面白い問題おしえて～な 二十二問目©2ch.net
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正整数全体の集合を N と置く。集合 A⊂N に対して、写像 1_A：N → { 0, 1 } を
1_A(n)＝1 (n∈Aのとき), 0 (それ以外のとき)
と定義する。以下、素数全体の集合を P と置き、m≧0 に対して
π(m)＝Σ[n＝1～m] 1_P(n) (＝m以下の素数の個数)
と置く。ただし、π(0)＝0 と規約する。
(1) Σ[n＝1～m] 1/n ≧ log(m＋1) を示せ。
(2) m≧2のとき Σ[n＝1～m] 1/n ≦ Π[p≦m] (1－1/p)^{-1}＝Π[p≦m] (1＋1/(p－1)) を示せ。
ただし、[p≦m] の部分は p≦m なる素数 p 全てをわたる意味とする(以下の設問でも同様)。
(3) log(1＋x)≦x (x∈R) を示せ。
(4) m≧2 のとき log log (m＋1) ≦ Σ[p≦m] 1/(p－1) を示せ。
(5) m≧2 のとき log log (m＋1)－1 ≦ Σ[p≦m] 1/p を示せ。
(6) Σ[p≦m] 1/p ＝ π(m)/m＋Σ[n＝1～m－1]π(n)/(n(n＋1)) を示せ。
(ヒント：Σ[p≦m] 1/p ＝ Σ[n＝1～m] 1_P(n)/n ＝ Σ[n＝1～m] (π(n)－π(n－1))/n)
(7) (1)～(6)により、m≧2 のとき log log (m＋1)－1 ≦ π(m)/m＋Σ[n＝1～m－1]π(n)/(n(n＋1)) が成り立つ。
このことから、limsup[m→∞] π(m)/(m/log m)≧1 を示せ。(ヒント：「＜1」と仮定して計算すると矛盾が出る)
素数定理によれば lim[m→∞] π(m)/(m/log m)＝1 が成り立つわけだが、
(1)～(7) のようなオーソドックスな計算だけでも、
limsup[m→∞] π(m)/(m/log m)≧1 という
そこそこの結果が出るという満足感 ( ＾o＾ ) 「数学の問題」第３集、日本評論社 (1988)から
〔問題41〕
水平に一直線に伸びている線路の上を、一定の速度で走っている列車から、遥か遠方にある平行四辺形に建てられた煙突が見えました。(◇PQRS)
地点A、B、Dを通過した時刻を計ったら、下記の表のとおりでした。
---------------------------------------
A（PとRが重なって見える） 18:32
B（PとQ、RとSが重なって見える） 19:32
C（QとSが重なって見える） ？
D（QとR、SとPが重なって見える） 19:56
----------------------------------------
ところが、あいにくCの地点では
、すれ違った列車に邪魔されて、通過時刻が計れませんでした。
しかしよく考えてみたら、点Cの位置は、4本の煙突が平行四辺形をなす限り一定であることが分かりました。
この事実を証明し、点Cを通過した時刻を求めて下さい。
・文献
一松「数学100の問題」p.30-31 日本評論社 (1984) >>192
なんだか、昔あった、「おばけ煙突」を題材にしたみたいですね ￥
>55 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 22:27:13.98 ID:ol2qzlaN
>東京の税金たからないで関西に帰れよ部落民
>
>59 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 22:54:42.02 ID:ol2qzlaN
>お前の親でもない赤の他人の東京都からナマポふんだくって一人前ズラしてんじゃねえよ関西部落民
>とっとと痴漢しに関西に帰れよ
>鬼のようにぶっさいくな関東女茨城女よりも四国や関西で痴漢した方が楽しいんだろ？ん？
>62 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:04:21.99 ID:ol2qzlaN
>関西に帰るのがいやならフランスの旧植民地の大学にでも行きゃあいいだろうがよ
>フランス崇め奉ってる植民地根性なら旧植民地がお似合いだろうがよ
>フランス文化受容強要の美しい現実も見られるだろうしなｗ
>
>64 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:10:41.77 ID:ol2qzlaN
>親のいいなりの関西のお受験坊ちゃんなんて関東女に相手されるどころかキンタマ握りつぶされそうだしな
>フランス人女には口げんかで負けるし
>フランス植民地選良の黒人女にでも慰めてもらえば？
>
>68 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:16:27.29 ID:ol2qzlaN
>フランス語でフランスの掲示板で関西のお受験パパの暴虐っぷりとお受験坊やのへなちょこっぷり宣伝して回ればいいのに
>日本人には常識レベルの関西のテストだけ誤魔化すのに特化したお受験親子の実力皆無っぷりなんて自分で実証して回ったって冷笑すらされんだろうに？
>旧関係者のガン無視っぷりにますます逆恨みがつのるだけじゃねぇのｗｗｗｗ
>
>70 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:20:13.28 ID:ol2qzlaN
>実力ありゃあ旧関係者も可哀想に感じてどっかにアカデミックな引き立てもあらアするかも知らねえが
>宇沢親子をしょっぱくしたコネと実績じゃあ冷笑すらされずガン無視空気だわな日本に限らず
>
>72 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:22:55.17 ID:ol2qzlaN
>親が教授じゃなかったらアカポスに最初っから引っかからなかった程度の癖に上等だな関西のお受験お坊ちゃん
> ￥
>55 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 22:27:13.98 ID:ol2qzlaN
>東京の税金たからないで関西に帰れよ部落民
>
>59 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 22:54:42.02 ID:ol2qzlaN
>お前の親でもない赤の他人の東京都からナマポふんだくって一人前ズラしてんじゃねえよ関西部落民
>とっとと痴漢しに関西に帰れよ
>鬼のようにぶっさいくな関東女茨城女よりも四国や関西で痴漢した方が楽しいんだろ？ん？
>62 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:04:21.99 ID:ol2qzlaN
>関西に帰るのがいやならフランスの旧植民地の大学にでも行きゃあいいだろうがよ
>フランス崇め奉ってる植民地根性なら旧植民地がお似合いだろうがよ
>フランス文化受容強要の美しい現実も見られるだろうしなｗ
>
>64 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:10:41.77 ID:ol2qzlaN
>親のいいなりの関西のお受験坊ちゃんなんて関東女に相手されるどころかキンタマ握りつぶされそうだしな
>フランス人女には口げんかで負けるし
>フランス植民地選良の黒人女にでも慰めてもらえば？
>
>68 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:16:27.29 ID:ol2qzlaN
>フランス語でフランスの掲示板で関西のお受験パパの暴虐っぷりとお受験坊やのへなちょこっぷり宣伝して回ればいいのに
>日本人には常識レベルの関西のテストだけ誤魔化すのに特化したお受験親子の実力皆無っぷりなんて自分で実証して回ったって冷笑すらされんだろうに？
>旧関係者のガン無視っぷりにますます逆恨みがつのるだけじゃねぇのｗｗｗｗ
>
>70 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:20:13.28 ID:ol2qzlaN
>実力ありゃあ旧関係者も可哀想に感じてどっかにアカデミックな引き立てもあらアするかも知らねえが
>宇沢親子をしょっぱくしたコネと実績じゃあ冷笑すらされずガン無視空気だわな日本に限らず
>
>72 :１３２人目の素数さん 2016/09/18(日) 23:22:55.17 ID:ol2qzlaN
>親が教授じゃなかったらアカポスに最初っから引っかからなかった程度の癖に上等だな関西のお受験お坊ちゃん
> n! になるややこしい nCr のΣ和があったけど、誰か覚えてない？
検索しても見つけられんのだけど。 （ｘ＋１）＾３－ｘ＾３＝３ｘ＾２＋ｏ。
（ｘ＋２）＾３－２（ｘ＋１）＾３＋ｘ＾３＝６ｘ＋ｏ。
（ｘ＋３）＾３－３（ｘ＋２）＾３＋３（ｘ＋１）＾３－ｘ＾３＝６。 【素数クイズ】
2,3,5,7,X,13,17,Y,…
この数列のX,Yを求めよ。
[ヒント1] 素数
[ヒント2] X+Y=30
[ヒント3] おそらく無限数列 >>199はちゃんとしたクイズなんだけどなあ。
ちゃんとした数学の問題ではないかもしれないけど、数学的な内容だし。 別スレで似た問題を見たから投下
問1
1000mの真っ直ぐな道路がある。
道路の一端から秒速2mの人Aが、もう一端から秒速3mの人Bが、それぞれお互いに向かって歩き始めた。
それと同時に、道路上のどこかにいる秒速10mの犬がAに向かって走り始めた。
この犬は、Aと出会ったあとはBに向かって走り始め、以降AとBの間を往復する。
犬が走ることになる距離を求めよ。
また、級数を用いて求めた距離と一致することを示せ。
問2
一辺1の正方形ABCDの各頂点が、AはBに、BはCに、CはDに、DはAに向かって一斉に動き始めた。
各点の動く距離を求めよ。
また、軌跡の式を用いて求めた距離と一致することを示せ。 4点とも同じ速さで動くということね
その速さは終始変わらないとしてよい
（途中で一斉に変わっても同じ距離になるが） >>192
19分42秒
数セミ増刊「数学の問題＝第３集」日本評論社（1988)
No.41（sin）
>>203
問2
ABCDの中心Oを極座標で考える。
点の軌跡を r＝f(θ) とすると、
f(θ)/f '(θ)＝tan(3π/4)＝－1,
f(θ)＝f(0)e^(-θ)＝(1/√2)e^(-θ),
動く距離＝(√2)f(0)＝1,
数セミ増刊「数学の問題＝第３集」日本評論社（1988)
No.40（牛島） >>193
数セミ12月号に関連記事があります（上原先生） （このスレを見て記事を書こうと思い立ったとは口が裂けても言えない…） eの無理性を示すスレが盛り上がったら河合の模試に出たこともあったな
意外と見てるだろ --- 、 ´ ￣￣ ｀ / ---- ､
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. / / / / ..::'⌒7:/／ : |: : : 〈 厂{ 〉: : : :厂＼: : い、 ヽ ＼ :, ‘, 化学の問題です。
３つの成分をｕ：ｖ：ｗの割合で含む混合物（合金など）がある。
その組成を表わすのに、次の２つの方法がある。
Ⅰ 一辺がｕ＋ｖ＋ｗの正三角形ＸＹＺをとる。
３辺からの距離がｕ･sin60ﾟ、ｖ･sin60ﾟ、ｗ･sin60ﾟの直線を引く。
交点Ｐの位置で組成を表わす。（状態図）
Ⅱ １点Ｆから互いに120ﾟをなす方向に３本の半直線を曳く。
各々の上にＡＦ＝ｕ、ＢＦ＝ｖ、ＣＦ＝ｗとなる点Ａ，Ｂ，Ｃをとる。
△ＡＢＣの形で組成を表わす。
〔問題〕
ＡＢ＝ＰＸ，ＢＣ＝ＰＹ，ＣＡ＝ＰＺ を示せ。
△の合同を使うらしい。 >>255
＞３辺からの距離がｕ･sin60ﾟ、ｖ･sin60ﾟ、ｗ･sin60ﾟの直線を引く。
＞交点Ｐの位置で組成を表わす。（状態図）
このままでは解けないので勝手に次のように修正させてもらう。
「3辺ZX,XY,YZからの距離がそれぞれu･sin60ﾟ,v･sin60ﾟ,w･sin60ﾟとなる点Pをとる。」
〔解答〕
Pを通りXYに平行な直線と辺ZXとの交点をQとして
△AFB≡△PQXよりAB=PX
他の等式も同様（証終） 平面上の点Oからの距離がx,y,zであるような点X,Y,Zが正三角形XYZを成すとき
x,y,zの条件を求めよ 昨日バイト先で、333円の買い物したやつが千円札を出してきたから
レジに打ち込む前につり銭777円をソッコー渡してやった。
俺の暗算の能力とそのスピードにすげえビックリしてたみたい。 店主に、レジから金を盗んだ、って110番されたろ？ >>257
O (0,0)
X (x.cosα, x.sinα)
Y (y.cosβ, y.sinβ)
Z (z.cosγ, z.sinγ)
とおく。
△XYZが一辺Ｌの正三角形をなすから、
XY = YZ = ZX = L,
より
L^4 - (x^2+y^2+z^2)･L^2 + {x^4 + y^4 + z^4 -(xy)^2 -(xz)^2 -(yz)^2} = 0,
{L^2 - (x^2+y^2+z^2)/2}^2 = (3/4){2(xy)^2 +2(xz)^2 +2(yz)^2 -x^4 -y^4 -z^4}
= (3/4)(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z),
∴ L^2 が正根をもつ条件は、
(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) > 0,
すなわち、x,y,z が△の３辺をなすこと。 >>263 ( >>257 )
｜LL - (xx+yy+zz)/2｜ = (2√3)Heron(x,y,z)
Heron(x,y,z) は辺長が x,y,z の△の面積 １にトレース、２に行列式、３、４がなくて、５に成分。 ２次正方行列 A、B がA^2 + B^2 = 2AB をみたすならば、AB=BA であることを示せ。
個人的には面白かった（苦労した）けど、どうかな？
エレガントな解法ないかなあ？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ これ２次じゃないと成り立たないの？
もし３次以上でも成り立つならひょっとしたらエレガントな解法あるのかもね？ >>269
文字が対称だから入れ替えたのか？ とんでもない誤りだ。
たとえば、A^2 + B^2 =AB だが、AB≠BA となる２次正方行列A、Bが存在する。
A^2 + B^2 = 2AB のときは、AB=BA となっている。
>>267を改造。
複素数を成分とする２次正方行列 A、B に対して、
(1) A^2 + B^2 = 2AB をみたすならば、AB=BA であることを示せ。
(2) A^2 + B^2 = kAB かつ AB=BA をみたす k の条件を求めよ。
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｩ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ >>268
>>269
A
000
001
000
B
010
000
000
>>270
A=B=0 >>270
行列AとBを交換して、式を書き換えることは可能で
B^2 + A^2 = 2BA
A^2 + B^2 = 2ABだから、AB = BA >>272
それは詭弁だぞ、しっかりしろ。
しかし、意図したとおりの良い間違いをしてくれので、問題の面白さが伝わるだろう。
どこで間違ったかを明確にするために、条件 A^2 + B^2 = C とおいて説明する。
A^2 + B^2 = C … [1]
左辺のAとBを置き換えて （←ここが勘違いの元。）
B^2 + A^2 = C … [2]
これは正しい。いまは C=2ABで、左辺のAとBを置き換えても、右辺は2BAにならずに 2ABのままなのだ。
実は、[1]の左辺のAとBを入れ替えた[2]は、和の順序を入れ替えたのであって、右辺の積の順序を入れ替えてはダメ。
一般に行列は可換でないから。
C=2ABのときは、結果的にAB=BAが成り立つのが、たとえばC=ABのときは成立しない。 >>272
a*b=a/bが成り立つ場合、これが成り立つからと言ってb*a=b/aが成り立つとは限らない
実際、3*1=3/1が成り立つからと言って3と1を入れ替えると成り立たない
「B^2 + A^2 = 2BAが一般に成り立つ」（実際は成り立たないけど）ってことと混同してると思う >>267
AA + BB - 2AB = (A-B)^2 - (AB-BA) = CC - D,
また
tr(D) = tr(AB-BA) = 0, (1)
Cayley-Hamilton（2次）より、
CC = tr(C)C - det(C)･I, (2)
(1)(2)より
tr(CC-D) = tr(C)^2 - 2det(C), (3)
ところで、
tr{(CC-D)[2C-tr(C)･I]}
= tr{[tr(C)C-det(C)･I-D][2C-tr(C)･I]} (←(2))
= tr(C)[tr(C)^2 - 4det(C)]
= tr(C)[2tr(CC-D) - tr(C)^2] (←(1)(3))
ここで
AA + BB = 2AB,
のとき
CC-D = O,
∴ 上式より
0 = -tr(C)^3,
∴ tr(C) = 0,
∴ det(C) = 0, (←(3))
∴ CC = O, (←(2))
∴ D = AB-BA = O,
エレガントぢゃねぇなぁ... ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
