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幾何 [無断転載禁止]©2ch.net

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0305哀れな素人
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2021/03/05(金) 08:40:34.36ID:G1ntU4/T
定点A、Bを通り、定円Cと外接する正方形を作図せよ。
但し、Aはその正方形の一頂点であるとし、
円Cは、その正方形と外接可能な位置にあるとする。
0306哀れな素人
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2021/03/12(金) 08:53:23.12ID:8WHXNuT6
定点Aから引いた二接線のなす角が定角αで、
定点Bから引いた二接線のなす角が定角βであるような円の中心の軌跡を求めよ。
0307哀れな素人
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2021/03/22(月) 19:51:12.14ID:/SP71XhR
次のことを証明せよ。

△ABCのAでABに接し、かつ内心Oを通る円が、
BCとその延長と交わる点をD、Eとすると、
OCは∠DOEを二等分する。
0308哀れな素人
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2021/03/30(火) 08:36:22.74ID:XJnV5I6T
春休みなので、中高生向け問題を二問

①大円の中に小円がある。
但し二円は同心円でもなく、接してもいない。
この二円の相似の中心を求めよ。

②平面上に二つの相似な三角形がある。
但し二つの三角形の対応辺は平行ではない。
この二つの三角形の相似の中心を求めよ。
0309１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 20:50:38.68ID:jAHOCp/v
〔例2.4.6〕
辺の長さが a,b,c である三角形において,
　面積⊿ ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

佐藤(訳) 「美しい不等式の世界」 朝倉書店 (2013)　　p.89
0310１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 20:53:38.67ID:jAHOCp/v
(略証)
　⊿ = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2}　　(Heron)
　　= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
　　≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)}　　　　　　(Schur-1)
　　= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

* Schur-1
　F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
　　= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,
0311１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 17:37:16.95ID:Tq6xhZve
〔公式425〕
三角形の内心I、重心G、垂心H、G-Hの中点M、O-Hの中点N とすると

　OI^2 = R(R-2r),　　　(Chapple-Euler)

　MH^2 - MI^2 = (2/3)r(R-2r),

　NI = (1/2)(R-2r),

rは内接円の半径、Rは外接円の半径
等号成立は正△のとき。

[分かスレ４６６- 425, 495, 678, 690]
0312１３２人目の素数さん
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2021/04/11(日) 08:48:44.82ID:sZ6ZL7G1
(下) の略証
三角形の外接円を重心Gのまわりに (-1/2)倍した円は、
各辺の中点など(*)を通り、9点円とよばれる。
9点円の中心N, 半径は R/2.
内接円の中心I, 半径はr.

[定理31]
　三角形の9点円は内接円に接する。(Feuerbachの定理)

∴　NI = (1/2)(R-2r),

(参考書)
清宮俊雄 著「モノグラフ 15.幾何学」矢野健太郎 監修, 科学新興社 (1968/Sep)
　§10.　p.41
　のちに科学新興新社から改訂版が発行された。(1988/Mar)

*) 垂足 (各頂点から対辺に下した垂線の足) と 各頂点と垂心Hの中点を合わせて
　9点を通る。
0313１３２人目の素数さん
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2021/04/11(日) 11:55:35.14ID:sZ6ZL7G1
(参考書)
矢野健太郎 著 「幾何の有名な定理」 数学ワンポイント双書36, 共立出版 (1981/Dec)
　１０ フォイエルバッハの定理　p.103-111

数セミ増刊 「数学100の定理」 日本評論社 (1983/Oct)
「九点円」　p.12-13
0314哀れな素人
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2021/04/16(金) 08:30:46.19ID:FMth9UIk
点Aがあり、その下方に直線gがあり、g上に点Bがある。
gの下方にgと平行な直線hがある。
Aを通る直線がg、hと交わる点をP、Qとするとき、
BP=BQとなるように直線APQを引け。
但し、Ah間の距離はAB間の距離より短いとする。
0315１３２人目の素数さん
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2021/04/21(水) 22:36:40.00ID:C7UgHhOX
群論だったのでは？
0316哀れな素人
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2021/05/06(木) 08:40:14.20ID:j64fMTRC
このスレは群論のスレらしいし、ネタもなくなってきたので、
出題するのはここらでやめようと思うが、最後に少し書いておこう。

>>125の問題は〇〇〇〇〇の定理というらしい。
面白い問題だと思っていたが、まさか名前が付いているとは思わなかった。

>>302の回答について再考してみたが、やはり間違いである。
パスカルの定理は、次の二つの場合で成り立つ。
①対辺の交点で成立。この場合、交点はすべて円外にある。
②パッブスの定理と同様の結び方で成立。この場合、交点はすべて円内にある。
>>302の回答は①と②をごちゃ混ぜにしている。
0317１３２人目の素数さん
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2021/10/02(土) 19:10:37.65ID:gfHy/Z2w
〔問題〕
平面上に2つの円
　(x-1)^2 + y^2 < 1,
　(x+1)^2 + y^2 < 1,
がある。
これらの円をともに内部に含む三角形のうち、
面積が最小のものはどのような三角形か。

[高校数学の質問スレPart414．215]
0318１３２人目の素数さん
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2021/10/02(土) 19:14:33.75ID:gfHy/Z2w
x<0, x>0 を別々に考え、あとで合体してよい。
直角⊿の 直辺a, b　斜辺c とすると 面積S=ab/2.
内接円の半径rは
　r = 2S/(a+b+c)
　≦ 2S/{2(1+√2)√S}　　(*)
　= (√S)/(1+√2),
∴ S ≧ (1+√2)^2 = 3 + 2√2,

*　a + b + c = a + b + √(aa + bb)
　≧ (1+1/√2)(a + b)
　≧ (2+√2)√(ab)
　= 2(1+√2)√S,
等号成立は a=b すなわち 直角二等辺⊿ のとき

[高校数学の質問スレPart414．222]
0319１３２人目の素数さん
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2021/10/02(土) 19:16:27.76ID:gfHy/Z2w
〔類題〕
空間内に2つの球
　(x-1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
　(x+1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
がある。
これらの球をともに内部に含む四面体のうち、
体積が最小のものはどのような四面体か。
0320１３２人目の素数さん
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2021/10/02(土) 19:20:29.07ID:gfHy/Z2w
x軸方向に伸びる傾角aの谷の上に2つの球を並べる。
　z = |y| tan(a) - z1,　　z1 = -1/cos(a),
y方向に伸びる、傾角bの屋根を葺く。
　z = z2 - |x| tan(b),　　z2 = (1+sin(b))/cos(b),

四面体のサイズは
　⊿x = 2(z2-z1)/tan(b)
　⊿y = 2(z2-z1)/tan(a),
　⊿z = (z2-z1),
体積は
　V(a,b) = (1/6)⊿x･⊿y･⊿z = (2/3)(z2-z1)^3 /(tan(a)･tan(b)),

Vが最小となるのは
　a = 1.001631319　(57.38924722°)
　b = 0.679837919　(38.95184353°)
のとき
　⊿x = 9.77200177
　⊿y = 5.05410762
　⊿z = 3.94981057
　V = 32.5127002274793
これは球の体積 (4π/3)*2 の 3.880917716 倍
0321１３２人目の素数さん
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2021/10/16(土) 14:40:45.92ID:bY2L66Ji
〔出題２〕
rは 0<r<1 を満たす定数、θは 0<θ<π を満たす定数とします。
xy平面に2点 P。=(0,0), P_1=(1,0) をとり、
　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
xy平面内の折れ線P。P_1 P_2 … P_n …で次の条件を満たすものを考えます。
　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿
・n=1,2,3,…に対して、P_n P_{n+1} = r^n であり、
　　　　　　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿
　2つの辺 P_{n-1} P_n と P_n P_{n+1} のなす角が θ または -θ である。

この折れ線が P_2 以後にx軸と交差しないとき、rとθの間に成り立つ関係式を求めてください。

ただし、「交差する」とは1点のみを共有することとします。
0322１３２人目の素数さん
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2021/10/16(土) 15:53:35.88ID:bY2L66Ji
0 < θ << 1 の場合

z = r･e^(iθ)　とおくと
y(P_n) r sinθ - rr Σ[k=0,n-1] r^k･sin(kθ)
= Im{z - rrΣ[k=0,n-1] z^k}
= Im{z - rr(1-z^n)/(1-z)}
= Im{z - rr(1-z~)/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/(1-2r cosθ +rr)}
= Im{z} (1-2r cosθ)/|1-z|^2
> 0
∴　r･cosθ ≦ 1/2.
0323１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/19(火) 03:39:08.89ID:OvSIJGC7
〔問題〕
ABCD を円に内接しない四角形とします。
ABCDの対辺の積 AB･CD, AD･BC と 対角線の積 AC･BD =L
を三辺の長さとする三角形が存在することを示して下さいです。

(Lに対する内角は A+C, B+D のうち 180°より小さい方)
0324１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/19(火) 10:59:44.58ID:OvSIJGC7
(略解)
A+C<180° の場合
頂点Dを中心として
　⊿ABDをCD倍して回転
　⊿BCDをCD倍して回転
　⊿ACDをBD倍
して同長の辺を重ね、⊿ B1-X-B2 を作る。
　B1X = AB･CD,
　B2X = AD･BC,
　B1B2 = AC･BD = L,
また
　∠X = A + C,　∠B1 + ∠B2 = B,
0326１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/02(水) 09:03:57.07ID:nyCJInth
清宮先生好きだなあ
0327１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/02(水) 09:04:00.28ID:nyCJInth
清宮先生好きだなあ
0329１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/13(日) 17:12:08.65ID:bmXkbgv2
LCとともに、CFTのもう一つの主要一般化の一つである遠アーベル幾何学とIUT理論を研究するために、
あえて海外に目を向ける必要がないことは、未来の数学者を志す若い日本人にはこの上なく大きな祝福と言わざるを得ない！
0330１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/13(日) 22:24:55.67ID:UT/skzyg
↑
伊原エッセイで伊原先生にダメ出しされていますね。

数学の遠アーベル幾何学と全く新しい理論IUT理論の違いも明確でなく罵倒とホラの類です。
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