現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 [無断転載禁止]©2ch.net
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現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) >>523 追加
＜ステップ２（追加）＞ （選択公覧揩ﾉ懸かる現代滑m率論の基礎 ボレル集合の濃度について）
逃げ道を塞いでおきたいので、下記。（つまり、「現代確率論はフルパワー選択公理を必要とする！」）
ボレル集合、” 上記の超限帰納法による構成において、その各段階で得られた集合の数は、高々連続体濃度の冪であることが示せる”などとあるので、おそらく選択公理は可算レベルでは足りず、連続体濃度の冪までを扱うパワーを必要とするよと。
（なお、後述のように、誤記があるのでご注意）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ボレル集合
(抜粋)
位相空間 X に対し、X 上のボレル集合全体の成す族（ボレル集合族）は完全加法族（σ-集合体）を成し、ボレル集合体 (Borel algebra) あるいはボレル完全加法族 (Borel σ-algebra) と呼ばれる。X 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である（全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある）。
ボレル集合は測度論において重要である。これは空間内の任意の開集合（あるいは閉集合）上で定義された測度が、任意のボレル集合上で定義された測度を定めることによる。任意のボレル集合に対して定義される測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。
ボレル集合族の生成
「ボレル集合族は最小の非可算順序数 ω1 に対する G^ω1 に他ならない」ことである。
つづく >>635
つまり「相異なる」という単語がすごく気になるのです，これって自然に前提にふくめてもいい単語なのでしょうか？ >>642 つづき
・・なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。
例
一つの重要な例は、実数直線 R 上のボレル集合体 B(R) で、これは特に確率論において重要である。このボレル集合体の上にはボレル測度が定義できる。確率空間上で定義される実確率変数が与えられたとき、その確率分布もまた定義によりこのボレル集合体上の測度になる。
実数直線上のボレル集合体 B(R) は、R 内の任意の区間を含む最小の完全加法族である。
上記の超限帰納法による構成において、その各段階で得られた集合の数は、高々連続体濃度の冪であることが示せる。
故に、ボレル集合の総数は aleph _{1} * 2^aleph _{0} = 2^aleph _{0} 以下である。＊）
(引用終り)
注＊）“その各段階で得られた集合の数は、高々連続体濃度の冪”なら
誤：ボレル集合の総数は aleph _{1} * 2^aleph _{0} = 2^aleph _{0} 以下である。
↓
正：ボレル集合の総数は aleph _{1} * 2^aleph _{1} = 2^aleph _{1} 以下である。
でしょうね。もっとも、原文の英wikipediaが間違っているんだが（＾＾
なお、下記根拠補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6
連続体濃度
(抜粋)
連続体濃度よりも大きな濃度
連続体濃度よりも大きな濃度を持つ集合の例を挙げる。
（R^R: 実変数実数値の函数 R → R の全体の成す集合）
mathbb {R}: R 上のルベーグ集合族、すなわちR のルベーグ可測集合全体の成す集合。
(引用終り)
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