対角線AC,BDの交点をXとし、辺BC,DAの延長線の交点をYとする。

6角形 A'ABB'CD が2次曲線に内接している (A'≒A, B'≒B) とする。
パスカルの定理より、接線AA',BB'の交点Pは、直線XY上にある。

6角形 ABC'CDD' が2次曲線に内接している (C'≒C, D'≒D) とする。
パスカルの定理より、接線CC',DD'の交点Rも、直線XY上にある。

∴ 交点XはPR上にある。
同様にして　XはQS上にもあるから、題意は成り立つ。

(参考)
郡 敏昭：「射影平面の幾何学」 (1988)
　　　　　　発行 遊星社, 発売 星雲社
　6章 §2 パスカルの定理　系6.6　p.110-112