現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 [無断転載禁止]©2ch.net
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現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
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Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) >>455
ID:JrNslrexさん、どうも。スレ主です。
あなたの言いたいことは、それだけかね？（＾＾
同じこと（発言）の繰り返しと見た
なので、＜ステップ２＞へ行くよ（＾＾
＜ステップ２＞「現代数学 ZFC下で、一見異なる結論が導かれることがある」
例えば、下記公式 ”1+2+3+4+・・・ =?1/12”（これ、黒川 信重 先生が、あちこちで紹介しているね （ 参考 黒川 信重 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%92%E5%B7%9D%E4%BF%A1%E9%87%8D ））
なにが言いたいかと言えば、「級数 1+2+3+4+・・・は、発散する」。だが、「”=?1/12”という解釈も可能」だと
しかし、 ”1+2+3+4+・・・ =?1/12”の成り立つ背景には、ゼータ関数の解析接続だとか、なんだとか、それなりに理屈があるんだよな（理屈がなければ数学じゃない（＾＾）
「級数 1+2+3+4+・・・は、発散する」というのは、数学的に覆しようがない事実だ。その証明に選択公理が必要とは思わない。が、明らかにZFCとも矛盾しない
”1+2+3+4+・・・ =?1/12”のゼータ関数の解析接続による証明に、選択公理が必要かどうか知らない。が、明らかにZFCとも矛盾しない
これと、同じように、時枝記事の解法とは別に、現代確率論内でも、しっかり”独立な確率変数の無限族”を扱えるのだから（例えば、下記「確率論メモ 数理ファイナンスの世界にようこそ」など ）、そっちをしっかり見ておく必要があるよと
そして、上記のような「一見異なる結論（計算結果）が導かれる」とき、それを数学としてしっかり考えないといけない。しっかり考えると言っても、疑うべきは、まずは”時枝記事”の方だな（＾＾
「一見異なる結論が導かれる」とき、公式 ”1+2+3+4+・・・ =?1/12”のように両立するときは少ないだろう。もちろん、両者成立の可能性はゼロではないがね（＜類似例＞発散級数 後述 ）（＾＾
http://mathfin.web.fc2.com/prob/imi_prob00.html 確率論メモ 目次 ※※※ 数理ファイナンスの世界にようこそ ※※※
http://mathfin.web.fc2.com/prob/imi_prob03.html 標本空間２ ※※※ 数理ファイナンスの世界にようこそ ※※※
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6
1+2+3+4+・・・ =?1/12
つづく >>458 つづき
(抜粋)
自然数すべての総和 1 + 2 + 3 + 4 + … は、
その n-次の部分和
Σ_{k=1〜n}k=n(n+1)/2
が三角数によって与えられる無限級数。
これは n を無限大に飛ばすとき際限なく増加するため、この級数は（正の無限大に）発散し、通常の意味での「和」を持たない。
一見するとこの級数が意味のある値を持つことは全くないように思われるが、これに数学的に意味のある値を結びつける方法があり、そうして得られた値は複素解析や、物理学における場の量子論、特に弦理論などの分野において応用がある。
様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、
特にゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法では件の級数に ?1/12 を値として割り当てる。
この事実をよく知られた公式
1+2+3+4+・・・ =?1/12
として式に表す[1]。
モンスター群のムーンシャイン現象に関するモノグラフでテリー・ガノン（英語版）はこの等式を「自然科学において最も注目すべき公式の一つ」と評した[2]。
物理学での応用
ボゾン弦理論（英語版）では、弦の取り得るエネルギー準位、とくに最低エネルギー準位を計算することが試みられる。
砕けた言い方をすると、時空の次元を D とするとき、弦の振動は D ? 2 個の独立な量子調和振動子（各々は横波）の集まりと見ることができて、基本振動数、すなわち弦の振動数の中で最も小さいものを ν とすると振動子のエネルギーにおける n 番目の振動子の寄与は
hνn/2
と表せるので[注釈 4]、件の級数を用いれば全ての振動数に亘る和を計算すると ?hν(D ? 2)/24
が得られる。最終的には、この事実にゴダード・ソーンの定理（英語版）を合わせて、ボゾン弦理論が 26 次元でないと無矛盾にならないことが導かれる。
(引用終り)
つづく >>459 つづき
＜類似例＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E7%B4%9A%E6%95%B0
発散級数
(抜粋)
数学において発散級数（はっさんきゅうすう、英: divergent series）とは、収束しない級数である、つまり、部分和の成す無限列が有限な極限を持たない級数である。
級数が収束するならば、級数の各項の成す数列は必ず 0 に収束する。したがって、0 に収束しないような数列を項に持つ級数はいずれも発散する。しかし、級数の収束性はそれよりも強い条件で、級数の項が 0 に収束するからといって必ずしもその級数自身は収束しない。
数学の特別な文脈では、部分和の列が発散するようなある種の列について、その和として意味のある値を割り当てることができる。総和法 (summability method, summation method) とは、級数の部分和の列全体の成す集合から「和の値」の集合への部分写像である。例えば、チェザロ総和法ではグランディの発散級数
1-1+1-1+・・・
に 1/2 を値として割り当てる。チェザロ総和法は平均化法 (averaging method) の一種で、部分和の列の算術平均をとることに基づいている。他の方法としては、関連する級数の解析接続として和を定める方法などがある。物理学では、非常に多種多様な総和法が用いられる（詳細は正則化（英語版）の項を参照）。
(引用終り) >>460 つづき
（追加）数学ではないが
＜物理学 正則化（英語版）＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Regularization_(physics)
(抜粋)
In physics, especially quantum field theory, regularization is a method of modifying observables which have singularities in order to make them finite by the introduction of a suitable parameter called regulator.
The regulator, also known as a "cutoff", models our lack of knowledge about physics at unobserved scales (e.g. scales of small size or large energy levels).
It compensates for (and requires) the possibility that "new physics" may be discovered at those scales which the present theory is unable to model, while enabling the current theory to give accurate predictions as an "effective theory" within its intended scale of use.
It is distinct from renormalization, another technique to control infinities without assuming new physics, by adjusting for self-interaction feedback.
Regularization was for many decades controversial even amongst its inventors, as it combines physical and epistemological claims into the same equations. However, it is now well understood and has proven to yield useful, accurate predictions.
Contents [hide]
1 Overview
2 Classical physics example
3 Specific types
4 Realistic regularization
4.1 Conceptual problem
4.2 Pauli's conjecture
4.3 Opinions
4.4 Minimal realistic regularization
5 Transport theoretic approach
6 String theory
7 References
(引用終り)
とりあえず以上（＾＾ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
