リプシッツ連続な開区間の存在に関しては
Bfにこだわる必要も理由もありませんよ >>524
「証明」とかいういたずら書き込みのことね >>527
"「証明」とかいういたずら書き込み"？？ 人違いですよ
私は、こんな不便なバカ板に書かれたアスキーベースの証明は読まない主義です（>>5の通り）
もちろん、自分自身も基本は書きません！
どうしてもと言われて、過去２回ほど書きましたが、ここ２年ほどはありません
但し、数学的説明はします
が、できるだけ、外部のURLを引いて、”アスキーベースでないまっとうな数学記号の文”（PDFの場合もあり）を参照できるようにしています（そこからのコピペをアスキーに落とすことが多いです）
繰り返しますが、どなたかと人違いですよ～（＾＾ >>525-526
（>>180より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
ここで、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」は、
Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在を主張していると読みましたが？
これ、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続って主張ですか？ >>529 追加
元ＰＤＦを見て貰った方が話は早い
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>145より）
で、（元ＰＤＦを見ている前提で）
（>>525より）「BfがB_N,Mで被覆されますので
あるB_N,Mの中に開区間が存在し
その区間内でリプシッツ連続になります」
と仰るが、B_N,Mは、定理1.7の証明中に出現するだけで、定理1.7の命題以前には出てきませんね
もし、定理1.7の主張で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」が、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続という主張なら、
被覆側のB_N,Mについての定義は、定理1.7の命題中、又は、その前に置かれるべきだ
また、定理1.7も
「・・・、 f は”B_N,Mの中の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」とでも書くべきでしょう
（”B_N,Mの中の”→”∪N ,M>=1BN,M の中の”と「∪N ,M>=1BN,M 」を使うべきかもしれませんが
（>>181より ”Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つ”ってことですからね ））
だから、定理1.7は、”Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在”を主張しているってことですね
ところが、仰るように（>>525）「あるB_N,Mの中に開区間が存在しその区間内でリプシッツ連続になります」ということしか証明していないと読みました
なので、定理の主張と証明とが、不一致と思います ＞証明は、これからじっくり読む予定です
証明は読まない主義と豪語するスレ主さんは何故か教科書も読まないのでした ＞但し、数学的説明はします
εδ（大学一年一学期）すら理解できないお前が何を説明するって？ >>530
>と仰るが、B_N,Mは、定理1.7の証明中に出現するだけで、定理1.7の命題以前には出てきませんね
>もし、定理1.7の主張で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」が、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続という主張なら、
>被覆側のB_N,Mについての定義は、定理1.7の命題中、又は、その前に置かれるべきだ
？
そうすべきという理由になりません
全然 あるいは
あなたが読みやすいように彼の証明を
変形することは出来るでしょうよ
まずは証明より回することから始めましょう >>534-535
意味が分らない
普通、数学では、証明の前に、定理の主張を明確にすべき
明確にするためには、定理に使われる用語は、すべて定義されているべき
なので、
（>>529より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」の意味は、
「Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在を主張している」としか読み得ない
（∵定理の命題中で、R中にBfとその補集合R－Bfしか定理1.7では定義されていないし、R－Bf内に開区間など存在しようがないですから）
ここは良いですか？ >>489 補足
C++さん、どうも。スレ主です。
>おお、これ、知りたい
>今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム
何を知りたいのか、細かい点が分らないが
関連のリンクなどを読んで、分らない点があれば書いてみて
一緒に考えましょう～！（＾＾ >>536
>ここは良いですか？
まず
特定のfに関して証明をしているわけではありません
それから
証明の要はBfの補集合とB_N,MですBf自体ではありません
それは証明を読めばすぐに分かることですよ >>538
お言葉なれど
数学の原理原則を言っているんだけど？
普通、数学では、証明の前に、定理の主張を明確にすべき
明確にするためには、定理に使われる用語は、すべて定義されているべき（>>536） >>539
お言葉なれど
>特定のfに関して証明をしているわけではありません
当然でしょ
その定理の命題に定義されている、すべてのｆについての証明だ
そして、その定理の命題に定義されている、あるｆで、「ある開区間の上でリプシッツ連続である．」が言えない、
つまりRの全てに渡って、そのような開区間が取れないｆが存在すれば、それは反例になるよ >>540 補足
数学の原理原則として、当たり前だが・・
正しい定理は、その証明とは切り離されて、定理だけが引用されてしかるべき。また、そういう例はいたるところある
だから、定理の主張するところは、明確になっていなければならない
定理の証明で使われた”B_N,M”なるものが、さかのぼって定理の命題に含意されるとするならば、それは定理の命題としてきちんと述べておくべきことだろう >>539
これを踏まえて
（>>529より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
ここで、”f : R → R ”の定義域は、当然R
R－Bfは、Bfの補集合だから、”={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”であってはいけない
即ち
R－Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜＝ +∞ }であるべき
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”の、「リプシッツ連続なるある開区間」が存在しうるとすれば、Bf内にしかありえない
（∵R－Bfは、リプシッツ連続を満たさない集合であることは明白だから） ムーミンは、トロールなんだよね（＾＾
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO25694760V10C18A1CC1000/
ムーミン舞台のセンター試験設問に疑問 阪大研究室 日経 2018/1/15 18:26 (2018/1/15 19:03更新)
(抜粋)
大学入試センター試験の地理Ｂで人気キャラクターのムーミンを取り上げた問題について、大阪大大学院のスウェーデン語研究室は15日、ムーミン谷がどこにあるかは原作に明示されていないとして「舞台がフィンランドとは断定できない」との見解を明らかにした。正解とされたフィンランドの在日大使館は「皆さんの心の中にある」としている。
ムーミンも登場したセンター試験の地理Ｂの問題
試験問題では「ノルウェーとフィンランドを舞台にしたアニメーション」としてムーミンと「小さなバイキングビッケ」を挙げ、例示した両国の言語との正しい組み合わせを選ぶよう求めた。
古谷大輔准教授（北欧史）は「スウェーデン語系フィンランド人作家がスウェーデン語で書いた一連の物語の舞台は、架空の場所のムーミン谷とされる。フィンランドが舞台だと明示されていない」と指摘。「ビッケもノルウェーが舞台とは断言できない」とし、研究室として、舞台の国を特定した根拠の説明を求める意見書を近く同センターに提出する。
古谷准教授は「センター試験の社会的信用を維持するためにも根拠を示してほしい」と話す。
同センターの担当者は取材に「意見書の内容を見て対応を検討する」としている。在日フィンランド大使館の広報担当者は「ムーミンが注目されることはうれしい。ムーミン谷は物語を愛する皆さんの心の中にある」とコメント。在日スウェーデン大使館の広報担当者は「北欧が取り上げられ、旅行先として周知されるのは喜ばしい」としている。〔共同〕
(引用終わり)
つづく >>544 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%9F%E3%83%B3
ムーミン
(抜粋)
ムーミン（典: Mumin、芬: Muumi、英: Moomin）は、フィンランドの作家トーベ・ヤンソンの『ムーミン・シリーズ』と呼ばれる一連の小説と絵本、
および末弟ラルス・ヤンソンと共に描いた(次弟のペル・ウーロフ・ヤンソンもトーベと写真絵本を製作している。)『ムーミン漫画(コミックス)』作品の総称、あるいはそれらとそれらを原作とする二次著作作品の総称。
または、同作品に登場する架空の生物の種族名であり、同時に主人公(主要な登場生物)の名前でもある「ムーミントロール」の略称あるいは愛称。
概要
設定
トロールは北欧の民間伝承に登場する、広い意味での妖精の一種である。地域や時代によって巨人だったり小人だったりさまざまなバリエーションがあるが、
人間によく似ていながら耳や鼻が大きく醜い外見を持つというイメージが共通している。
しかしムーミンの物語に登場するトロールは、名前こそ借りているもののこれとは異なる、トーベ・ヤンソンが独自に創造した架空のいきものである。
人型の登場人物も人間ではなく、同様に架空の小人の一種である[1]。
なお、原作中で登場するキャラのうち、『ムーミンパパの思い出』に登場するミムラたちが住む丸い丘の国の王様はミムラやムーミントロールたちよりわざわざ圧倒的に大きく描かれているので人間の可能性がある。
(引用終わり) >>542 補足の補足
・例外的に、定理の命題の理解が、証明を読むことで深まるということはある
・が、しかし、多くの場合、定理の意味するところを、きちんと押さえておくことは、定理の証明を読む上でも、重要だろう
・定理の命題は、証明のゴールでもある。
・ゴールが西にあるのか東にあるのか、それも理解せずに証明を読む
・ただただ、証明に引きずり回され、右にうろうろ左にうろうろして、「はいここがゴールです。QED！」だと
・それで、一体何を理解したことになるのでしょうか？
・読んで、「証明は正しい」と思ったとしましょう。しかし、定理の命題の理解が浅ければ、その定理の活用もできまい
そんなことになっては、本末転倒
証明を読むのは結構だが、定理の命題の意味するところが不明確なら、もう一度本来の命題の吟味に戻るべき
「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>543）の意味するところ
ある開区間が、ｆの定義域の一部のBf内に取れるのか？
はたまた、証明のために作った”B_N,M”なる被覆空間の合併集合の中に止まるのか？
それは、定理の命題の意味や適用を考える上で、天と地ほどの違いを生むと思うのだが・・ Inter-universal geometry と ABC予想 23 スレで、リトルウッドの予想が出てたので検索したら、下記ヒット
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo20/
第20回数学史シンポジウム(2009.10.17?18) 所報 31 2010
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo20/20_3takahashi.pdf
高橋鋼一 「２つの素数の差が偶数である素数の組の個数に関するハーディ・リトルウッドの予想」について
(抜粋)
1 .はじめに
数学教育協議会発行の「数学教議室」(2006年10月号)に、数教協夏の大会で、数教協のメンバーの国見氏と斉藤氏の両氏
が、「任意の正の偶数2kを固定した場合、pと2k+pが両方とも素数となる組が無限にあるのではないか?」という問題提起が
なされ、野崎明弘氏がその事に言及している。その後、野崎氏は「数学セミナー」く素数定理の威力に学ぶ>(2007年11月
号)にもこの問題提起にふれているが、数教協の仲間違では「国見－斉藤の予懇」（注1)と言っている。しかし、「国見－斉藤の
予想」という予想名は、一般的に通用しているわけではない。国見氏と斉藤氏がハーディ・リトルウッドが予想した同じ問題に、
時を隔てて気がついたということにすぎない。数学史上では次のような経過をたどってきた。
(引用終り) >>546 補足
証明にはしばしば誤りがある
プログラミングで言えば、バグだ
アーベルは、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
ガロアも同じく、最初は、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
時代の天才といえどもそんなもの
プログラミングで、バグはつきものだ。証明も同じ
機械（マシーン）ならすぐ気付くバグ
人は、なかなか気付かないものだよ。人間だもの >>547
おっちゃんです。
あのスレでリトルウッドの予想の話をしたのは私だが、コピペしているサイトが滅茶苦茶。
ハーディー・リトルウッド予想とは全然違う。リトルウッドの予想は無理数の有理近似から生じた。
任意の無理数αに対して、q|qα－p|＜1/√5 を満たす有理数 p/q は可算無限個存在する。
そこで、直線R上で実数xに最も近い整数を ||x|| で表す。
そうすると、上の不等式 q|qα－p|＜1/√5 は q||qα||＜1/√5 で表せる。
任意の無理数α、βに対して、liminf_{q→+∞}(q||qα||・||qβ||)＝0 であろうという予想がリトルウッドの予想。
あのスレには、名前の由来が分からんが jin といかいうのがいるんだな。 >>549
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃんの知識は偏っているが、その分野ではえらく博識やね～（＾＾
おっちゃんのいう”リトルウッドの予想は無理数の有理近似 1/√5 で表せる”は、検索ヒットなしだが、
下記に、ヒットした関連情報を貼っておくよ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%AB%E3%82%A6%E3%83%83%E3%83%89%E4%BA%88%E6%83%B3
ハーディ・リトルウッド予想
(抜粋)
加法的整数論に大きな進歩をもたらした1920年代の一連の論文“Some problems of partitio numerorum”（「分割の諸問題」）の中のゴールドバッハの問題を扱った第三論文の付録に15個もの予想が載せられているが、
それらを総称してハーディ・リトルウッド予想と呼ぶ。その一つである双子素数の分布公式もまだ証明されていない。またそれらの分布公式中の特別な定数たちはすべてひっくるめてハーディ・リトルウッド定数と呼ばれることが多い。
彼らはこの予想について発見的な議論といくつかの数値的な証拠しか与えなかったが、現在までに得られている数値的証拠とも非常によく一致している。
この予想は最初は解析的に導かれたものだったが、今では初等的に導くことができるいくつかの発見的議論が知られている。しかし、リーマン予想などの素数分布の他の大予想との関連もまだ十分には明かされていない。
(引用終わり)
つづく >>550 つづき
これは、C++さん向け
https://www.ipsj.or.jp/07editj/promenade/4503.pdf
無理数を近似する分数 - 情報処理学会 田中哲朗(東京大学情報基盤センター) 著 -情報処理誌 ?2004
つづく >>551 つづき
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/2/64_0642131/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/2/64_0642131/_pdf
論説 切断近似をしないボルツマン方程式 森本 芳則, 鵜飼 正二数学 / 64 巻 (2012) 2 号 / 書誌
https://www.jstage.jst.go.jp/article/bjsiam/22/2/22_KJ00008113424/_pdf/-char/en
角切断近似をしな いボルツマ ン方程式 - J-Stage 森本芳則 著 - ?2012
The Boltzmann Equation without Angular Cutoff : The Theory of the Existence and the Regularity of Solutions Yoshinori Morimoto Volume 22 (2012) Issue 2 Pages 142-145
(抜粋)
特異性をもつ衝突積分項については1970年代 のPao ［9］の研究以来t その擬微分作用素的な性質が指摘されてきたが2000 年に入り，C．Villani （2010 年フィールズ賞受賞〉を含む研究者等［1]に
よりその積分作用素としての詳細な性質が明らかになった．
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BB%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%8B
(抜粋)
セドリック・ヴィラニ（Cedric Villani、1973年10月5日 -）はフランスの数学者。専門分野は偏微分方程式、数理物理学。ボルツマン方程式とランダウ減衰に関する研究の成果により、2010年にフィールズ賞を授与された。
(引用終わり)
以上 >>548 補足
>アーベルは、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
>ガロアも同じく、最初は、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
例え誤りでも、こういうレベルの証明をスラと書けるレベルは、この人は、私より実力はるかに上だな（＾＾
しかし、このスレで話題になった以上、誤りは誤りとすべき。まあ、いわゆる是々非々というやつです。
（批判や評論は、野球でも音楽でも同様、自分が出来なくて実力は伴わなくても、可能。数学としては、それで正なのだ ） >>554
C++さん、どうもスレ主です。
コメントありがとう。
そのページは、高木先生の本ですね
えーと、>>550引用の中に
「三論文の付録に15個もの予想が載せられているが、
それらを総称してハーディ・リトルウッド予想と呼ぶ。」
とあるでしょ？
この15個の予想の中のどれかが、一つは高木先生の書かれている（世間で）一番有名なハーディ・リトルウッド予想ですね。
おっちゃんのいうあまり有名でない、
”リトルウッドの予想は無理数の有理近似 1/√5 で表せる”の方は、和文検索ではヒットしないように思えてきました。
おそらく、英文キーワードで適切なものを見つけないと、難しいかなと思います。（＾＾ >>548
＞機械（マシーン）ならすぐ気付くバグ
マシンでバグが見つかるならこれほど楽なことはなく
全くの見当違いな見解本当に有難うございました あと何日何時間何分苦しめば普通に生きさせてもらえるのか
夢の中でも人生が苦しいと言っていた
まず人権はあるのか？ >>556
?
プログラミングやったことないのか？ >>556
>>543 補足
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
端的に、この定理と証明の問題の結論を言えば・・
１．「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」→「f は”Bf内の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」
という表現にすべきだったろう。”Bf内の”は、私には自明だが、証明を書いた人は、
表現がまずく”証明のために作った”B_N,M”なる被覆空間の合併集合”との区別を忘れてしまった。つまり、”B_N,M”と”Bf”とを混同してしまったのだ
２．集合の被覆（>>210ご参照）だから、被覆される集合と被覆する集合の性質とは、基本的には無関係。単に集合の大小関係にすぎない
つまり、「Bf ⊆ ∪B_N,M」以上のことはなにも言えないから、「∪B_N,M」側について何か証明しても、”Bf”には無関係だということに気付いていない
３．”稠密”についての意識が希薄。集合R－Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R－BfもR中に稠密分散している。
ならば、”Bf内”に、”リプシッツ連続である開区間”など取れるはずがない。” ruler function ”を思い浮かべれば、気付くのは容易だったろう
言ってみれば・・、言われて見れば・・、他愛もない話だろ
が、私スレ主は、これに気付くのに、約一月掛った
お恥ずかしい話だ。その道のプロならわずか３分で気付くだろうな（＾＾ >>560 訂正
単に集合の大小関係にすぎない
↓
単に集合の包含関係にすぎない
かな（＾＾ >>560 補足
例えば、下記トマエ関数は、”xが無理数の点でfは連続 xが有理数の点でfは不連続”であるが
どこかに、ｘが連続な開区間が取れるわけではない。（∵開区間内に必ず有理数Qの点が存在し、その点では不連続になるから）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1127539791
関数の連続性 kessyoutouさん yahoo 2009/6/22
(抜粋)
問題が解けません。助けてください。お願いします。
f(x)=0 (xが無理数αの時)
f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時）
とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。
つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。
稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。
できる方!!お願いします。
ベストアンサーに選ばれた回答 hsmtmk_tさん
xが無理数の点でfは連続
xが有理数の点でfは不連続
ですね。
基礎課程の微分積分の授業でしょうか。ε-δの練習問題ですが、
この問題は大学一年生が解くには割と難しい部類に入ると思います。
さて、それでは証明です。
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